重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附答案）

这是一份重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附答案），共9页。

【命题单位：重庆缙云教育联盟】
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，先摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是（ ）
A．B．
C．D．
3．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．定义在R上的函数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．，对，不等式恒成立，则正整数的最大值与最小值之和为（ ）
A．8B．6C．5D．2
7．设函数在R上存在导数，对任意都有，且在上，，若，则实数a的取值范围是
A．B．
C．D．
8．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
10．排球是一项深受人们喜爱的运动项目，排球比赛一般采用5局3胜制．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．在决胜局（第五局）采用15分制，某队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜．现有甲、乙两队进行排球比赛，则下列说法正确的是（ ）
A．已知前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局，若甲队最后赢得整场比赛，则甲队将以或的比分赢得比赛
B．若甲队每局比赛获胜的概率为，则甲队赢得整场比赛的概率也是
C．已知前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局，且接下来两队赢得每局比赛的概率均为，则甲队最后赢得整场比赛的概率为
D．已知前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分．若两队打了个球后甲赢得整场比赛，则的取值为2或4
11．意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现数列数列中的每一项称为斐波那契数，记作．已知．则（ ）
A．
B．
C．若斐波那契数除以4所得的余数按照原顺序构成数列，则
D．若．则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．曲线在点处的切线方程为 ．
13．已知函数，其中，则曲线在点处的切线方程为 ．
14．已知函数在上单调递减，则a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．各项均不为0的数列对任意正整数满足：．
(1)若为等差数列，求；
(2)若，求的前项和．
16．已知函数在点处的切线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)求的单调区间和极值.
17．已知二项式．
(1)若，，求二项式的值被7除的余数；
(2)若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项．
18．某单位进行招聘面试，已知参加面试的名学生全都来自A，B，C三所学校，其中来自A校的学生人数为.该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场.
(1)求面试号码为2的学生来自A校的概率.
(2)若，，且B，C两所学校参加面试的学生人数比为，求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试后，B，C两校都还有学生未完成面试）的概率.
(3)记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间），是的数学期望，证明：.
19．在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为．
(1)试求，，，的值；
(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系；
(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：
①准备两个不同的、足够大的素数p，q；
②计算，欧拉函数；
③求正整数k，使得kq除以的余数是1；
④其中称为公钥，称为私钥．
已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和．重庆市2023-2024学年（下）3月月度质量检测
高二数学答案及评分标准
【命题单位：重庆缙云教育联盟】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C2．D3．B4．D
5．D6．B7．A8．B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．AD10．AD11．BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．
（1）由题意，
当时，，
两式相减得，
因为为等差数列，在式子：中令，
得，所以，
所以或，
若，则，但这与矛盾，舍去，所以.
（2）因为，所以，
而当时，，所以此时，
所以此时，
而也满足上式，综上所述，的前项和.
16．
（1）因为，所以，
则，因为函数在点处的切线与直线垂直，
故，解得；
（2）因为，所以，
令，解得或，令得或，令得，
列表如下：
故的单调递减区间为和，单调递增区间为，
的极大值为，极小值为.
17．
（1）因为，，
，
显然能被7整除，，
所以二项式的值被7除的余数为.
（2）因为的二项式系数之和为128，，
则的展开通项公式为，
假设展开式中系数最大的项为第项，
则，即，
即，解得，
所以展开式中系数最大的项为第6，7项，
即.
18．
（1）记“面试号码为2的学生来自A校”为事件A，
将A校n名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为，
事件A表示A校有1名学生的面试号码为2，
其他名学生的面试号码在剩余个面试号码中随机安排，
则事件A包含的样本点数为，
故．
（2）设B校参加面试的学生有x名，由题意得，解得．
所以B校参加面试的学生有10名，C校参加面试的学生有20名．
记“最后面试的学生来自B校”为事件B，“最后面试的学生来自C校”为事件C，
显然事件B，C互斥．
记“A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件D，则．
当事件B发生时，只需考虑A，C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自C校，
则．
当事件C发生时，只需考虑A，B两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自B校，
则．
所以．
（3）由题知随机变量X的取值为，，…，，
则随机变量X的分布列为，，，…，N．
所以随机变量X的期望
．
所以．
19．
（1）由欧拉函数的定义知，不越过3且与3互素的正整数有1，2，则，
不越过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则，
不越过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则，
不越过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则，
所以.
（2）在不大于的正整数中，只有3的倍数不与互素，而3的倍数有个，
因此.
由，是两个不同的素数，得，
在不超过的正整数中，的倍数有个，的倍数有个，
于是，
所以.
（3）计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是，则，从而
由（2）得，，
即正整数满足的条件为：，
，令，则，
令，则，
取，则，于是，
因此，即，
，
.
3
0
+
0
↘
极小值
↗
极大值
↘