2023—2024学年下学期初中数学沪教新版九年级期中必刷常考题之垂径定理

这是一份2023—2024学年下学期初中数学沪教新版九年级期中必刷常考题之垂径定理，共23页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
1．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为26cm，水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（ ）
A．5cmB．7cmC．8cmD．10cm
2．如图，MN是⊙O的弦，半径OA⊥MN于点B，且MN＝8，OA＝5，则AB的长为（ ）
A．1B．2C．2.5D．3
3．如图，AB是⊙O的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN与⊙O相交于C，D两点，若AB＝4，则CD的长为（ ）
A．B．4C．D．
4．高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米B．5.5米C．6米D．6.5米
5．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝30米，拱高CD＝5米，则拱桥的半径为（ ）
A．12.5米B．15米C．25米D．92.5米
二．填空题（共5小题）
6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若AB＝8，OD＝3，那么⊙O的半径为 ．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，OE＝6，那么弦CD的长为 ．
8．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为 ．
9．如图，⊙O的弦AB⊥OC，且，则⊙O的半径是 ．
10．一座拱桥的轮廓是一段半径为250m的圆弧（如图所示），桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为 m．
三．解答题（共5小题）
11．唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为6m，轮子的吃水深度CD为1.5m，求该桨轮船的轮子直径．
12．如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC．
（1）求证：∠CBO＝∠ABD；
（2）若AE＝2，CE＝8，求弦BD的长．
13．HUAWEIMate60Pr于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长80mm，弓形高CD长14mm求半径OA的长．
14．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
15．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．
2023—2024学年下学期初中数学沪教新版九年级期中必刷常考题之垂径定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为26cm，水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（ ）
A．5cmB．7cmC．8cmD．10cm
【考点】垂径定理的应用．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝24cm，
∴BDAB＝12（cm），
∵⊙O的直径为26cm，
∴OB＝OC＝13（cm），
在Rt△OBD中，OD5（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
2．如图，MN是⊙O的弦，半径OA⊥MN于点B，且MN＝8，OA＝5，则AB的长为（ ）
A．1B．2C．2.5D．3
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】连接ON，设OB＝x，在Rt△OBN中，用勾股定理求解即可．
【解答】解：连接ON，如图，
∴ON＝OA＝5，
设OB＝x，
∵MN＝8，
∴BN＝4，
在Rt△OBN中，OB2+BN2＝ON2，即x2+42＝52，解得：x＝3，
∴AB＝OA﹣OB＝2，
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，涉及到勾股定理解三角形，灵活运用所学知识是关键．
3．如图，AB是⊙O的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN与⊙O相交于C，D两点，若AB＝4，则CD的长为（ ）
A．B．4C．D．
【考点】垂径定理；线段垂直平分线的性质．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OC，设AB和CD交于点P，根据作图得出CD垂直平分OB，利用勾股定理求出CM，再根据垂径定理得出结果．
【解答】解：连接OC，设AB和CD交于点P，
由作图可知：CD垂直平分OB，
∵AB＝4，
∴OPOBAB＝1，OCAB＝2，
∴CP，
∵CD⊥OB，
∴CD＝2CP，
故选：C．
【点评】本题考查了尺规作图，垂直平分线，垂径定理以及勾股定理，解题的关键是根据作图过程得出垂直平分线，利用垂径定理得出最后结果．
4．高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米B．5.5米C．6米D．6.5米
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根据垂径定理得到AD的长，再根据勾股定理即可求出半径．
【解答】解：由题意，得CD⊥AB，
∴ADAB，
设此圆的半径OA＝r米，
∵AB＝8米，CD＝8米，
∴AD＝4米，OD＝（8﹣r）米，
在Rt△OAD中，
由勾股定理，得OA2＝AD2+OD2，
即r2＝42+（8﹣r）2，
解得r＝5（米），
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
5．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝30米，拱高CD＝5米，则拱桥的半径为（ ）
A．12.5米B．15米C．25米D．92.5米
【考点】垂径定理的应用．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】C
【分析】设圆心是O，半径为r米，连接OA、OD．根据垂径定理得AD＝15米，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接OA、OD．则O、D、C三点共线，
∵拱高CD＝5米，
∴OC⊥AB，
∴（米），
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得：r2＝152+（r﹣5）2，
解得：r＝25，
即拱桥的半径为25米，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若AB＝8，OD＝3，那么⊙O的半径为 5 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】5．
【分析】连接OB，先根据垂径定理求出BD的长，在Rt△BOD中根据勾股定理求解即可．
【解答】解：连接OB，
∵OC⊥AB于点D，AB＝8，
∴BDAB＝4，
在Rt△BOD中，
∵OB2＝OD2+BD2
＝32+42
＝25，
∴OB＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，OE＝6，那么弦CD的长为 16 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】16．
【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴CE＝DECD，
∵AB＝20，
∴OCAB＝10，
在Rt△COE中，OE＝6，
∴CE8，
∴CD＝16，
故答案为：16．
【点评】此题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
8．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为 4 ．
【考点】垂径定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】4．
【分析】过O作OF⊥DC于F，连接OC，求出OA＝OB＝OC＝3，根据垂直定义得出∠OFE＝∠OFC＝90°，求出OE，根据勾股定理求出OF，再根据勾股定理求出CF，根据垂径定理得出DF＝CF，再求出答案即可．
【解答】解：
过O作OF⊥DC于F，连接OC，则∠OFE＝∠OFC＝90°，
∵BE＝1，AE＝5，
∴AB＝BE+AE＝6，
∴OB＝OA＝OC＝3，
∴OE＝3﹣1＝2，
∵∠AEC＝30°，
∴OFOE＝1，
∴CF2，
∵OF⊥CD，OF过圆心O，
∴DF＝CF＝2，
∴CD＝CF+DF＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
9．如图，⊙O的弦AB⊥OC，且，则⊙O的半径是 3 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】3．
【分析】⊙O的弦AB⊥OC，，得到，∠ADO＝90°，设⊙O的半径是r，则OA＝OC＝r，，在Rt△ADO中，由勾股定理得到，即可得到答案．
【解答】解：∵⊙O的弦AB⊥OC，，
∴，∠ADO＝90°，
设⊙O的半径是r，则OA＝OC＝r，
∵OD＝2DC，
∴，
在Rt△ADO中，OA2＝OD2+AD2，
∴，
解得r＝3或r＝﹣3（不合题意，舍去）
即⊙O的半径是3，
故答案为：3．
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据勾股定理列方程是解题的关键．
10．一座拱桥的轮廓是一段半径为250m的圆弧（如图所示），桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为 50 m．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】50．
【分析】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，先由垂径定理得AC＝BCAB＝150m，再由勾股定理求出OC＝200m，然后求出CD的长即可．
【解答】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示：
则OA＝OD＝250m，AC＝BCAB＝150m，
∴OC200（m），
∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），
即这些钢索中最长的一根为50m，
故答案为：50．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为6m，轮子的吃水深度CD为1.5m，求该桨轮船的轮子直径．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】该桨轮船的轮子直径为7.5m
【分析】连接OB，构建Rt△OBD，利用勾股定理求出轮子的直径．
【解答】解：依题意，得OC⊥AB，AD＝BD＝3m，
如图，连接OB，设轮子的直径为d m，则其半径为 m．
则在Rt△OBD中，OD2+BD2＝OB2，
∴，
解得d＝7.5m，
故答案为该桨轮船的轮子直径为7.5m．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意在圆内构建直角三角形，利用勾股定理求出直径是解答本题的关键．
12．如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC．
（1）求证：∠CBO＝∠ABD；
（2）若AE＝2，CE＝8，求弦BD的长．
【考点】垂径定理；圆周角定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）8．
【分析】（1）先根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠C＝∠ABD，然后利用∠C＝∠CBO得到∠CBO＝∠ABE；
（2）先根据垂径定理得到BE＝DE，再计算出OB＝5，OE＝3，则利用勾股定理可计算出BE，从而得到BD的长．
【解答】（1）证明：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
即∠ABD+∠CBD＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∴∠C＝∠ABD，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠CBO＝∠ABE；
（2）解：∵AC⊥BD，
∴BE＝DE，
∵AE＝2，CE＝8，
∴AC＝10，
∴OB＝5，OE＝3，
在Rt△OBE中，BE4，
∴BD＝2BE＝8．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
13．HUAWEIMate60Pr于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长80mm，弓形高CD长14mm求半径OA的长．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；几何直观；运算能力．
【答案】78mm．
【分析】设半径OA的长为r mm，则OA＝OC＝OB＝r mm，由已知可得OD＝（r﹣14）mm，ADAB＝40mm，然后在Rt△OAD中，由勾股定理得OA2﹣OD2＝AD2，即r2﹣（r﹣14）2＝402，由此解出r即可．
【解答】解：设半径OA的长为r mm，
则OA＝OC＝OB＝r mm，
∵弓形高CD＝14mm，
∴OD＝（r﹣14）mm，
∵OC⊥AB，AB＝80mm，
∴ADAB＝40mm，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2﹣OD2＝AD2，
即r2﹣（r﹣14）2＝402，
解得：r．
答：半径OA的长为mm．
【点评】此题主要考查了弓形的概念，熟练掌握弓形的概念，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
14．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
【考点】垂径定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】（1）5米；
（2）2米．
【分析】（1）作OD⊥AB于点E，根据垂径定理得AE＝3米，设圆的半径为r米，根据勾股定理得AE2+OE2＝OA2，即可求出答案；
（2）当AB＝8米时，AE＝4，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）如图，作OD⊥AB于点E，交圆于点D，
则AEAB＝3米，DE＝1米，
设圆的半径为r米，
在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2，
∴32+（r﹣1）2＝r2，
解得r＝5，
∴该圆的半径为5米；
（2）如图，当AB＝8米时，AEAB＝4，
在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2，
∴42+OE2＝52，
∴OE＝3米，
∴DE＝5﹣3＝2（米），
答：水面下盛水筒的最大深度为2米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
15．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】15分米．
【分析】连接AO，根据垂径定理求得AC＝BC＝9，设圆的半径为x分米，则OA＝OD＝x，OC＝27﹣x，根据勾股定理即可求得x．
【解答】解：连接AO，
∵CD过圆心，C为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵AB＝18，C为AB的中点，
∴AC＝BC＝9，
设圆的半径为x分米，则OA＝OD＝x分米，
∵CD＝27，
∴OC＝27﹣x，
在Rt△OAC中，AC2+OC2＝OA2，
∴92+（27﹣x）2＝x2，
∴x＝15（分米），
答：拱门所在圆的半径是15分米．
【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键．
考点卡片
1．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
2．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
3．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
4．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
5．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/1 12:39:12；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.cm；学号：41418968

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