初中数学苏科版七年级下册9.4 乘法公式综合训练题

这是一份初中数学苏科版七年级下册9.4 乘法公式综合训练题，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的计算结果是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
3． ，括号内应填（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则的值为（ ）
A．13B．8C．－3D．5
5．式子（其中x为整数）一定能被（ ）整除．
A．48B．28C．8D．6
6．若，则（ ）
A．12B．10C．8D．6
7．计算，结果的个位数字是（ ）
A．6B．5C．8D．7
8．为了应用平方差公式计算（a﹣b+c）（a+b﹣c），必须先适当变形，下列变形中，正确的是（ ）
A．[(a+c)﹣b] [(a﹣c)+b]B．[(a﹣b)+c][(a+b)﹣c]
C．[a﹣(b+c)] [a+(b﹣c)]D．[a﹣(b﹣c)] [a+(b﹣c)]
9．如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图形，小佳将阴影部分通过剪拼，拼成了图①、图②、图③三种新的图形，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
10．从下图的变形中验证了我们学习的公式（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．计算的结果为______．
12．若m2－n2=6，m－n=3，则m+n=________．
13．已知＝320，a2－b2＝322， 则a－b＝_______．
14．已知，则_____________．
15．若，则______．
16．四个数a，b，c，d排列成，称之为二阶行列式，规定它的运算法则为，若，则________．
17．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是_____．
18．如图所示，将一个边长为a的正方形减去一个边长为b的小正方形，将剩余部分（阴影部分）对半剪开，恰好是两个完全相同的直角梯形，将它们旋转拼接后构成一个等腰梯形．
（1）利用图形的面积关系可以得到一个代数恒等式是________；
（2）求前n个正奇数1，3，5，7，…的和是________．
三、解答题
19．化简：
(1) (2)
20．计算
(1) ；(2)（利用乘法公式）．
21．先化简再求值：
(1) ，其中
(2) ，其中
22．计算并观察规律，完成下列问题：
例：计算：
解：设，则原式．
计算：；
若，，请比较M、N的大小．
23．如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着虚线剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2所示的长方形．
设图1中的阴影部分面积为S1，图2中的阴影部分面积为S2，请直接用含有a、b的代数式表示，则S1＝________，S2＝_______________；
请写出上述剪拼过程所揭示的乘法公式：_______________________；
请你利用（2）中的公式计算：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）＋1．
24．已知，如图1，我们在2018年某月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”)该十字星的十字差为，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．
（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 ．
（2）若将正整数依次填入6列的长方形数表中，不同位置十字星的“十字差”是一个定值吗?如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）若将正整数依次填入k列的长方形数表中(k≥3)，继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数有关的定值，请用表示出这个定值，并证明你的结论．
参考答案
1．B
【分析】根据平方差公式计算即可得到答案
解：
，
故选：．
【点拨】此题考查平方差公式，熟记平方差计算公式是解题的关键．
2．C
【分析】可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
解：A、原式=，不符合题意；
B、原式=，不符合题意；
C、原式=，符合题意；
D、原式=，不符合题意，
故选：C．
【点拨】本题考查了平方差公式，关键是要熟练掌握并灵活运用平方差公式．
3．B
【分析】根据平方差公式即可求得．
解：，
括号内应填，
故选：B．
【点拨】本题考查了平方差公式，熟练掌握和运用平方差公式是解决本题的关键．
4．A
【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可．
解：∵
∴
∴
故选：A．
【点拨】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键．
5．B
【分析】根据平方差公式进行计算，然后求解．
解：
=
=
=
∴式子（其中x为整数）一定能被28整除
故选：B．
【点拨】本题考查平方差公式的计算，掌握公式结构正确计算是解题关键．
6．B
【分析】利用平方差公式变形即可求解．
解：原等式变形得：
．
故选：B．
【点拨】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键．
7．B
【分析】根据平方差公式将原式可化简为．求出2的乘方的前几项，总结出其个位数字依次为并依次循环出现．从而即得出的个位数字为6，进而得出的个位数字为5．
解：
…
．
∵，，，，，…，即其个位数字依次为并依次循环出现．
∵，
∴的个位数字为6，
∴的个位数字为．
故选B．
【点拨】本题考查平方差公式的应用，数字类变化规律．正确利用平方差公式化简，并找出个位数字规律性的出现是解决问题的关键．
8．D
【分析】由于平方差公式是把多项式分解为两个数的和与两个数的差的积的形式，所以根据这个特点即可判定选择项．
解：（a-b+c）（a+b-c）=[a-（b-c）][a+（b-c）]．
选项A，B，C不符合平方差公式的结构特征，只有选项D是正确的，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了因式分解的平方差公式的特点：两个数的和乘以两个数的差，此题解题关键是分别找出两个括号的符号相同的和符号不同的项，然后变形就比较简单．
9．D
【分析】按照不同的裁剪方式，拼接成不同的图形，用不同的方法表示拼接前、后阴影部分的面积，即可得出答案．
解：（1）如图①，
左图的阴影部分的面积为a2-b2，裁剪后拼接成右图的长为（a+b），宽为（a-b）的长方形，因此面积为（a+b）（a-b），
因此有a2-b2=（a+b）（a-b），
所以①符合题意；
（2）如图②，
左图的阴影部分的面积为a2-b2，裁剪后拼接成右图的底为（a+b），高为（a-b）的平行四边形，因此面积为（a+b）（a-b），
因此有a2-b2=（a+b）（a-b），
所以②符合题意；
（3）如图③，
左图的阴影部分的面积为a2-b2，裁剪后拼接成右图的上底为2b，下底为2a，，高为（a-b）的梯形，因此面积为（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b），
因此有a2-b2=（a+b）（a-b），
所以③符合题意；
综上所述，①②③都符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示拼接前、后阴影部分的面积是得出正确答案的关键．
10．D
【分析】根据正方形中有颜色部分的面积=长方形的面积可得．
解：左边正方形中有颜色部分的面积为a2-b2，
右边长方形的面积为（a+b）（a-b），
根据正方形中有颜色部分的面积=长方形的面积可得a2-b2=（a+b）（a-b），
故选：D．
【点拨】本题主要考查平方差公式的几何背景，解题的关键是根据题意得出正方形中有颜色部分的面积=长方形的面积，并表示出两部分的面积．
11．##
【分析】变形，后逆用积的乘方计算即可．
解：∵，
∴=
=
=．
故答案为：．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握运算公式是解题的关键．
12．2
【分析】根据平方差公式的逆用，即可求得．
解：∵m2-n2=(m+n)(m-n)=6，m-n=3，
∴m+n=2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了平方差公式的逆用，熟练掌握和运用平方差公式是解决本题的关键．
13．±3
【分析】首先将＝320转化为a+b=320(a-b)，再将a2－b2分解为(a+b)(a-b)，再用整体代入思想即可得(a-b)2=32，从而得解．
解：∵，
∴a+b=320(a-b)，
又∵a2－b2＝322，
∴(a+b)(a-b) ＝322
∴320×(a-b)2=322
∴(a-b)2=32
∴a-b=±3
故答案为：±3．
【点拨】本题考查根据条件等式求代数式值，因式分解—平方差公式，解题关键是将条件等式进行转化，然后整体代入求解．
14．2
【分析】根据偶数次幂和绝对值的非负性，可得，再利用平方差公式，即可求解．
解：∵，
∴且，即，
∴=1×(-3)+5=2，
故答案是：2．
【点拨】本题主要考查求代数式的值，掌握偶数次幂和绝对值的非负性和平方差公式，是解题的关键．
15．9
【分析】先将变形为，变形为，然后把看作一个整体，利用平方差公式来求解．
解：∵，
∴



．
故答案为：9．
【点拨】本题考查了平方差公式，代数式求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式：．
16．18
【分析】依题意，列出方程，解方程即可．
解：依题意，，
去括号：，
解得：．
故答案为：18．
【点拨】本题考查了新定义下解一元一次方程，整式的混合运算，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
17．30
【分析】直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案．
解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
故阴影部分的面积是：AE•BC+AE•BD＝AE（BC+BD）
＝（AB﹣BE）（BC+BD）
＝（a﹣b）（a+b）
＝（a2﹣b2）
＝×60
＝30．
故答案为：30．
【点拨】本题主要考查平方差公式与几何图形和三角形的面积公式，用代数式表示阴影部分的面积，是解题的关键．
18．
【分析】（1）可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b的恒等式
（2）由12-02=1，22-12=3，32-22=5，42-32=7…n2-（n-1）2=2n-1相加即可得结果．
解：正方形中，S阴影=a2-b2；
梯形中，S阴影=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；
故所得恒等式为：a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）．
（2）∵12-02=1，22-12=3，32-22=5，42-32=7…n2-（n-1）2=2n-1
∴1+3+4+5+7+9+…+（2n-1）=12-02+22-12+32-22+42-32+…+n2-（n-1）2=n2
故答案为：n2．
【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．
19．(1)(2)
【分析】(1)根据多项式乘多项式法则进行运算，即可求得结果；
(2)根据平方差公式进行运算，即可求得结果．
（1）解：
（2）解：
【点拨】本题考查了多项式乘多项式法则及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
20．(1)－6(2)－1
【分析】（1）根据零指数幂，有理数的乘方，负整数指数幂计算；
（2）根据平方差公式计算．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题考查实数运算，涉及到零指数幂、有理数的乘方、负整数指数幂、平方差公式运用等知识点，掌握相关运算法则及公式是解决问题的关键．
21．(1)，11(2)，8
【分析】（1）直接利用单项式乘多项式以及平方差公式化简，再合并同类项，把x的值代入得出答案；
（2）直接利用单项式乘多项式以及平方差公式化简，再合并同类项，把已知等式变形代入得出答案．
（1）解：原式
当时，原式；
（2）解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
【点拨】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
22．(1)1(2)M＜N
【分析】（1）仿照例题的思路，设223=x，则224=x+1，222=x-1，然后进行计算即可；
（2）仿照例题的思路分别用含字母的代数式表示出M，N，然后进行比较即可．
解：(1)设223=x，
∴2232-224×122
=x2-（x+1）（x-1）
=x2-x2+1
=1；
(2)设123456786=x，
∴M=123456789×123456786
=（x+3）•x
=x2+3x，
N=123456788×123456787
=（x+2）（x+1）
=x2+3x+2，
∴M＜N．
【点拨】本题考查了整式的混合运算，单项式乘多项式，理解例题的解题思路是解题的关键．
23．(1)，(2)(3)
【分析】（1）根据图形直接求面积；
（2）根据（1）中的得出等量关系；
（3）根据（2）中的公式逐步运算即可．
（1）解：图①中的面积S1＝，
图②中面积S2＝；
故答案为：，
（2）由（1）可知（1），
∴，
故答案为：；
（3）
．
【点拨】本题考查平方差公式，数形结合思想，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
24．（1）24；（2）是，这个定值是35，理由见分析；（3）定值为，证明见分析.
【分析】（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；
（2）设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x-1，x+1，上下两数分别为x-6，x+6，进而表示出十字差，化简即可得证；
（3）设十字星中心的数为y，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证．
解：（1）根据题意得：，
故答案为：24；
（2）是，这个定值是35．理由如下：
设十字星中心的数为，则十字星左右两数分别为，，上下两数分别为，，
十字差为：．
故不同位置十字星的“十字差”是一个定值，这个定值为35；
(3)定值为，证明如下：
设设十字星中心的数为y，则十字星左右两数分别为，，上下两数分别为，，
十字差为：，
故这个定值为．
【点拨】此题考查了整式运算的实际应用，正确理解题意以及熟练掌握运算法则是解本题的关键．