(新高考)高考数学二轮复习专项提升 解决数列问题的七大常用技巧及综合运用 (2份打包，原卷版+教师版)

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等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量，解题中可以不必求出每个量，从整体上使用公式．
(1)等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．5
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6＞S7＞S5，则满足SkSk＋1＜0的正整数k＝__________．
技巧二 巧用升降角标法实现转化
在含有an，Sn对任意正整数n恒成立的等式中，可以通过升降角标的方法再得出一个等式，通过两式相减得出数列递推式，再根据递推式求得数列的通项公式和解决其他问题．
设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)．求数列{an}的通项公式．
技巧三 巧用不完全归纳找规律
解数列问题时要注意归纳推理的应用，通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性规律．
在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cs[(n＋1)π]，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 026＝__________．
技巧四 巧用辅助数列求通项
已知数列的递推式求数列的通项公式时，基本思想就是通过变换递推式把其转化为等差数列、等比数列(辅助数列)，求出辅助数列的通项，再通过变换求出原数列的通项公式．
(1)当出现an＝an－1＋m(n≥2)时，构造等差数列；
(2)当出现an＝xan－1＋y(n≥2)时，构造等比数列．
(1)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－4an＝3×2n＋1，求数列{an}的通项公式．
(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(an,an＋3)(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
技巧五 巧用裂项求和
裂项相消法是数列求和的基本方法之一，在通项为分式的情况下，注意尝试裂项，裂项的基本原则是an＝f(n)－f(n＋1)．
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，若数列{Sn＋1}是公比为4的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \f(an＋1,(an＋1－3)·Sn＋1)，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn.
技巧六 巧用分组妙求和
分组求和方法是分类与整合思想在数列求和问题中的具体体现，其基本特点是把求和目标分成若干部分，先求出部分和，再整合部分和的结果得出整体和．
若数列{an}的通项公式为an＝22n＋1，令bn＝(－1)n－1×eq \f(4(n＋1),lg2anlg2an＋1)，则数列{bn}的前n项和Tn＝____________．
技巧七 巧用特值验算保准确
使用“错位相减法”求和的方法学生都能够掌握，但求解的结果容易出现错误，应该在求出结果后使用a1＝S1进行检验，如果出现a1≠S1，则说明运算结果一定错误，这时可以检查解题过程找出错误、矫正运算结果．
已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(3n－1,2n)，则其前n项和Sn＝__________．
数列的综合应用
考点一 等差、等比数列的综合(综合型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))求解此类问题应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．
(2018·高考北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.
eq \a\vs4\al()
等差数列、等比数列综合问题的解题策略
(1)分析已知条件和求解目标，确定最终解决问题需要首先求解的中间问题，如求和需要先求出通项、求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．
(2)注意细节．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．
[提醒] 在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后要注意结论的整合．

(2020·吉林第一次调研测试)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝3，an＋1＝2an＋1.
(1)证明：{an＋1}为等比数列；
(2)求{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？说明理由．
考点二 数列与数学文化(应用型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))解决数列与数学文化相交汇问题的关键：一是读懂题意，即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是“解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、公差(或公比)、项数、通项公式或前n项和等．
(1)(2020·湖南衡阳三模)中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题．今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟(单位：升)为( )
A．eq \f(25,3) B．eq \f(50,3) C．eq \f(50,7) D．eq \f(100,7)
(2)(2020·北京市石景山区3月模拟)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2an－1－1，n为偶数，,2an－1＋2，n为奇数，))则解下4个环所需的最少移动次数a4为( )
A．7 B．10 C．12 D．22
eq \a\vs4\al()
数学建模是指对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决实际问题的过程．有关数列的应用问题，是让学生能够在实际情境中，用数学的思想分析数列问题，用数学的语言表达数列问题，用数学的知识得到数列模型，用数列的方法得到结论，验证数学结论与实际问题的相符程度，最终得到符合实际规律的结果．
我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重为( )
A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤
考点三 数列与其他知识的交汇(综合型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))数列常与函数、不等式及三角函数等知识交汇，求解关键是把其他知识巧妙转化为数列问题，再利用数列公式进行求解．
(2020·安徽安庆4月联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(\r(3)sin B－sin C,b－a)＝eq \f(sin A＋sin B,c).
(1)求角A的大小；
(2)若等差数列{an}的公差不为零，a1sin A＝1，且a2，a4，a8成等比数列，bn＝eq \f(1,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和Sn.
eq \a\vs4\al()
破解数列与三角函数相交汇问题的策略：一是活用两定理，即会利用正弦定理和余弦定理破解三角形的边角关系；二是会用公式，即会利用等差数列与等比数列的通项公式求解未知量；三是求和方法，针对数列通项公式的特征，灵活应用裂项相消法、分组求和法、错位相减法等求和．
1．(2020·浙江杭州4月模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则a5＝________，b10＝________．
2．设函数f(x)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,x)，正项数列{an}满足a1＝1，an＝f()，n∈N*，且n≥2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对n∈N*，求证：eq \f(1,a1a2)＋eq \f(1,a2a3)＋eq \f(1,a3a4)＋…＋eq \f(1,anan＋1)＜2.
考点四 数列中的新定义问题(创新型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))数列的新定义问题的特点是：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．
(2020·河北石家庄4月模拟)数列{an}的前n项和为Sn，定义{an}的“优值”为Hn＝eq \f(a1＋2a2＋…＋2n－1an,n)，现已知{an}的“优值”Hn＝2n，则Sn＝________．
eq \a\vs4\al()
破解此类数列中的新定义问题的关键：一是盯题眼，即需认真审题，读懂新定义的含义，如本题，题眼{an}的“优值”Hn＝2n的含义为eq \f(a1＋2a2＋…＋2n－1an,n)＝2n；二是想“减法”，如本题，欲由等式a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n求通项，只需写出a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)·2n－1，通过相减，即可得通项公式．
[基础题组练]
1．(2020·开封市定位考试)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋4S2＝0，则公比q＝( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
2．(2020·宁夏银川一中一模)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，其前n项和为Sn，且b7＝a7，则S13＝( )
A．26 B．52 C．78 D．104
3．(2020·吉林长春5月联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＞0，a6和a8是函数f(x)＝eq \f(15,4)ln x＋eq \f(1,2)x2－8x的极值点，则S8＝( )
A．－38 B．38 C．－17 D．17
4．(多选)(应用型)一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来的高度的eq \f(2,3)再落下．设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下面说法正确的是( )
A．Sn＜500 B．Sn≤500
C．Sn的最小值为eq \f(700,3) D．Sn的最大值为400
5．(创新型)(2020·山东临沂三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 019项的和为( )
A．672 B．673
C．1 346 D．2 019
6．(2019·高考北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为__________．
7．若数列{an}满足eq \f(1,an＋1)－eq \f(2,an)＝0，则称{an}为“梦想数列”．已知正项数列{eq \f(1,bn)}为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝________．
8．(2020·湖南岳阳一模)曲线y＝eq \f(n,2)x＋ln x(n∈N*)在x＝eq \f(2,n)处的切线斜率为an，则数列{eq \f(1,anan＋1)}的前n项的和为________．
9．(2020·湖南省湘东六校联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足eq \r(Sn)＝eq \r(Sn－1)＋1(n≥2，n∈N)，且a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)记bn＝eq \f(1,an·an＋1)，Tn为{bn}的前n项和，求使Tn≥eq \f(2,n)成立的n的最小值．
10．(创新型)(2019·高考江苏卷节选)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”．
(1)已知等比数列{an}(n∈N*)满足：a2a4＝a5，a3－4a2＋4a1＝0，求证：数列{an}为“M－数列”；
(2)已知数列{bn}(n∈N*)满足：b1＝1，eq \f(1,Sn)＝eq \f(2,bn)－eq \f(2,bn＋1)，其中Sn为数列{bn}的前n项和．求数列{bn}的通项公式．
[综合题组练]
1．(综合型)(2020·湖北十堰调研)已知等差数列{an}的公差为－2，前n项和为Sn.若a2，a3，a4为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，则Sn的最大值为( )
A．5 B．11
C．20 D．25
2．(创新型)(2020·江西上高模拟)定义：若数列{an}对任意的正整数n，都有|an＋1|＋|an|＝d(d为常数)，则称|an|为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”．已知“绝对和数列”{an}中，a1＝2，绝对公和为3，则其前2 019项的和S2 019的最小值为( )
A．－2 019 B．－3 010
C．－3 025 D．－3 027
3．已知an＝3n(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，(Tn＋eq \f(3,2))k≥3n－6恒成立，则实数k的取值范围是________．