2024年四川省内江市东兴区部分学校九年级一模考试数学模拟试题（原卷版+解析版）

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A卷（100分）
一、单选题（每题3分，共36分）
1. －3的绝对值是（ ）
A. 3B. －3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用绝对值意义解答即可．
【详解】解：|-3|=3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，正确利用绝对值的意义是解题的关键．
2. 国家外汇管理局3月7日公布最新一期外汇储备数据统计截至2月底我国外汇储备规模为32138亿美元．将32138亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】解：32138亿=3.2138×1012，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下面图中所示几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】从左侧观察题图可以得到其左视图为两个长方形，且中间的线段是虚线．
【详解】解：图中所示几何体的左视图是
故选：B．
【点睛】本题考查三视图的画法；用到的知识点为：三视图分别是从物体正面，左面，上面看得到的平面图形；注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法法则依次判断即可求出答案．
【详解】解：A、与不是同类项，故A不正确；
B、原式=，故B不正确；
C、原式=，故C不正确；
D、选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
5. 下列四个图形中既是轴对称图形，又是中心称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选C．
6. 函数y＝中自变量x的取值范围是( )
A. x≥1B. x≠2C. x＞1或x≠2D. x≥1且x≠2
【答案】D
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得x-1≥0且2-x≠0，
解得x≥1且x≠2．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
7. 为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如下表：这40名居民一周体育锻炼时间的众数和中位数是（ ）
A. 14，5B. 14，6C. 5，5D. 5，6
【答案】C
【解析】
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据或者最中间两个数据的平均数叫这组数据的中位数．本组数据中，把数据按照从大到小的顺序排列，最中间的两个数的平均数即为中位数．
【详解】由统计表可知：体育锻炼时间最多的人数是5小时，故众数是5小时；
统计表中是按从小到大的顺序排列的，最中间两个人的锻炼时间都是5小时，故中位数是5小时．
故选：C．
8. 如图，是的外接圆，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据等腰三角形的性质求得，再根据圆周角定理求解即可，熟练掌握圆周角定理是关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9. 不解方程，判别方程x2－4x+3=0根的情况是（ ）
A. 有两个不等实根B. 有两个相等实根C. 没有实根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【详解】试题解析：
故方程有两个不相等的实数根.
故选A.
10. 2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外朋友的喜爱，某特许零售店准备购进一批吉祥物销售．已知用300元购进“冰墩墩”的数量与用250元购进“雪容融”数量相同，已知购进“冰墩墩”的单价比“雪容融”的单价多10元，设购进“雪容融”的单价为x元，则列出方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据购进吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”单价之间的关系可得出购进“冰墩墩”的单价为（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合用300元购进“冰墩墩”的数量与用250元购进“雪容融”数量相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵购进“冰墩墩”的单价比“雪容融”的单价多10元，且购进“雪容融”的单价为x元，
∴购进“冰墩墩”的单价为（x+10）元．
依题意得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11. 如图，在平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F，若，，则为（ ）
A. 3B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质和角平分线的定义证明，，说明，根据，,求出，最后求出结果即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵平分交于点E，平分交于点F，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵，,
∴，
解得：，
∴，
故选：B．
12. 对于每个正整数n，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查数字的变化类，根据题意，可以写出前几个式子的值，然后即可发现式子的变化特点，从而可以求得所求式子的值．解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．
【详解】解：由题意可得，
因为，，
所以，
以此类推，得
，
，
，
，
，
，
，
……
∵，
∴
，
故选：D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 分解因式：______
【答案】．
【解析】
【详解】提取公因式法和应用公式法因式分解．
【分析】．
14. 若、互为相反数，为的立方根，则的平方根是________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了代数式求值，相反数、立方根，平方根的性质利用相反数，立方根的性质求出及c的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：，
，
∴的平方根是．
故答案为：．
15. 三角形的两边长分别为6和8，第二边长是方程的一个实根，则第三边长为________．
【答案】10
【解析】
【分析】先解出一元二次方程，再根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】解：，
解得：，
当第三边的长是2时，，
不能构成三角形，不合题意；
当第三边的长是10时，，能构成三角形，
该三角形第三边的长是10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，解题的关键是正确求出第三边的长度，以及掌握三角形的三边关系．
16. 如图，中，，，在以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转，使点旋转至轴的正半轴上的处，若，则阴影部分面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求扇形面积、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、解直角三角形，坐标与图形等知识点，先根据等腰直角三角形的性质求出，，由旋转的性质得到，解求出，进一步求得旋转角为，由，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：，，点O为的中点，，
∴，
∴，
绕点顺时针旋转，使点旋转至轴正半轴上处，
，
，
，
在中，，
，
，即旋转角为，
∴
，
故答案为：．
三、解答题（共44分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：
．
18. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F．
（1）证明：△ADF≌△AB′E；
（2）若AD=12，DC=18，求△AEF的面积．
【答案】（1）证明见解析（2）78
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判定．
（2）利用三角形面积公式求解即可.
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=∠B′=90°，AD=CB=AB′，
∵∠DAF+∠EAF=90°，∠B′AE+∠EAF=90°，
∴∠DAF=∠B′AE，
在△ADF和△AB′E中
，
∴△ADF≌△AB′E．
（2）解：由折叠性质得FA=FC，设FA=FC=x，则DF=DC－FC=18－x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，
∴．
解得．
∵△ADF≌△AB′E，
∴AE=AF=13．
∴S△AEF===78．
19. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表根据图表信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生总人数为 ，表中的值为 ；
（2）该校共有名学生，请你估计等级为的学生人数；
（3）本次调查中，等级为的人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法，样本估计总体，频数分布表与直方图；
（1）先求出总人数，再求出等级为A的学生人数；
（2）先求出等级为B的学生所占的百分比，再求出等级为B的学生人数；
（3）通过画出树状图列出所有可能的结果，用恰有一男一女的结果数除以总的结果数，即可得到恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【小问1详解】
解：组人数为人，占比为
∴总人数为（人）
∴
∴，
故答案为：，．
【小问2详解】
解：估计等级为的学生人数（人）
【小问3详解】
解：画树状图如图所示，

∴一共有12种情况，其中恰有一男一女的有8种，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率
20. 在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一座大楼的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为80米，在处测得大楼顶部的仰角为，在处测得大楼顶部的仰角为，求大楼的高度．（结果保留根号）
【答案】大楼的高度是米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，作于点，设米，先解得到米，再由斜坡的坡度，得到米，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：作于点，设米，
在中，，
∴米，
∵斜坡的坡度，
∴，
∵坡底的长为80米，
∴米，
∴米，
在中，米，，
∴米，
∴，
∴，
∴，
答：大楼的高度是米．
21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点作轴，垂足为，
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集；
（3）一次函数的图像上是否存在一点，使得求．若存在，求出点坐标，若不存在说明理由．
【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题；
（1）由一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）根据图象，观察即可求得答案；
（3）先求出直线与轴的交点的坐标，然后设点为，利用三角形的面积分别求出点的坐标即可．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数图象上，
∴，得，
即；
把代入得，
，
∴；
把、代入中得
，
解得：；
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
根据函数图象可得：不等式的解集是：或；
【小问3详解】
设直线与轴交于点，
把代入可得：，
即；
，轴，垂足为，
，
设点坐标为，
解得：或；
因此，存在在点使得，点的坐标为或．
B卷（60分）
四、填空题（每题6分，共24分）
22. 已知：、是方程的两根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，即，，再把化简为用和的一次式表示得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵、是方程的两根，
∴，且，，
∴，
∴，
∴
，
∴原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键，也考查一元二次方程的解的定义，运用了整体代入和恒等变换的思想．
23. 已知二次函数图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论________．
【答案】①④
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数关系，需要对二次函数各项系数对图象的决定作用理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系，会用数形结合的思想是解题关键．根据抛物线开口方向及与y轴的交点可确定a、c的符号，根据对称轴为可得出b的符号，即可判断； 根据二次函数图像的对称性，得出图像与x轴的另一个交点在2和3之间，可得时，即可判断；根据图像与x轴有两个交点可得一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，即可判断③；根据对称轴得出，结合时，即可判断④．
【详解】解抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴，
，
物线的对称轴为，
，
，
，
故正确，
抛物线与x轴的一个交点在0和之间，物线的对称轴为，
图像与x轴的另一个交点在2和3之间，
时，即，
故错误，
图像与x轴有两个交点，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
故③错误，
由图形可知，时，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的结论有①④．
故答案为：①④．
24. 若中每一个数值只能取，，中的一个，且，求的值________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，先设有个取，个取，根据可得出关于，的二元一次方程组，求出，的值，再把，及的值代求解．
【详解】设有个取，个取，有 ，
解得 ，
所以原式．
故答案为：．
25. 如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是的内切圆，点N，点P分别是，x轴上的动点，则的最小值是________．

【答案】4
【解析】
【分析】延长到点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值；利用点的坐标的特征求得线段，，利用三角形的面积关系求得的半径，延长交于点，利用矩形的性质和勾股定理求得的长度，则结论可得．
【详解】解：如图，延长到点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值，

点的坐标为，
点的坐标为，
，，
设与三边的切点为，，，连接，，，则，，，设，
，
，
，
，
，
延长交于点，
，，
，，
，，
，
，
的最小值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的特征，三角形的内切圆，轴对称的最短路径问题，圆的切线的性质定理，勾股定理，作出点B关于x轴的对称点，从而得到点P的位置是解题的关键．
五、解答题（每题12分，共36分）
26. 某商店准备购进两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用3000元购进种商品和用1800元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元．
（1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠（）元，种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
【答案】（1）种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元；（2）商店共有5种进货方案;（3）①当时，获利最大，即买18件商品，22件商品，②当时，，（2）问中所有进货方案获利相同，③当时，获利最大，即买14件商品，26件商品．
【解析】
【分析】（1）设A商品每件进价为x元，B商品每件的进价为（x-20）元，根据种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用3000元购进种商品和用1800元购进种商品的数量相同，列方程求解；
（2）设购买种商品件，则购买商品（）件，根据商店计划用不超过1560元的资金购进两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，列出不等式组即可
（3）先设销售两种商品共获利元，然后分析求解新的进货方案
【详解】（1）设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种商品每件进价是50元，种商品每件的进价是30元；
（2）设购买种商品件，则购买商品（）件，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴14、15、16、17、18，
∴商店共有5种进货方案；
（3）设销售两种商品共获利元，
由题意得：
，
①当时，，随的增大而增大，
∴当时，获利最大，即买18件商品，22件商品，
②当时，，
与的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同，
③当时，，随的增大而减小，
∴当时，获利最大，即买14件商品，26件商品．
【点睛】此题考查一元一次不等式组的应用，分式方程的应用，解题关键在于根据题意列出方程
27. 如图，在中，，以为直径的交于点P，点Q是线段的中点，连接并延长交的延长线于点D．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，
①求的半径的长；
②求的长．
【答案】（1）见解析 （2）①，②
【解析】
【分析】（1）根据题意连接，利用角度的转化即可得到本题答案；
（2）①根据勾股定理及三角函数可以求出；②连接，利用勾股定理求出，再判定，即可得到本题答案．
【小问1详解】
解：连接
是的直径，
，则，
又是的中点，
．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
解：①在中，
∵，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴的半径长为；
②在中，
∴，
连接，
，
∵是的中点，是的中点，
∴，，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查相似三角形判定及性质，勾股定理，切线的判定，三角函数的计算，掌握圆的基础知识是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx－3与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
备用图
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】28.
29.
30. 存在，点P的坐标为或或或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）作交于点，先求得直线的解析式，设点P的坐标为，则点R的坐标为，利用三角形面积公式列式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分四种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：将、代入得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：作交于点，
令，则，
∴，
∵，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点R的坐标为，
∴
，
∵，
∴时，有最大值，此时点P的坐标为；
【小问3详解】
解：∵点Q是线段上一点，
∴设点Q的坐标为，
∵，，
∴，
∴当点P与点B重合，点Q与点C重合时，是等腰直角三角形，此时点P的坐标为；
同理当点P与点C重合，点Q与点B重合时，是等腰直角三角形，此时点P的坐标为；
如图，当点P在第四象限时，过点Q作轴于点，作交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即点P的纵坐标为，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为；
如图，当点P在第三象限时，过点P作轴于点，作交于点，设，
同理，
∴，，，，
∴，，
∴，
解得，
∴点P的纵坐标为，
∴，
解得（舍去）或，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式、轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题，分类思想的应用是解题的关键．
锻炼时间（时）
3
4
5
6
7
人数（人）
6
13
14
5
2
等级
时长（单位：分钟）
人数
所占百分比