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2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之圆周角与圆心角的的关系
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这是一份2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之圆周角与圆心角的的关系,共21页。
A.30°B.45°C.50°D.55°
2.如图,点P是⊙O上一点,若∠AOB=70°,则∠APB的度数为( )
A.110°B.145°C.135°D.160°
3.如图,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上,若∠ADC=130°,则∠BAC的度数为( )
A.25°B.30°C.40°D.50°
4.如图,点A,B,C,D在⊙O上,∠AOC=142°,点B是的中点,则∠D的度数是( )
A.70°B.55°C.35.5°D.35°
5.如图,点B,C,D在⊙O上,∠BOC=120°,点A是的中点,则∠BDA的度数是( )
A.30°B.40°C.50°D.60°
二.填空题(共5小题)
6.如图,用直角曲尺可以检查半圆形的工件是否合格,其中的数学依据是 .
7.如图,⊙O的直径是AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D,则BC+AD= cm.
8.如图,四边形ABCD内接于⊙O,E为BC延长线上一点,若∠A=80°,则∠DCE= °.
9.如图,点A是半圆上的一个三等分点,点B是的中点,P是直径CD上一动点,⊙O的半径是2,则PA+PB的最小值为 .
10.如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在CD的延长线上.若∠ADE=70°,则∠AOC= 度.
三.解答题(共5小题)
11.如图,图中两条弦AB、CD相交于点E,且AE=DE,求证:AB=CD.
12.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,∠ACD=30°.
(1)求∠DAB的度数;
(2)过点D作DE⊥AB,垂足为E,DE的延长线交⊙O于点F.若AB=4,求DF的长.
13.已知:如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,且AB⊥CD,垂足为E.
(1)求证:∠CDB=∠A;
(2)若∠DBC=120°,⊙O的直径AB=8,求BC、CD的长.
14.如图,BD是⊙O的直径,,点C是半圆上一动点,且与点A分别在BD的两侧.
(1)如图1,若5,BD=4,求AC的长;
(2)求证:CD+BCAC.
15.如图所示,AB=AC,AB为⊙O的直径,AC,BC分别交⊙O于E,D,连接ED,BE.
(1)试判断DE与BD是否相等,并说明理由;
(2)如果BC=6,AB=5,求BE的长.
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之圆周角与圆心角的的关系
参考答案与试题解析
一.选择题(共5小题)
1.如图,在⊙O中,OA⊥BC,∠ADB=25°.则∠AOC的度数为( )
A.30°B.45°C.50°D.55°
【考点】圆周角定理;垂径定理;圆心角、弧、弦的关系.
【专题】圆的有关概念及性质;运算能力;推理能力.
【答案】C
【分析】根据题意可知,即可推出∠AOC=50°.
【解答】解:∵OA⊥BC,∠ADB=25°,
∴,
∴∠AOC=2∠ADB=50°.
故选:C.
【点评】本题主要考查圆周角定理、垂径定理,关键在于求出.
2.如图,点P是⊙O上一点,若∠AOB=70°,则∠APB的度数为( )
A.110°B.145°C.135°D.160°
【考点】圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系.
【专题】与圆有关的计算;运算能力.
【答案】B
【分析】取优弧上一点C,连接AC,BC,由圆周角定理,得∠ACB=35°,运用圆内接四边形对角互补求解.
【解答】解:如图,取优弧上一点C,连接AC,BC,则,
∴∠APB=180°﹣∠ACB=145°.
故选:B.
【点评】本题考查圆周角定理、圆内接四边形;由相关定理得角之间的数量关系是解题的关键.
3.如图,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上,若∠ADC=130°,则∠BAC的度数为( )
A.25°B.30°C.40°D.50°
【考点】圆周角定理;圆内接四边形的性质.
【专题】圆的有关概念及性质;推理能力.
【答案】C
【分析】根据圆周角定理,由AB是⊙O的直径,可证∠ACB=90°,由圆内接四边形的对角互补可求∠B=180°﹣∠D=50°,即可求∠BAC=90°﹣∠B=40°.
【解答】解:∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠ADC+∠B=180°,
∵∠ADC=130°,
∴∠B=180°﹣130°=50°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC=90°﹣∠B=40°.
故选:C.
【点评】本题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质,解题的关键是掌握圆内接四边形的性质并灵活运用.
4.如图,点A,B,C,D在⊙O上,∠AOC=142°,点B是的中点,则∠D的度数是( )
A.70°B.55°C.35.5°D.35°
【考点】圆内接四边形的性质;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理.
【专题】圆的有关概念及性质;推理能力.
【答案】C
【分析】连接OB,根据圆心角、弧、弦的关系的关系定理求出∠AOB,再根据圆周角定理解答即可.
【解答】解:如图,连接OB,
∵点B是的中点,
∴∠AOB=∠COB∠AOC,
∵∠AOC=142°,
∴∠AOB142°=71°,
由圆周角定理得:∠D∠AOB=35.5°,
故选:C.
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系的关系定理、圆周角定理,熟记同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键.
5.如图,点B,C,D在⊙O上,∠BOC=120°,点A是的中点,则∠BDA的度数是( )
A.30°B.40°C.50°D.60°
【考点】圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系.
【专题】圆的有关概念及性质;推理能力.
【答案】A
【分析】连接OA,由圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB=∠AOC=60°,由圆周角定理即可求出∠BDA∠AOB=30°.
【解答】解:连接OA,
∵点A是的中点,
∴∠AOB=∠AOC,
∵∠BOC=120°,
∴∠AOB∠BOC=60°,
∴∠BDA∠AOB=30°.
故选:A.
【点评】本题考查圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系,关键是由圆周角定理得到∠BDA∠AOB.
二.填空题(共5小题)
6.如图,用直角曲尺可以检查半圆形的工件是否合格,其中的数学依据是 90°圆周角所对的直角 .
【考点】圆周角定理.
【专题】圆的有关概念及性质;应用意识.
【答案】90°圆周角所对的弦是直径.
【分析】由圆周角定理:90°圆周角所对的弦是直径,即可判定半圆形的工件是否合格.
【解答】解:直角曲尺检查半圆形的工件是否合格,运用到的道理是:90°圆周角所对的弦是直径.
故答案为:90°圆周角所对的弦是直径.
【点评】此题考查了圆周角定理.此题比较简单,注意半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径定理的应用是解此题的关键.
7.如图,⊙O的直径是AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D,则BC+AD= (8+5) cm.
【考点】圆周角定理.
【专题】与圆有关的计算;运算能力.
【答案】(8+5).
【分析】利用勾股定理求出BC,证明AD=BD,求出AD,可得结论.
【解答】解:∵AB是直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°,
∵AB=10cm,AC=6cm,
∴BC8(cm),
∵CD平分∠ACD,
∴,
∴AD=BDAB=5(cm),
∴BC+AD=(8+5)(cm).
故答案为:(8+5).
【点评】本题考查了圆周角定理,圆心角、弧、弦之间的关系,角平分线的定义,勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
8.如图,四边形ABCD内接于⊙O,E为BC延长线上一点,若∠A=80°,则∠DCE= 80 °.
【考点】圆内接四边形的性质.
【专题】圆的有关概念及性质;推理能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解.
【解答】解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠A+∠DCB=180°,
又∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠DCE=∠A=80°
故答案为:80.
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质.解决本题的关键是掌握:圆内接四边形的对角互补.
9.如图,点A是半圆上的一个三等分点,点B是的中点,P是直径CD上一动点,⊙O的半径是2,则PA+PB的最小值为 2 .
【考点】圆周角定理;轴对称﹣最短路线问题;垂径定理.
【专题】平移、旋转与对称;圆的有关概念及性质;推理能力.
【答案】2.
【分析】首先作A关于CD的对称点Q,连接BQ,然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答.
【解答】解:作A关于MN的对称点Q,连接CQ,BQ,BQ交CD于P,此时AP+PB=QP+PB=QB,
根据两点之间线段最短,PA+PB的最小值为QB的长度,
连接OQ,OB,
∵点A是半圆上的一个三等分点,
∴∠ACD=30°.
∵B弧AD中点,
∴∠BOD=∠ACD=30°,
∴∠QOD=2∠QCD=2×30°=60°,
∴∠BOQ=30°+60°=90°.
∵⊙O的半径是2,
∴OB=OQ=2,
∴BQ2,即PA+PB的最小值为2.
故答案为:2.
【点评】本题考查的是圆周角定理,轴对称﹣最短路线问题,解答此题的关键是找到点A的对称点,把题目的问题转化为两点之间线段最短解答.
10.如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在CD的延长线上.若∠ADE=70°,则∠AOC= 140 度.
【考点】圆内接四边形的性质;圆心角、弧、弦的关系.
【专题】圆的有关概念及性质;几何直观;运算能力;推理能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据圆内接四边形的性质得∠B=∠ADE=70°,再根据圆心角与圆周角的关系即可得出∠AOC的度数.
【解答】解:∵四边形ABCD内接于⊙O,∠ADE=70°,
∴∠B=∠ADE=70°,
∴∠AOC=2∠B=140°.
故答案为:140.
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质,圆心角与圆周角之间的关系,熟练掌握圆内接四边形的一个外角等于它的内对角,理解圆心角与圆周角之间的关系是解答此题的关键.
三.解答题(共5小题)
11.如图,图中两条弦AB、CD相交于点E,且AE=DE,求证:AB=CD.
【考点】圆周角定理.
【专题】圆的有关概念及性质;推理能力.
【答案】证明过程见解答过程.
【分析】根据圆周角定理得到∠C=∠B,证明△AEC≌△DEB,根据全等三角形的性质得到EC=EB,结合图形计算,证明结论.
【解答】证明:由圆周角定理得,∠C=∠B,
在△AEC和△DEB中,
,
∴△AEC≌△DEB(AAS),
∴EC=EB,
∴AE+BE=DE+EC,即AB=CD.
【点评】本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定和性质,掌握圆周角定理是解题的关键.
12.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,∠ACD=30°.
(1)求∠DAB的度数;
(2)过点D作DE⊥AB,垂足为E,DE的延长线交⊙O于点F.若AB=4,求DF的长.
【考点】圆周角定理.
【专题】与圆有关的计算;运算能力.
【答案】(1)60°;
(2)2.
【分析】(1)连接BD,根据AB是⊙O的直径,可得∠ADB=90°,进而可以求∠DAB的度数;
(2)根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半可得AD的长,再根据垂径定理和特殊角三角函数值可得EF=DE的值,进而可得DF的长.
【解答】解:(1)如图,连接BD,
∵∠ACD=30°,
∴∠B=∠ACD=30°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB=90°﹣∠B=60°;
(2)∵∠ADB=90°,∠B=30°,AB=4,
∴ADAB=2,
∵∠DAB=60°,DE⊥AB,且AB是直径,
∴EF=DE=ADsin60°,
∴DF=2DE=2.
【点评】本题考查了圆周角定理,解直角三角形,垂径定理,解决本题的关键是掌握圆周角定理.
13.已知:如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,且AB⊥CD,垂足为E.
(1)求证:∠CDB=∠A;
(2)若∠DBC=120°,⊙O的直径AB=8,求BC、CD的长.
【考点】圆周角定理;勾股定理;垂径定理.
【专题】与圆有关的计算;推理能力.
【答案】(1)见详解;
(2)BC=4,.
【分析】(1)根据垂径定理得出,然后根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”证明结论;
(2)根据直径得出∠ADB=90°,根据“直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半”,可得,根据同圆中弧和弦的关系可求得BC的长度;在Rt△BCE中,根据含30度角的直角三角形的性质可得,再利用勾股定理解得,然后根据垂径定理可得CD=2CE,即可求出CD的长度.
【解答】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,且AB⊥CD,
∴,
∴∠BCD=∠CDB,
∵,
∴∠A=∠BCD,
∴∠CDB=∠A;
(2)解:∵∠DBC=120°,
∴,
∴∠A=∠CDB=30°,
∵AB是⊙O的直径,且AB=8,
∴∠ADB=90°,
∴在Rt△ADB中,,
又∵,
∴BC=BD=4;
∵AB⊥CD,∠BCD=∠CDB=30°,
∴在Rt△BCE中,,
∴,
又∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD,
∴.
【点评】本题主要考查了垂径定理、直径所对的弦为直径、同圆或等圆中弧与弦的关系、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识,理解并掌握垂径定理是解题关键.
14.如图,BD是⊙O的直径,,点C是半圆上一动点,且与点A分别在BD的两侧.
(1)如图1,若5,BD=4,求AC的长;
(2)求证:CD+BCAC.
【考点】圆周角定理;全等三角形的判定与性质;圆心角、弧、弦的关系.
【专题】图形的全等;圆的有关概念及性质;运算能力;推理能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)连接CO并延长交⊙O于点E,连接AE,利用直径所对的圆周角是直角求出∠BAD=∠CAE=90°,从而可得∠ADB=∠ABD=45°,再根据已知5,求出∠BOC=30°,进而求出∠AEC=60°,最后在Rt△ACE中,利用锐角三角函数求出AC长即可;
(2)过点A作FA⊥AC,交CD的延长线于点F,利用手拉手模型﹣旋转性全等,证明△ABC≌△ADF,从而可得AC=AF,BC=DF,进而得到△ACF是等腰直角三角形,即可解答.
【解答】(1)解:连接CO并延长交⊙O于点E,连接AE,
∵BD是⊙O的直径,
∴∠BAD=90°,
∵,
∴AB=AD,
∴∠ADB=∠ABD=45°,
∵5,
∴∠BOC∠COD,
∴∠BOC∠BOD=180°30°,
∴∠BDC∠BOC=15°,
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°,
∴∠ADC=∠AEC=60°,
∵CE是⊙O的直径,
∴∠CAE=90°,
∵CE=BD=4,
∴AC=CEsin60°=42;
(2)证明:过点A作FA⊥AC,交CD的延长线于点F,
∴∠CAF=90°,
∵∠BAD=90°,
∴∠BAD﹣∠CAD=∠CAF﹣∠CAD,
∴∠BAC=∠DAF,
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∵∠ADC+∠ADF=180°,
∴∠ADF=∠ABC,
∵AB=AD,
∴△ABC≌△ADF(ASA),
∴AC=AF,BC=DF,
∴△ACF是等腰直角三角形,
∴CFAC,
∴CD+DFAC,
∴CD+BCAC.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
15.如图所示,AB=AC,AB为⊙O的直径,AC,BC分别交⊙O于E,D,连接ED,BE.
(1)试判断DE与BD是否相等,并说明理由;
(2)如果BC=6,AB=5,求BE的长.
【考点】圆周角定理;勾股定理.
【专题】圆的有关概念及性质.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)可通过连接AD,AD就是等腰三角形ABC底边上的高,根据等腰三角形三线合一的特点,可得出∠CAD=∠BAD,根据圆周角定理即可得出∠DEB=∠DBE,便可证得DE=DB.
(2)本题中由于BE⊥AC,那么BE就是三角形ABC中AC边上的高,可用面积的不同表示方法得出AC•BE=CB•AD.进而求出BE的长.
【解答】解:(1)相等,DE=BD,理由如下:
连接AD,则AD⊥BC,
在等腰三角形ABC中,AD⊥BC,
∴∠CAD=∠BAD(等腰三角形三线合一),
∴,
∴DE=BD;
(2)∵AB=5,BDBC=3,
∴AD=4,
∵AB=AC=5,而△ABC的面积BC•ADAC•BE,
∴AC•BE=CB•AD,
∴BE=4.8.
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,圆周角定理等知识点的运用,用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键.
考点卡片
1.全等三角形的判定与性质
(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.
(2)在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形.
2.勾股定理
(1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.
如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.
(3)勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有:a,b及c.
(4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.
3.垂径定理
(1)垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
(2)垂径定理的推论
推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论2:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
推论3:平分弦所对一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
4.圆心角、弧、弦的关系
(1)定理:在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
(2)推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
说明:同一条弦对应两条弧,其中一条是优弧,一条是劣弧,而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧.
(3)正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为:在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性,即:圆绕其圆心旋转任意角度,所得图形与原图形完全重合.
(4)在具体应用上述定理解决问题时,可根据需要,选择其有关部分.
5.圆周角定理
(1)圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
注意:圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上.②角的两条边都与圆相交,二者缺一不可.
(2)圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
(3)在解圆的有关问题时,常常需要添加辅助线,构成直径所对的圆周角,这种基本技能技巧一定要掌握.
(4)注意:①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化.③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角,在运用定理时不要忽略了这个条件,把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
6.圆内接四边形的性质
(1)圆内接四边形的性质:
①圆内接四边形的对角互补.
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).
(2)圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据,在应用此性质时,要注意与圆周角定理结合起来.在应用时要注意是对角,而不是邻角互补.
7.轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B,在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在,可以通过轴对称来确定,即作出其中一点关于直线L的对称点,对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点.
2、凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性质定理,结合本节所学轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点.
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