2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之切线长定理

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A．8B．12C．16D．20
2．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm
B．15cm
C．10cm
D．随直线MN的变化而变化
3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ）
A．7B．8C．9D．16
4．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（ ）
A．13B．12C．11D．10
6．如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝6，以AB为直径的半⊙O切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（ ）
A．9B．10C．3D．2
7．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（ ）cm2
A．12B．24C．8D．6
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）
A．B．3C．3D．
二．填空题（共6小题）
9．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C是AB上一点，过C作⊙O的切线，交PA，PB于点D，E，若PA＝6cm，则△PDE的周长是 cm．
10．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝10，则⊙O的面积为 ．
11．如图，AB为⊙O的切线，AC、BD分别与⊙O切于C、D点，若AB＝5，AC＝3，则BD的长是 ．
12．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA＝ cm．
13．如图，⊙O的半径为3cm，点P到圆心的距离为6cm，经过点P引⊙O的两条切线，这两条切线的夹角为 度．
14．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 ．
三．解答题（共1小题）
15．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．
（1）求证：△PAB是等边三角形；
（2）求AC的长．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之切线长定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
A．8B．12C．16D．20
【考点】切线长定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．
【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，
即△PCD的周长为16．
故选：C．
【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．
2．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm
B．15cm
C．10cm
D．随直线MN的变化而变化
【考点】切线长定理．
【答案】A
【分析】利用切线长定理得出DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝10cm，
∴设E、F分别是⊙O的切点，
故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了切线长定理，得出AM+AN+MN＝AD+AE是解题关键．
3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ）
A．7B．8C．9D．16
【考点】切线长定理．
【答案】A
【分析】根据切线长定理，可得BI＝BG，CI＝CH，DG＝DF，EF＝EH，则C△ADE＝AD+AE+DE＝AD+AE+DF+EF＝AD+DG+EH+AE＝AG+AH＝C△ABC﹣（BG+CH+BC），据此即可求解．
【解答】解：∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，
∴BI＝BG，CI＝CH，DG＝DF，EF＝EH．
∴BG+CH＝BI+CI＝BC＝9，
∴C△ADE＝AD+AE+DE＝AD+AE+DF+EF＝AD+DG+EH+AE＝AG+AH＝C△ABC﹣（BG+EH+BC）＝25﹣2×9＝7．
故选：A．
【点评】本题考查了切线长定理，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键．
4．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】切线长定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】B
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝6，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
5．如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（ ）
A．13B．12C．11D．10
【考点】切线长定理；勾股定理．
【专题】空间观念；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠BCD，BE＝BF，CG＝CF，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴BC10，
∴BE+CG＝10（cm）．
故选：D．
【点评】此题主要是考查了切线长定理．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角．
6．如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝6，以AB为直径的半⊙O切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（ ）
A．9B．10C．3D．2
【考点】切线长定理．
【专题】计算题；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】作DH⊥BC于H，如图，利用平行线的性质得AB⊥AD，AB⊥BC，则根据切线的判定得到AD和BC为⊙O切线，根据切线长定理得DE＝DA＝2，CE＝CB，NE＝NF，MB＝MF，利用四边形ABHD为矩形得BH＝AD＝2，DH＝AB＝6，设BC＝x，则CH＝x﹣2，CD＝x+2，在Rt△DCH中根据勾股定理得（x﹣2）2+62＝（x+2）2，解得x，即CB＝CE，然后由等线段代换得到△MCN的周长＝CE+CB＝9．
【解答】解：作DH⊥BC于H，如图，
∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC＝90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴AD和BC为⊙O 切线，
∵CD和MN为⊙O 切线，
∴DE＝DA＝2，CE＝CB，NE＝NF，MB＝MF，
∵四边形ABHD为矩形，
∴BH＝AD＝2，DH＝AB＝6，
设BC＝x，则CH＝x﹣2，CD＝x+2，
在Rt△DCH中，∵CH2+DH2＝DC2，
∴（x﹣2）2+62＝（x+2）2，解得x，
∴CB＝CE，
∴△MCN的周长＝CN+CM+MN
＝CN+CM+NF+MF
＝CN+CM+NE+MB
＝CE+CB
＝9．
故选：A．
【点评】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．也考查了勾股定理．
7．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（ ）cm2
A．12B．24C．8D．6
【考点】切线长定理；勾股定理．
【答案】D
【分析】由于AE与圆O切于点F，根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC；设EF＝EC＝xcm．则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，
然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面积．
【解答】解：∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC，
设EF＝EC＝xcm，
则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
（4﹣x）2+42＝（4+x）2，
∴x＝1cm，
∴CE＝1cm，
∴DE＝4﹣1＝3cm，
∴S△ADE＝AD•DE÷2＝3×4÷2＝6cm2．
故选：D．
【点评】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB＝AF，EF＝EC．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）
A．B．3C．3D．
【考点】切线长定理．
【答案】D
【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．
【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（﹣6，0）、B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∴AB＝6
∴OPAB＝3，
∵OQ＝2，
∴PQ，
故选：D．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．
二．填空题（共6小题）
9．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C是AB上一点，过C作⊙O的切线，交PA，PB于点D，E，若PA＝6cm，则△PDE的周长是 12 cm．
【考点】切线长定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据切线长定理将△PDE的周长转化为切线长即可．
【解答】解：根据切线长定理得：AD＝CD，BE＝CE，PA＝PB，则△PDE的周长＝2PA＝12cm．
【点评】此题主要考查切线长定理的运用能力．
10．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝10，则⊙O的面积为 25π ．
【考点】切线长定理；正方形的性质；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】计算题；运算能力；推理能力．
【答案】25π
【分析】设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，得到四边形OECF是正方形，求得CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，根据全等三角形的性质得到EM＝NF，得到OE＝5，进而求出⊙O的面积．
【解答】解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，
连接OE，OF，
则四边形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EOM＝∠FON，
∴△OEM≌△OFN（ASA），
∴EM＝NF，
∴CM+CN＝CE+CF＝10，
∴OE＝5，
∴⊙O的面积为25π，
故答案为：25π．
【点评】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．如图，AB为⊙O的切线，AC、BD分别与⊙O切于C、D点，若AB＝5，AC＝3，则BD的长是 2 ．
【考点】切线长定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AE，BE＝BD，求出BE的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AE，
∵BE、BD为⊙O的切线，
∴BE＝BD，
∴BD＝EB＝AB﹣AE＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
12．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA＝ 5 cm．
【考点】切线长定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．
【解答】解：如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA＝PB；
同理，可得：DE＝DA，CE＝CB；
则△PCD的周长＝PD+DE+CE+PC＝PD+DA+PC+CB＝PA+PB＝10（cm）；
∴PA＝PB＝5cm，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了切线长定理的应用，能够将△PCD的周长转换为切线PA、PB的长是解答此题的关键．
13．如图，⊙O的半径为3cm，点P到圆心的距离为6cm，经过点P引⊙O的两条切线，这两条切线的夹角为 60 度．
【考点】切线长定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AO，则△APO是直角三角形，根据切线长定理即可求解．
【解答】解：连接AO．则△APO是直角三角形．
根据OA＝3cm，OP＝6cm，因而∠APO＝30°，
所以∠APB＝60°．
【点评】本题主要考查了切线长定理．
14．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 S1+S3＝S2+S4 ．
【考点】切线长定理；三角形的内切圆与内心．
【专题】与圆有关的计算；几何直观．
【答案】S1+S3＝S2+S4．
【分析】设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC OH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，推出S1+S3r（a+b） r（c+d）r（a+b+c+d）＝S2+S4．
【解答】解：如图设切点分别为E、F、G、H，
由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC OH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，
设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，
S1r（a+b），S2r （b+c），S3 r（c+d），S4r（a+d），
∴S1+S3r（a+b） r（c+d）r（a+b+c+d），
S2+S4r（a+d）r （b+c）r（a+b+c+d），
∴S1+S3＝S2+S4．
故答案为S1+S3＝S2+S4．
【点评】本题考查了切线长定理和内切圆的性质，熟练运用切线的性质和三角形面积公式是解题的关键．
三．解答题（共1小题）
15．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．
（1）求证：△PAB是等边三角形；
（2）求AC的长．
【考点】切线长定理；解直角三角形的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由切线长定理可得PA＝PB，且∠P＝60°，可得△PAB是等边三角形；
（2）由等边三角形的性质可得PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，由圆周角定理和切线的性质可得∠CAB＝90°，∠PBC＝90°，由锐角三角函数可求AC的长，
【解答】解：（1）∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴PA＝PB，且∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形；
（2）∵△PAB是等边三角形；
∴PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，
∵BC是直径，PB是⊙O切线，
∴∠CAB＝90°，∠PBC＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴tan∠ABC，
∴AC＝2cm．
【点评】本题考查了切线长定理，切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质是本题的关键．
考点卡片
1．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
2．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
3．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
4．切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
5．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
6．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 18:09:08；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.cm；学号：41418968

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