人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积当堂检测题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积当堂检测题，文件包含人教A版高中数学必修第二册《空间几何体的结构表面积与体积》同步精选原卷版doc、人教A版高中数学必修第二册《空间几何体的结构表面积与体积》同步精选教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．空间几何体的结构特征
2．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
4.空间几何体的表面积与体积公式
常用结论
1.特殊的四棱柱
eq \x(四棱柱)eq \(――→,\s\up7(底面为平),\s\d5(行四边形))eq \x(平行六面体)eq \(――→,\s\up7(侧棱垂直),\s\d5(于底面))eq \x(直平行六面体)eq \(――→,\s\up7(底面为),\s\d5(矩形))eq \x(长方体)eq \(――→,\s\up7(底面边),\s\d5(长相等))eq \x(正四棱柱)eq \(――→,\s\up7(侧棱与底面),\s\d5(边长相等))eq \x(正方体)
上述四棱柱有以下集合关系：{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}．
2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“三变”eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(坐标轴的夹角改变，,与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，,图形改变.))
“三不变”eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(平行性不改变，,与x，z轴平行的线段的长度不改变，,相对位置不改变.))
3．正方体与球的切、接常用结论
正方体的棱长为a，球的半径为R，
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
二、教材衍化
1．在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)
答案：③⑤
2．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________cm.
解析：由题意，得S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm)．
答案：2
3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．
解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)a×eq \f(1,2)b×eq \f(1,2)c＝eq \f(1,48)abc，
剩下的几何体的体积V2＝abc－eq \f(1,48)abc＝eq \f(47,48)abc，所以V1∶V2＝1∶47.
答案：1∶47
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))
(1)对空间几何体的结构特征认识不到位；
(2)锥体的高与底面不清楚致误；
(3)不会分类讨论致误．
1．下列结论中错误的是( )
A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱
B．正棱台的对角面一定是等腰梯形
C．圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线
D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体
解析：选A．由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以A选项错误．B，C，D说法均正确．
2．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E­BCD的体积是________．
解析：设长方体中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，所以VE­BCD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)ab×eq \f(1,2)c＝eq \f(1,12)abc＝10.
答案：10
3．将一个相邻边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．
解析：当底面周长为4π时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是8π；当底面周长为8π时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2，故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.
答案：32π2＋8π或32π2＋32π
考点一 空间几何体的结构特征(基础型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))利用实物模型认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
核心素养：数学抽象
1．给出下列几个命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B．①不一定，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
2．给出以下命题：
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B．由圆台的定义可知①错误．②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．
3．给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
④存在每个面都是直角三角形的四面体．
其中正确命题的序号是________．
解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形．
答案：②③④
eq \a\vs4\al()
空间几何体概念辨析问题的常用方法

考点二 空间几何体的直观图(基础型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))会用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的直观图．
核心素养：直观想象
1．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为( )
A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形
解析：选D．由斜二测画法可知在原四边形ABCD中DA⊥AB，并且AD∥BC，AB∥CD，故四边形ABCD为矩形．
2.一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′，A′B′⊥x′，B′C′∥y′，则四边形OABC的面积为 ( )
A．eq \f(3\r(2),2) B．3eq \r(2) C．3 D．eq \f(3,2)
解析：选B．平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′是直角梯形，其面积为eq \f(1,2)×(1＋2)×1＝eq \f(3,2)；
根据平面图形与它的直观图面积比为1∶eq \f(\r(2),4)，计算四边形OABC的面积为eq \f(\f(3,2),\f(\r(2),4))＝3eq \r(2).故选B．
3．已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A．eq \f(\r(3),4)a2 B．eq \f(\r(3),8)a2 C．eq \f(\r(6),8)a2 D．eq \f(\r(6),16)a2
解析：选D．如图①②所示的实际图形和直观图，
由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq \f(1,2)OC＝eq \f(\r(3),4)a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝eq \f(\r(2),2)O′C′＝eq \f(\r(6),8)a.
所以S△A′B′C′＝eq \f(1,2)A′B′·C′D′＝eq \f(1,2)×a×eq \f(\r(6),8)a＝eq \f(\r(6),16)a2.故选D．
eq \a\vs4\al()
平面图形与其直观图的关系
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形．
考点三 空间几何体的表面积与体积(基础型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．
核心素养：直观想象、数学运算
角度一 空间几何体的表面积
(1)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为( )
A．4＋4eq \r(2) B．4＋4eq \r(3) C．12 D．8＋4eq \r(2)
(2)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )
A．(5＋eq \r(2))π B．(4＋eq \r(2))π C．(5＋2eq \r(2))π D．(3＋eq \r(2))π
【解析】 (1)连接A1B.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2eq \r(2)，BC＝eq \r(2).又AB⊥BC，则AB＝eq \r(2)，则该三棱柱的侧面积为2eq \r(2)×2＋2×2＝4＋4eq \r(2)，故选A．
(2)因为在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，所以将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥，所以该几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×eq \r(12＋12)＝(5＋eq \r(2))π.故选A．
【答案】 (1)A (2)A
eq \a\vs4\al()
三类几何体表面积的求法
角度二 空间几何体的体积
如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1­AEF的体积为2，则四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为( )
A．12 B．8 C．20 D．18
【解析】 设点F到平面ABB1A1的距离为h，由题意得
Veq \s\d5(A1-AEF)＝Veq \s\d5(F-A1AE).又Veq \s\d5(F-A1AE)＝eq \f(1,3)Seq \s\d5(△A1AE)·h＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AA1·AB))·h＝eq \f(1,6)(AA1·AB)·h
＝eq \f(1,6)Seq \s\d5(四边形ABB1A1)·h＝eq \f(1,6)Veq \s\d5(ABCD-A1B1C1D1)，所以Veq \s\d5(ABCD-A1B1C1D1)＝6Veq \s\d5(A1-AEF)＝6×2＝12.
所以四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为12.故选A．
【答案】 A
eq \a\vs4\al()
(1)处理体积问题的思路
(2)求体积的常用方法
1.如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为( )
A．eq \f(\r(3),12) B．eq \f(\r(3),4) C．eq \f(\r(6),12) D．eq \f(\r(6),4)
解析：选A．三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1 的体积，三棱锥A­B1BC1的高为eq \f(\r(3),2)，
底面积为eq \f(1,2)，故其体积为eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),12).
2．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.
解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝eq \f(1,2)×(50＋80)×(π×40)＝2 600π(cm2)．
答案：2 600π
[基础题组练]
1．下列说法正确的有( )
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④圆锥的轴截面是等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选A．①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①不正确；②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的．
2．圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是( )
A．4πS B．2πS C．πS D．eq \f(2\r(3),3)πS
解析：选A．由πr2＝S得圆柱的底面半径是eq \r(\f(S,π))，故侧面展开图的边长为2π·eq \r(\f(S,π))＝2eq \r(πS)，
所以圆柱的侧面积是4πS，故选A．
3．如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′­ABC，则剩余的部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体
解析：选B．如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′­ABC，剩余部分是四棱锥A′­BCC′B′.
4．已知圆锥的高为3，底面半径为4.若一球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的半径为( )
A．5 B．eq \r(5)
C．9 D．3
解析：选B．因为圆锥的底面半径r＝4，高h＝3，所以圆锥的母线l＝5，所以圆锥的侧面积S＝πrl＝20π，设球的半径为R，则4πR2＝20π，所以R＝eq \r(5)，故选B．
5．将半径为3，圆心角为eq \f(2π,3)的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为( )
A．π B．2π C．3π D．4π
解析：选B．将半径为3，圆心角为eq \f(2π,3)的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆半径为R，则有2πR＝3×eq \f(2π,3)，所以R＝1.设圆锥的内切球半径为r，圆锥的高为h，内切球球心必在圆锥的高线上，因为圆锥的母线长为3，所以h＝eq \r(9－1)＝2eq \r(2)，所以有eq \f(r,h－r)＝eq \f(R,3)，解得r＝eq \f(\r(2),2)，因此内切球的表面积S＝4πr2＝2π.
6．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________．
解析：由于该矩形的面积S＝5×4＝20(cm2)，所以其直观图的面积S′＝eq \f(\r(2),4)S＝5eq \r(2)(cm2)．
答案：5eq \r(2) cm2
7．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.
解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.
在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝eq \r(122＋52)＝13(cm)．
答案：13
8.已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________．
解析：设圆锥SO的底面半径为r，高为h，则圆柱PO的底面半径是eq \f(r,2)，高为eq \f(h,2)，
所以V圆锥SO＝eq \f(1,3)πr2h，V圆柱PO＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r,2)))eq \s\up12(2)·eq \f(h,2)＝eq \f(πr2h,8)，所以eq \f(V圆柱PO,V圆锥SO)＝eq \f(3,8).
答案：eq \f(3,8)
9．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq \f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5eq \r(15)，则该圆锥的侧面积为________．
解析：如图所示，设S在底面的射影为S′，连接AS′，SS′.
△SAB的面积为eq \f(1,2)·SA·SB·sin∠ASB＝eq \f(1,2)·SA2·eq \r(1－cs2∠ASB)＝eq \f(\r(15),16)·SA2＝5eq \r(15)，
所以SA2＝80，SA＝4eq \r(5).因为SA与底面所成的角为45°，
所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cs 45°＝4eq \r(5)×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(10).所以底面周长l＝2π·AS′＝4eq \r(10)π，
所以圆锥的侧面积为eq \f(1,2)×4eq \r(5)×4eq \r(10)π＝40eq \r(2)π.
答案：40eq \r(2)π
10. (应用型)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P­A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD­A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
解：由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m.因为A1B1＝AB＝6 m，
所以正四棱锥P­A1B1C1D1的体积V锥＝eq \f(1,3)·A1Beq \\al(2,1)·PO1＝eq \f(1,3)×62×2＝24(m3)；
正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
故仓库的容积是312 m3.
巩固训练卷
一、选择题
1．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为eq \r(5)，那么它的体积为( )
A．6eq \r(3) B.eq \r(3) C．2eq \r(3) D．2
答案 B
解析 由正六棱锥的底面边长为1和侧棱长为eq \r(5)，可知高h＝2，
又因为底面积S＝eq \f(3\r(3),2)，所以体积V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×eq \f(3\r(3),2)×2＝eq \r(3).
2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A．π B．2π C．4π D．8π
答案 B
解析 由于侧面积为4π，∴2πrh＝4π，且h＝2r，∴r＝eq \f(h,2)＝1，∴V＝πr2h＝2π.
3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
A.eq \f(1＋2π,2π) B.eq \f(1＋4π,4π) C.eq \f(1＋2π,π) D.eq \f(1＋4π,2π)
答案 A
解析 设圆柱的底面半径为r，则其底面的周长为2πr，高为h＝2πr，
且S侧＝4π2r2，S表＝4π2r2＋2πr2，∴eq \f(S表,S侧)＝eq \f(4π2r2＋2πr2,4π2r2)＝eq \f(2π＋1,2π).
4．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为eq \r(3)，则这个圆锥的表面积是( )
A．3π B．3eq \r(3)π C．6π D．9π
答案 A
解析 根据轴截面面积是eq \r(3)，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.
4．已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.eq \f(8π,3) B．3π C.eq \f(10π,3) D．6π
答案 B
解析 由题图可知，此几何体为从底面半径为1，高为4的圆柱的母线的中点处截去了圆柱的eq \f(1,4)后剩余的部分，所以V剩＝eq \f(3,4)×π×12×4＝3π.
6．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )
A．3∶2 B．2∶1 C．4∶3 D．5∶3
答案 C
解析 设圆锥的底面半径为r，则有eq \f(2π,3)l＝2πr，∴l＝3r，∴eq \f(S表,S侧)＝eq \f(πr2＋πrl,πrl)＝eq \f(πr2＋3πr2,3πr2)＝eq \f(4,3).
7.如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，则此正三棱锥的表面积为( )
A．9eq \r(3) B．18eq \r(3) C．27eq \r(3) D．36
答案 C
解析 如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，
则SE⊥AB，SE＝h′.
∵S侧＝2S底，∴eq \f(1,2)·3a·h′＝eq \f(\r(3),4)a2×2.∴a＝eq \r(3)h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.∴32＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))2＝h′2.
∴h′＝2eq \r(3)，∴a＝eq \r(3)h′＝6.∴S底＝eq \f(\r(3),4)a2＝eq \f(\r(3),4)×62＝9eq \r(3)，S侧＝2S底＝18eq \r(3).
∴S表＝S侧＋S底＝18eq \r(3)＋9eq \r(3)＝27eq \r(3).
二、填空题
8．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．
答案 eq \f(\r(3)π,3)
解析 易知圆锥的母线长l＝2，设圆锥的底面半径为r，
则2πr＝eq \f(1,2)×2π×2，∴r＝1，∴圆锥的高h＝eq \r(l2－r2)＝eq \r(3)，则圆锥的体积V＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(\r(3)π,3).
9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
答案 38
解析 由几何体的三视图可知，该几何体是长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱后剩下的部分．
∴S表＝(4×1＋3×4＋3×1)×2＋2π×1×1－2π×12＝38.
10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小的底面半径为________．
答案 7
解析 设圆台较小的底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，所以圆台较大的底面半径为3r，母线长l＝3，圆台的侧面积为84π，所以S侧面积＝π(r＋3r)l＝84π，解得r＝7.
11．已知正三棱锥的侧面积是27 cm2，底面边长是6 cm，则它的高是________．
答案 eq \r(6) cm
解析 如图所示，正三棱锥P－ABC的底面边长为6 cm，
过点P作PO⊥平面ABC，O为垂足，取AB的中点D，连接PD，OD.
由题意得3×eq \f(1,2)×AB×PD＝27，所以PD＝3 cm.又OD＝eq \f(\r(3),6)×6＝eq \r(3) cm，
所以它的高PO＝eq \r(PD2－OD2)＝eq \r(9－3)＝eq \r(6) cm.
三、解答题
12．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．
解 如图所示，在三棱台ABC－A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，连接OO′，A′D′，AD，DD′，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，
记为h0，所以
S侧＝3×eq \f(1,2)×(20＋30)h0＝75h0.
上、下底面面积之和为S上＋S下＝eq \f(\r(3),4)×(202＋302)＝325eq \r(3)(cm2)．
由S侧＝S上＋S下，得75h0＝325eq \r(3)，所以h0＝eq \f(13\r(3),3)(cm)．
又O′D′＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×20＝eq \f(10\r(3),3)(cm)，OD＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×30＝5eq \r(3)(cm)，
记棱台的高为h，则h＝O′O＝eq \r(h\\al(2,0)－OD－O′D′2)＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13\r(3),3)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5\r(3)－\f(10\r(3),3)))2)＝4eq \r(3)(cm)，
由棱台的体积公式，可得棱台的体积
V＝eq \f(h,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))＝eq \f(4\r(3),3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(325\r(3)＋\f(\r(3),4)×20×30))＝1900(cm3)．
13. 如图，底面半径为1，高为1的圆柱OO1中有一内接长方体ABCD－A1B1C1D1，设矩形ABCD的面积为S，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V，AB＝x.
(1)将S表示为x的函数；
(2)求V的最大值．
解 (1)连接AC，∵矩形ABCD内接于⊙O，∴AC是⊙O的直径．
∵AC＝2，AB＝x，∴BC＝eq \r(4－x2)，∵S＝AB·BC＝xeq \r(4－x2)(0