广东省惠州市第五中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试卷

这是一份广东省惠州市第五中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列是一元二次方程的为（ ）
A．x﹣2y+1＝0B．x2﹣2x﹣3＝0
C．2x+3＝0D．x2+2y﹣10＝0
3．（3分）毛泽东在《沁园春•雪》中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗，小明将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上，小哲从中随机抽取一张（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）关于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（ ）
A．图象过（1，2）点
B．图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
5．（3分）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝6cm，则OC为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
6．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．1B．5C．﹣5D．6
7．（3分）将抛物线y＝4x2先向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝4（x+3）2+5B．y＝4（x+3）2﹣5
C．y＝4（x﹣3）2+5D．y＝4（x﹣3）2﹣5
8．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，则∠C的度数为（ ）
A．116°B．58°C．42°D．32°
9．（3分）△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，OB，OC的中点，则△ABC的面积是（ ）
A．2B．4C．6D．8
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时，y随x增大而减小；④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；⑤3a+c＜0．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）点（3，﹣1）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°，得△A'B'C，则∠A＝ ．
13．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+4的顶点坐标是 ．
14．（3分）如图，直线AD∥BE∥CF，BC＝，DE＝4，那么EF的值是 ．
15．（3分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16．（10分）（1）解方程：x2﹣4x+3＝0．
（2）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1，并求出C点旋转到C1点所经过的路径长．（结果保留π）
17．（7分）小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．
18．（7分）已知关于x的一元二次方程：3x2﹣（k+3）x+k＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于2，求k的取值范围．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（9分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．
（1）用列表法或画树形图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（2）求小明、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在二次函数y＝x2的图象上的概率．
20．（9分）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知AD是△ABC的角平分线＝．小慧的证明思路是：如图②，过点C作CE∥AB，构造相似三角形来证明＝尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：＝．
应用拓展：
（2）如图③，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．若AC＝1，求DE的长.
21．（9分）如图，在矩形OABC中，OA＝3，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝（x＞0）
（1）当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
（2）设过（1）中的直线EF的解析式为y＝ax+b，直接写出不等式ax+b＜
（3）当k为何值时，△AEF的面积最大，最大面积是多少？
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．（12分）综合探究
如图，平行四边形ABCD中，AC＝BC，连接CE．
（1）求证：AB＝CE；
（2）求证：DC与⊙O相切；
（3）若⊙O半径r＝5，AB＝8，求AE的值．
23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0）．与y轴交于点C，BC．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于D．
①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，求出点E的坐标；若不存在；
②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合；
选项A、C、D均不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形，
故选：B．
2．（3分）下列是一元二次方程的为（ ）
A．x﹣2y+1＝0B．x2﹣2x﹣3＝0
C．2x+3＝0D．x2+2y﹣10＝0
【解答】解：A、x﹣2y+1＝7，故此选项错误；
B、x2﹣2x﹣5＝0，是一元二次方程；
C、2x+8＝0，故此选项错误；
D、x2+5y﹣10＝0，是二元二次方程；
故选：B．
3．（3分）毛泽东在《沁园春•雪》中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗，小明将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上，小哲从中随机抽取一张（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在秦始皇、汉武帝、宋太祖，唐朝以后出生的有2人．
∴在上述5人中随机抽取一张，所有抽到的人物为唐朝以后出生的概率＝．
故选：C．
4．（3分）关于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（ ）
A．图象过（1，2）点
B．图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，所以函数图象位于二四象限，图象是轴对称图象、B、C错误．
故选：D．
5．（3分）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝6cm，则OC为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，OC过O，
∴AC＝BC＝3cm，
在Rt△OCA中，由勾股定理得：OC＝＝，
故选：B．
6．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．1B．5C．﹣5D．6
【解答】解：依据一元二次方程根与系数得：x1+x2＝8．
故选：B．
7．（3分）将抛物线y＝4x2先向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝4（x+3）2+5B．y＝4（x+3）2﹣5
C．y＝4（x﹣3）2+5D．y＝4（x﹣3）2﹣5
【解答】解：抛物线y＝4x2的顶点坐标为（2，0），0）先向右平移8个单位，﹣5）2﹣5．
故选：D．
8．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，则∠C的度数为（ ）
A．116°B．58°C．42°D．32°
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝58°，
∴∠A＝32°，
∴∠C＝32°．
故选：D．
9．（3分）△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，OB，OC的中点，则△ABC的面积是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：∵点D，E，F分别是OA，OC的中点，
∴＝，
∴△DEF与△ABC的相似比是5：2，
∴＝（）2，即＝，
解得：S△ABC＝4，
故选：D．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时，y随x增大而减小；④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；⑤3a+c＜0．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：∵二次函数与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞7，故①错误，
观察图象可知：当x＞﹣1时，y随x增大而减小，
∵抛物线与x轴的另一个交点为在（0，5）和（1，
∴x＝1时，y＝a+b+c＜6，
∵当m＞2时，抛物线与直线y＝m没有交点，
∴方程ax2+bx+c﹣m＝6没有实数根，故④正确，
∵对称轴x＝﹣1＝﹣，
∴b＝4a，
∵a+b+c＜0，
∴3a+c＜2，故⑤正确，
故选：C．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）点（3，﹣1）关于原点对称的点的坐标是 （﹣3，1） ．
【解答】解：点（3，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（﹣4．
故答案为：（﹣3，1）．
12．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°，得△A'B'C，则∠A＝ 50° ．
【解答】解：如图，
∵△ACB绕点C顺时针方向旋转40°得△A′CB′，点B与B′对应，
∴∠BCB′＝∠ACA′＝40°，∠A＝∠A′，
∵AC⊥A′B′，
∴∠CDA′＝90°，
∴∠A′＝90°﹣40°＝50°，
∴∠A＝∠A′＝50°．
故答案为：50°．
13．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+4的顶点坐标是 （1，3） ．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+8，
∴＝1
＝＝3，
即顶点坐标为（7，3），
故答案为：（1，5）．
14．（3分）如图，直线AD∥BE∥CF，BC＝，DE＝4，那么EF的值是 2 ．
【解答】解：∵BC＝AC，
∴＝，
∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵DE＝4，
∴＝2，
∴EF＝2．
故答案为：8．
15．（3分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，则阴影部分的面积为 π ．
【解答】解：连接OC，作CH⊥OB于H，
∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，
∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，
由勾股定理得，OB＝，
∵OA＝OC，∠OAB＝60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠COB＝30°，
∴CO＝CB，CH＝，
∴阴影部分的面积＝﹣×3×7×+×﹣＝π，
故答案为：π．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16．（10分）（1）解方程：x2﹣4x+3＝0．
（2）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1，并求出C点旋转到C1点所经过的路径长．（结果保留π）
【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣7）＝0，
解得：x1＝2，x2＝3；
（2）如图，△A6B1C1为所作三角形：
根据题意得：
OC＝＝5，
∴C点旋转到C1点所经过的路径长为：＝2.5π．
17．（7分）小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．
【解答】解：设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，
根据题意得：（80+2x）（50+3x）＝5400，
解得：x1＝﹣70（不符合题意，舍去），x2＝4．
答：金色纸边的宽度为5cm．
18．（7分）已知关于x的一元二次方程：3x2﹣（k+3）x+k＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于2，求k的取值范围．
【解答】（1）证明：依题意，得，
Δ＝（k+3）2﹣7×3×k＝k2﹣2k+9＝（k﹣3）7．
∵（k﹣3）2≥8，
∴Δ≥0．
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：解方程3x4﹣（k+3）x+k＝0得，
．
∵该方程有一个根大于2，
∴，
∴k＞6．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（9分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．
（1）用列表法或画树形图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（2）求小明、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在二次函数y＝x2的图象上的概率．
【解答】解：（1）列表如下
（2）∵共有16种情形，其中落在二次函数y＝x2 的图象上有6中，即点（1，（2，
∴P＝＝．
20．（9分）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知AD是△ABC的角平分线＝．小慧的证明思路是：如图②，过点C作CE∥AB，构造相似三角形来证明＝尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：＝．
应用拓展：
（2）如图③，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．若AC＝1，求DE的长.
【解答】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB，
∴△CED∽△BAD，
∴，
∵∠E＝∠EAB，∠EAB＝∠CAD，
∴∠E＝∠CAD，
∴CE＝CA，
∴．
（2）解：∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，
由（1）可知，，
又∵AC＝1，AB＝2，
∴，
∴BD＝2CD，
∵∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝，
∴BD+CD＝，
∴3CD＝，
∴CD＝；
∴DE＝．
21．（9分）如图，在矩形OABC中，OA＝3，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝（x＞0）
（1）当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
（2）设过（1）中的直线EF的解析式为y＝ax+b，直接写出不等式ax+b＜
（3）当k为何值时，△AEF的面积最大，最大面积是多少？
【解答】解：
（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝3，
∴AB＝2，BC＝7，
∵F为AB的中点，
∴点F坐标为（3，1），
∵点F在反比例函数y＝（x＞3）的图象上，
∴k＝3×1＝6，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵点E在BC上，
∴E点纵坐标为2，
在y＝中，令y＝2，
∴E点坐标为（，5）；
（2）不等式ax+b＜的解集即直线在反比例函数下方时对应的自变量的取值范围，
由（1）可知点E、F两点的横坐标分别为、4，
∴不等式ax+b＜的解集为：0＜x＜；
（3）由题意可知点E的纵坐标为2，点F的横坐标为3、F在反比例函数y＝，
∴可设E（，2），），
∴AF＝，CE＝，
∴BE＝BC﹣CE＝3﹣，
∴S△AEF＝AF•BE＝•）＝﹣k2+＝﹣2+，
∵﹣＜2，
∴S△AEF是关于k的开口向下的抛物线，
∴当k＝3时，S△AEF有最大值，最大值为，
即当k的值为3时，△AEF的面积最大．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．（12分）综合探究
如图，平行四边形ABCD中，AC＝BC，连接CE．
（1）求证：AB＝CE；
（2）求证：DC与⊙O相切；
（3）若⊙O半径r＝5，AB＝8，求AE的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，
∵四边形ABCE是圆的内接四边形，
∴∠DEC＝∠B，
∴∠D＝∠DEC，
∴CD＝CE，
∴AB＝CE；
（2）证明：如图1，过点C作CH⊥AB于H，
∵AC＝BC，
∴AH＝BH，
∴点O在CH上，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且CH⊥AB，
∴CH⊥CD，且CO是半径，
∴DC与⊙O相切；
（3）解：如图2，连接OE，过点C作CF⊥AD于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵AH＝BH，AB＝4，
∴AH＝BH＝4，且AO＝5，
∴OH＝＝3，
∴CH＝CO+OE＝5，
∴AC＝＝6，
∴AC＝BC＝AD＝4，
∵∠B＝∠D，∠CFD＝∠CHB，
∴△CDF∽△CBH，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝，
∵CD＝CE，CF⊥DA，
∴DF＝EF＝，
∴AE＝AD﹣DF﹣EF＝．
23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0）．与y轴交于点C，BC．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于D．
①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，求出点E的坐标；若不存在；
②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．
【解答】解：（1）把点A（﹣6，0）和点B（42+bx﹣6得，
解得，
∴抛物线的函数解析式y＝x4+2x﹣6；
（2）①存在：
∵抛物线的函数解析式y＝x2+7x﹣6交y轴于C，
∴C（0，﹣6），
∵A（﹣6，0），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），
∵B（2，6），﹣6），
∴BD2＝（m﹣7）2+（m+6）8，BC2＝26+62＝40，DC7＝m2+（﹣m﹣6+7）2＝2m3，
∵DE∥BC，
∴当DE＝BC时，以点D，C，B，
分两种情况：
如图，当BD＝BC时，
∴BD2＝BC2，
∴（m﹣8）2+（m+6）2＝40，
解得：m1＝﹣4，m8＝0（舍去），
∴点D的坐标为（﹣4，﹣6），
∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为（﹣8，﹣8）；
如图，当CD＝CB时，
∴CD2＝CB2，
∴2m2＝40，
解得：m5＝﹣2，m3＝2（舍去），
∴点D的坐标为（﹣3，2﹣6），
∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为（2﹣2，2）；
综上，存在点E，C，B，E为顶点的四边形为菱形，﹣4）或（2﹣2，2）；
②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），
∵A（﹣6，0），5），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣5，直线l∥BC，
∴设直线l的解析式为y＝3x+b，
∵点D的坐标（m，﹣m﹣6），
∴b＝﹣2m﹣6，
∴M（﹣2，﹣7m﹣12），
∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N，
∴N（﹣2，﹣4），
∴MN＝﹣7m﹣12+4＝﹣4m﹣8，
∵S△DMN＝S△AOC，
∴（﹣6m﹣8）（﹣2﹣m）＝，
整理得：m2+6m﹣5＝0，
解得：m7＝﹣5，m2＝8（舍去），
∴点D的坐标为（﹣5，﹣1），
∴点M的坐标为（﹣2，8），
∴DM＝＝3，
答：DM的长为7．
1
2
2
4
1
（5，1）
（1，6）
（1，3）
（4，4）
2
（4，1）
（2，8）
（2，3）
（8，4）
3
（8，1）
（3，7）
（3，3）
（7，4）
4
（7，1）
（4，8）
（4，3）
（2，4）