2024七年级数学下册第10章三角形的有关证明综合素质评价试卷（附解析鲁教版五四制）

这是一份2024七年级数学下册第10章三角形的有关证明综合素质评价试卷（附解析鲁教版五四制），共13页。

第十章综合素质评价一、选择题(每题3分，共36分)1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为(　　)A．40° B．50° C．60° D．70°2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(　　)A．∠A ∶∠B ∶∠C＝1∶2∶3 B．∠A＋∠B＝90°C．a∶b∶c＝2∶3∶4 D．b2＝a2－c23．下列命题的逆命题是真命题的是(　　 )A．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等 D．若a＝b，则|a|＝|b|4．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是(　　)A．AC＝AD B．∠ABC＝∠BADC．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD5．【2022·大庆】下列说法不正确的是(　　)A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C．有两个角互余的三角形是直角三角形D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则BDAD的值为(　　)A．eq \f(1,2) B．eq \f(2,5) C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,4)7．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若正方形a，c的面积分别为5和11，则正方形b的边长为(　　)A．55 B．16 C．6 D．48．有A，B，C三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社区的距离相等，那么公园应建在(　　)A．△ABC三条角平分线的交点处B．△ABC三条中线的交点处C．△ABC三条高线所在直线的交点处D．△ABC三边垂直平分线的交点处9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 (　　)A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm10．如图，已知点E，C，D在同一直线上，△ABC≌△DEF，CD是∠ACB的平分线，已知∠D＝22°，∠CGD＝92°，则∠E的度数是(　　)A．26° B．22° C．34° D．30°11．如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，且AD＝4，E是AB边的中点，点P在AD上运动，则PB＋PE的最小值是(　　)A．6 B．5 C．4 D．312．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD.下列命题中，假命题是(　　)A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC B．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BEC．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBCD．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE二、填空题(每题3分，共18分)13．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角，第一步是假设这个三角形中_____________．“两直线平行，内错角相等”的逆命题是___________________．14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，AD平分∠BAC，E是AC的中点，则DE的长为________．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，点P在AB上，且PD＝PB，则PD＝________．16．【2023·重庆】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为________．17．【新考法】如图，依据尺规作图的痕迹，∠α的度数为________°.18．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为________．三、解答题(23题10分，24，25题每题12分，其余每题8分，共66分)19．如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF.求证：BC＝EF.20．如图，在△ABC中，已知AB＝5，BC＝7.(1)尺规作图：作AC的垂直平分线DE，与AC交于点D，与BC交于点E，连接AE.(2)求△ABE的周长．21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，AD平分∠CAB交CB于点D，求CD的长．22．【2023·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.(1)求证：△ADE≌△ADF.(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．23．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CM＝BM，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.(1)求∠ECM的度数．(2)求证：CE＝CM.(3)若AB＝4，求线段FC的长．24．如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.操作发现：如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时：(1)猜想线段DE与AC的位置关系是__________，并加以证明．(2)设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是__________，并加以证明．25．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴负半轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ.(1)求点B的坐标．(2)连接BQ，在点P运动的过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？若不改变，求出其大小；若改变，请说明理由．(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．答案一、1．D　2．C　【点拨】A．∵∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，∴∠A＋∠B＝∠C.又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝90°.∴△ABC是直角三角形；B．∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝180°－90°＝90°.∴△ABC是直角三角形；C．设a＝2x，b＝3x，c＝4x.∵a2＋b2＝4x2＋9x2＝13x2，c2＝16x2，∴a2＋b2≠c2.∴△ABC不是直角三角形；D．∵b2＝a2－c2，∴b2＋ c2＝a2.∴△ABC是直角三角形．3．C　4．A　5．A　6．C7．D　【点拨】由题意可知∠CAB＝∠BED＝90°，∠CBD＝90°，CB＝BD，∴∠ACB＝∠EBD＝90°－∠ABC.在△ABC和△EDB中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACB＝∠EBD，,∠CAB＝∠BED，,CB＝BD， ))∴△ABC≌△EDB(AAS)．∴AB＝ED.∵正方形a，c的面积分别为5和11，∴AC2＝5，AB2＝DE2＝11.∴BC＝eq \r(AC2＋AB2)＝eq \r(5＋11)＝4，即正方形b的边长为4.8．D　9．C10．A　【点拨】∵∠D＝22°，∠CGD＝92°，∴∠DCG＝180°－∠D－∠CGD＝66°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠DCG＝132°.∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB＝132°.∴∠E＝180°－∠D－∠F＝180°－22°－132°＝26°.11．C12．A　【点拨】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.若CD＝BE，又∵BC＝CB，∴△BCD与△CBE满足“SSA”的关系，无法证明全等，因此无法得出∠DCB＝∠EBC，故A是假命题．若∠DCB＝∠EBC，∴∠ACD＝∠ABE.在△ABE和△ACD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABE＝∠ACD，,AB＝AC，,∠A＝∠A，))∴△ABE≌△ACDeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ASA))，∴CD＝BE.故B是真命题．若BD＝CE，则AD＝AE，在△ABE和△ACD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠A＝∠A,AE＝AD，)))，∴△ABE≌△ACDeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(SAS))，∴∠ACD＝∠ABE.又∵∠ABC＝∠ACB，∴∠DCB＝∠EBC，故C是真命题．若∠DCB＝∠EBC，则在△DBC和△ECB中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABC＝∠ACB，,BC＝BC，,∠DCB＝∠EBC，))∴△DBC≌△ECBeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ASA))，∴BD＝CE，故D是真命题. 二、13．有两个角是直角；内错角相等，两直线平行14．2　15．2　【点拨】∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝6.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAB＝eq \f(1,2)∠CAB＝30°.∵PD＝PB，∴∠PDB＝∠B＝30°.∴∠APD＝∠B＋∠PDB＝60°.∴∠ADP＝180°－∠APD－∠DAB＝90°.∴AP＝2PD.∵AP＋BP＝AB，∴2PD＋PD＝6.∴PD＝2.16．3　【点拨】∵∠BAC＝90°，∴∠EAB＋∠EAC＝90°.∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠AFC＝90°.∴∠ACF＋∠EAC＝90°.∴∠ACF＝∠BAE.在△AFC和△BEA中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(∠CFA＝∠AEB，,∠ACF＝∠BAE，,AC＝AB，)))∴△AFC≌△BEAeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AAS)).∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1.∴EF＝AF－AE＝4－1＝3.17．6018．32　【点拨】∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠A1B1A2＝∠B1A1A2＝∠A1A2B1＝60°.∴∠OA1B1＝120°.∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝180°－120°－30°＝30°.∴OA1＝A1B1＝A2B1＝1.又∵∠A1B1A2＝60°，∴∠A2B1B2＝180°－60°－30°＝90°.∵△A2B2A3是等边三角形，∴∠B2A2A3＝60°.∴∠B1A2B2＝60°.∴∠B1B2A2＝90°－∠B1A2B2＝30°.∴A2B2＝2B1A2＝2.同理得出B3A3＝2B2A3＝2A2B2，∴B3A3＝4B1A2＝4.以此类推，A6B6＝32B1A2＝32.三、19．【证明】∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.∵AC∥DF，∴∠A＝∠EDF.在△ABC与△DEF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,∠A＝∠EDF，,AC＝DF，))∴△ABC≌△DEF(SAS)．∴BC＝EF. 20．【解】(1)如图．(2)∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC.∴AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC.∵AB＝5，BC＝7，∴AB＋BE＋AE＝5＋7＝12，即△ABE的周长为12.21．【解】过点D作DE⊥AB于点E.∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝ED.在Rt△ACD和Rt△AED中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝ED，,AD＝AD，))∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．∴AE＝AC＝5.∴BE＝AB－AE＝13－5＝8.在Rt△ACB中，BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(132－52)＝12.设CD＝ED＝x，则BD＝12－x，在Rt△DEB中，BD2＝ED2＋BE2，∴(12－x)2＝x2＋82，解得x＝eq \f(10,3).∴CD＝eq \f(10,3).22．(1)【证明】∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD.由作图知AE＝AF.在△ADE和△ADF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AF，,∠EAD＝∠FAD，,AD＝AD，))∴△ADE≌△ADF(SAS)．(2)【解】∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，∴∠EAD＝eq \f(1,2)∠BAC＝40°.由作图知AE＝AD.∴∠AED＝∠ADE.∴∠ADE＝eq \f(1,2)×(180°－40°)＝70°.∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴∠BDE＝90°－∠ADE＝20°.23．(1)【解】∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠ABC＝40°.∵∠ACE＝30°，∴∠ECB＝90°－30°＝60°.∵CM＝BM，∴∠MCB＝∠ABC＝40°.∴∠ECM＝∠ECB－∠MCB＝60°－40°＝20°.(2)【证明】∵EF⊥AC，∴∠AFE＝∠CFE＝90°.∵∠A＝50°，∠ACE＝30°，∴∠AEF＝90°－∠A＝40°，∠CEF＝90°－∠ACE＝60°.∴∠CEM＝180°－∠AEF－∠CEF＝80°.∵∠MCB＝∠B＝40°，∴∠CMA＝∠MCB＋∠B＝80°.∴∠CMA＝∠CEM.∴CE＝CM.(3)【解】∵∠A＝50°，∠CMA＝80°，∴∠ACM＝180°－∠A－∠CMA＝50°.∴∠A＝∠ACM.∴AM＝CM＝BM＝CE＝eq \f(1,2)AB＝2.在Rt△EFC中，∠EFC＝90°，∠ECF＝30°，∴EF＝eq \f(1,2)CE＝1.∴FC＝eq \r(CE2－EF2)＝eq \r(3).24．(1)DE∥AC【证明】∵△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD.∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°.∴△ACD是等边三角形．∴∠ACD＝60°.∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE.∴DE∥AC.(2)S1＝S2【证明】由(1)知△ACD是等边三角形，∴AC＝AD.∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AD＝AC＝eq \f(1,2)AB.∴BD＝AD.∴S△BDC＝S△ADC.又∵DE∥AC，∴S△ADC＝S△AEC.∴S△BDC＝S△AEC，即S1＝S2.25．【解】(1)如图，过点B作BC⊥x轴于点C.∵A(0，2)，∴OA＝2.∵△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，OB＝OA＝2. ∴∠BOC＝30°.又∵∠OCB＝90°，∴BC＝eq \f(1,2)OB＝1，∴OC＝eq \r(OB2－BC2)＝eq \r(3).∴点B的坐标为(eq \r(3)，1)．(2)∠ABQ的大小始终不变．∵△APQ，△AOB均为等边三角形，∴AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB＝60°.∴∠PAQ－∠OAQ＝∠OAB－∠OAQ，即∠PAO＝∠QAB.在△APO与△AQB中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AP＝AQ，,∠PAO＝∠QAB，,AO＝AB，))∴△APO≌△AQB(SAS)．∴∠ABQ＝∠AOP＝90°.(3)∵△ABO是等边三角形，∴∠ABO＝60°.∵AB∥OQ，∠ABQ＝90°，∴∠BQO＝180°－∠ABQ＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°.∴∠OBQ＝30°.又∵OB＝2，∴OQ＝eq \f(1,2)OB＝1.∴BQ＝eq \r(OB2－OQ2)＝eq \r(3).由(2)可知△APO≌△AQB，∴OP＝BQ＝eq \r(3).∴点P的坐标为(－eq \r(3)，0)．