2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之线段的垂直平分线

这是一份2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之线段的垂直平分线，共19页。

A．8cmB．10cmC．12cmD．15cm
2．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
3．如图，已知点O是△ABC的两边AB和AC的垂直平分线OD，OE的交点，且∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．125°
4．如图，∠BAC＝100°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
5．如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD，DE＝2，EC，则AC的长为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共5小题）
6．如图，在△ABC（AB＜AC）中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝15cm，△ABE的周长为24cm，则AB的长为 ．
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A、C为圆心，大于AC的一半的长度为半径画弧，四弧交于两点M、N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝32°，则∠BAE的度数为 度．
8．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D是BC上一点，BD，CD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，则∠EDF＝ 度．
9．在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝20°，则∠BAC＝ °．
10．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，若△PAB的周长为
14，PA＝4，则线段AB的长为 ．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD．
（1）如图CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长．
（2）求∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数．
12．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？
13．如图所示，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
（1）若△APQ的周长为12，求BC的长；
（2）∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数．
14．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG．
（1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长；
（2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数．
15．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD＝24°，∠ACB＝66°．求证：BE＝AC．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之线段的垂直平分线
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，△ABC中，AC边的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，AD＝3cm，△ABC的周长为18cm，则△BEC的周长为（ ）
A．8cmB．10cmC．12cmD．15cm
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，由△ABC的周长为18cm求出AB+BC，最后根据△BEC的周长为BE+CE+BC＝AB+BC即可求解．
【解答】解：∵AC边的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，
∴AE＝CE，，
∵AD＝3cm，
∴AC＝6cm，
∵△ABC的周长为18cm，
∴AB+BC＝12cm，
∴△BEC的周长为BE+CE+BC＝AB+BC＝12cm，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A＝∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
3．如图，已知点O是△ABC的两边AB和AC的垂直平分线OD，OE的交点，且∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．125°
【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】连接OA，可利用垂直平分线的性质得到∠ABO+∠ACO的值，进一步可求出∠BOC的度数．
【解答】解：连接OA，如图所示：
由题意得：OB＝OA＝OC，
∴∠ABO＝∠BAO，∠ACO＝∠CAO，
∵∠BAO+∠CAO＝∠A＝50°，
∴∠ABO+∠ACO＝50°，
∵∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），
又∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠A﹣（∠ABO+∠CO），
∴∠BOC＝∠A+（∠ABO+∠ACO）＝100°，
故选：A．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识点．掌握数学中的整体思想是解题关键．
4．如图，∠BAC＝100°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】由∠BAC＝100°，可求得∠B+∠C的度数，又由MP，NQ分别垂直平分AB，AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AP＝BP，AQ＝CQ，继而求得∠BAP+∠CAQ的度数，则可求得答案．
【解答】解：∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∵MP，NQ分别垂直平分AB，AC，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝80°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝20°．
故选：A．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
5．如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD，DE＝2，EC，则AC的长为（ ）
A．B．C．D．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD，AE的长，利用勾股定理逆定理得出△ADE是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：连接AD，AE，
∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∵DE＝2，
∴，
∴△ADE是直角三角形，
∴∠ADE＝90°，
由勾股定理可得：AC，
故选：D．
【点评】考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形．
二．填空题（共5小题）
6．如图，在△ABC（AB＜AC）中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝15cm，△ABE的周长为24cm，则AB的长为 9cm ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE＝CE，然后求出△ABE的周长＝AB+AC，代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+CE＝AB+AC，
∵AC＝15cm，△ABE的周长为24cm，
∴AB+15＝24，
解得AB＝9，
故答案为：9cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△ABE的周长＝AB+AC是解题的关键．
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A、C为圆心，大于AC的一半的长度为半径画弧，四弧交于两点M、N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝32°，则∠BAE的度数为 26 度．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用基本作图得到ED垂直平分AC，则根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，所以∠EAC＝∠C＝32°，然后根据三角形内角和计算∠BAE的度数．
【解答】解：由作法得ED垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝32°，
∴∠BAE＝90°﹣32°﹣32°＝26°．
故答案为26°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
8．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D是BC上一点，BD，CD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，则∠EDF＝ 80 度．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】80．
【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝ED，FD＝FC，则根据等腰三角形的性质得到∠EDB＝∠B，∠FDC＝∠C，然后利用平角的定义得∠EDF＝180°﹣（∠EDB+∠FDC），利用三角形内角和定理得到∠A＝180°﹣（∠B+∠C），所以∠EDF＝∠A．
【解答】解：∵BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，
∴EB＝ED，FD＝FC，
∴∠EDB＝∠B，∠FDC＝∠C，
∴∠EDB+∠FDC＝∠B+∠C，
∵∠EDF＝180°﹣（∠EDB+∠FDC），∠A＝180°﹣（∠B+∠C），
∴∠EDF＝∠A＝80°．
故答案为：80．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．
9．在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝20°，则∠BAC＝ 80°或100 °．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】80°或100°．
【分析】当∠BAC为锐角时，如图1，设∠BAG＝α，∠CAE＝β，根据线段垂直平分线性质可得：∠ABC＝∠EAB＝20°+α，∠C＝∠CAG＝β+20°，再运用三角形内角和定理即可求得答案．当∠BAC为钝角时，如图2，根据线段垂直平分线性质可得：∠B＝∠EAB，∠C＝∠CAG，∠BAC＝∠B+20°+∠C，再结合三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】解：当∠BAC为锐角时，如图1，设∠BAG＝α，∠CAE＝β，
∵∠EAG＝20°，
∴∠EAB＝∠EAG+∠BAG＝20°+α，∠CAG＝∠CAE+∠EAG＝β+20°，∠BAC＝α+β+20°，
∵DE、FG分别垂直平分AB、AC，
∴∠ABC＝∠EAB，∠C＝∠CAG，
∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，
∴α+β+20°+20°+α+β+20°＝180°，
∴α+β＝60°，
∴∠BAC＝α+β+20°＝60°+20°＝80°；
当∠BAC为钝角时，如图2，
∵DE、FG分别垂直平分AB、AC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠CAG，
∴∠BAC＝∠EAB+∠EAG+∠CAG＝∠B+20°+∠C，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠B+20°+∠C+∠B+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣80°＝100°；
综上所述，∠BAC＝80°或100°．
故答案为：80°或100°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，若△PAB的周长为
14，PA＝4，则线段AB的长为 6 ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】由直线CD是线段AB的垂直平分线，可得PA＝PB＝4，又由△PAB的周长为14，即可求得答案．
【解答】解：直线CD是线段AB的垂直平分线，PA＝4，
∴PA＝PB＝4，
∵△PAB的周长为14，
∴PA+PB+AB＝14，
∴4+4+AB＝14，
∴AB＝6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD．
（1）如图CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长．
（2）求∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DC＝BD，根据三角形的周长公式计算；
（2）根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）∵MN垂直平分BC，
∴DC＝BD，
CE＝EB，
又∵EC＝4，
∴BE＝4，
又∵△BDC的周长＝18，
∴BD+DC＝10，
∴BD＝5；
（2）∵∠ADM＝60°，
∴∠CDN＝60°，
又∵MN垂直平分BC，
∴∠DNC＝90°，
∴∠C＝30°，
又∵∠C＝∠DBC＝30°，
∠ABD＝20°，
∴∠ABC＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝100°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，AB＝AE，等量代换证明结论；
（2）根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC＝20cm，根据AB＝EC，BD＝DE计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝EC；
（2）解：∵△ABC的周长为20cm，
∴AB+BC+AC＝20cm，
∵AC＝7cm，
∴AB+BC＝13cm，
∵AB＝EC，BD＝DE，
∴AB+BD＝DE+EC＝DC，
∵AB+BC＝AB+BD+DC＝2DC＝13cm
∴．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
13．如图所示，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
（1）若△APQ的周长为12，求BC的长；
（2）∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AP＝BP，AQ＝CQ，然后求出△APQ的周长＝BC，代入数据进行计算即可得解；
（2）根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，根据三角形内角和定理求出∠BAP+∠CAQ，再求解即可．
【解答】解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∴△APQ的周长＝AP+PQ+AQ＝BP+PQ+CQ＝BC，
∵△APQ的周长为12，
∴BC＝12；
（2）∵AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，
∵∠BAC＝105°，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣105°＝75°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝105°﹣75°＝30°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键．
14．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG．
（1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长；
（2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】（1）10；
（2）28°．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝76°，根据等腰三角形的性质求出∠EAB+∠GAC，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∵△AEG的周长为10，
∴AE+EG+AG＝10，
∴BC＝BE+EG+GC＝AE+EG+GC＝10；
（2）∵∠BAC＝104°，
∴∠B+∠C＝180°﹣104°＝76°，
∵EA＝EB，GA＝GC，
∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝76°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）＝104°﹣76°＝28°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD＝24°，∠ACB＝66°．求证：BE＝AC．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】证明见解答．
【分析】连接AE，根据三角形内角和定理得到∠ADC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，AE＝BE，等量代换证明结论．
【解答】证明：连接AE，
∵∠ACB＝66°，∠DAC＝24°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACB＝180°﹣24°﹣66°＝90°，
∴AD⊥EC，
∵点D为CE的中点，
∴DE＝DC，
∴AD是线段CE的垂直平分线，
∴AE＝AC，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
考点卡片
1．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
2．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 17:15:10；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967

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