2023—2024学年下学期初中数学沪教新版九年级期中必刷常考题之圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

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A．50°B．55°C．60°D．65°
2．如图，在⊙O中，∠AOC＝100°，则∠ABC度数为（ ）
A．100°B．80°C．50°D．40°
3．已知⊙O中半径OC＝3，∠BAC＝30°，则弦BC的长度为（ ）
A．3B．C．D．
4．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
5．在如图所示的方格型网格图中，取3个格点A、B、C并顺次连接得到△ABC，则△ABC的外心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
二．填空题（共5小题）
6．如图，用直角曲尺可以检查半圆形的工件是否合格，其中的数学依据是 ．
7．如图，AB为⊙O的直径，2，M为的中点，过M作MN∥OC交AB于N，连接BM，则∠BMN的度数为 ．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝110°，则∠AOC的度数是 ．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE＝ °．
10．如图，⊙O的直径是AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BC+AD＝ cm．
三．解答题（共5小题）
11．AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF．求证：．
12．如图，图中两条弦AB、CD相交于点E，且AE＝DE，求证：AB＝CD．
13．如图，⊙O中，弧AB＝弧AC，∠C＝70°，求∠A的度数．
14．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．且DF＝DE．
（1）求证：AC＝AB；
（2）若BD＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．
2023—2024学年下学期初中数学沪教新版九年级期中必刷常考题之圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，，若∠A＝50°，则∠B的大小为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】连接AC，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠CAB，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
【解答】解：如图，连接AC，
∵，
∴∠CAB＝∠CAD∠BAD＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BCAB＝90°﹣25°＝65°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系定理，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
2．如图，在⊙O中，∠AOC＝100°，则∠ABC度数为（ ）
A．100°B．80°C．50°D．40°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理即可得出答案．
【解答】解：∵∠AOC＝100°，
∴．
故选：C．
【点评】本题主要考查了求圆周角的度数，掌握圆周角定理是解题的关键．即同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半．
3．已知⊙O中半径OC＝3，∠BAC＝30°，则弦BC的长度为（ ）
A．3B．C．D．
【考点】圆周角定理．
【答案】A
【分析】根据OC＝3，∠BAC＝30°，由圆周角定理可得到∠BOC＝60°，即可证明△BOC是等边三角形，即可求得答案．
【解答】解：连接OB，
∵OC＝3，∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴BC＝OC＝3．
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理及等边三角形的判定与性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
4．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠BOC和∠A都对，
∴∠BOC＝2∠A＝2×50°＝100°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．在如图所示的方格型网格图中，取3个格点A、B、C并顺次连接得到△ABC，则△ABC的外心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【考点】三角形的外接圆与外心．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】连接DC、DA、DB，则DC＝5，再根据勾股定理求得DA＝DB＝5，则DC＝DA＝DB，所以点D是△ABC的外心，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接DC、DA、DB，则DC＝5，
由勾股定理得DA＝DB5，
∴DC＝DA＝DB，
点D是△ABC的外心，
故选：A．
【点评】此题重点考查三角形外接圆的定义、勾股定理等知识，通过计算证明DC＝DA＝DB是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．如图，用直角曲尺可以检查半圆形的工件是否合格，其中的数学依据是 90°圆周角所对的直角 ．
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【答案】90°圆周角所对的弦是直径．
【分析】由圆周角定理：90°圆周角所对的弦是直径，即可判定半圆形的工件是否合格．
【解答】解：直角曲尺检查半圆形的工件是否合格，运用到的道理是：90°圆周角所对的弦是直径．
故答案为：90°圆周角所对的弦是直径．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径定理的应用是解此题的关键．
7．如图，AB为⊙O的直径，2，M为的中点，过M作MN∥OC交AB于N，连接BM，则∠BMN的度数为 45° ．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OM．想办法求出∠MNB，∠NBM，即可解决问题．
【解答】解：连接OM．
∵AB是直径，2，
∴∠BOC180°＝60°，
∵，
∴∠MOB＝∠COM＝30°，
∵OM＝OB，
∴∠B＝∠OMB（180°﹣30°）＝75°，
∵OC∥MN，
∴∠MNB＝∠COB＝60°，
∴∠BMN＝180°﹣∠BNM﹣∠NBM＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝110°，则∠AOC的度数是 140° ．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】140°．
【分析】先利用圆内接四边形的对角互补计算出∠B的度数，然后根据圆周角定理得到∠AOC的度数．
【解答】解：∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠B＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°．
故答案为：140°．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE＝ 80 °．
【考点】圆内接四边形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠DCB＝180°，
又∵∠DCE+∠DCB＝180°
∴∠DCE＝∠A＝80°
故答案为：80．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质．解决本题的关键是掌握：圆内接四边形的对角互补．
10．如图，⊙O的直径是AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BC+AD＝ （8+5） cm．
【考点】圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】（8+5）．
【分析】利用勾股定理求出BC，证明AD＝BD，求出AD，可得结论．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC8（cm），
∵CD平分∠ACD，
∴，
∴AD＝BDAB＝5（cm），
∴BC+AD＝（8+5）（cm）．
故答案为：（8+5）．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，角平分线的定义，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共5小题）
11．AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF．求证：．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．先由等腰三角形三线合一的性质得出∠EOG＝∠FOG，利用圆心角、弧、弦间的关系可以推知；然后根据垂径定理可知；最后根据图形易证得结论．
【解答】证明：过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．
∵OE＝OF，OG⊥EF于点G，
∴∠EOG＝∠FOG，
∴．
又∵OG⊥AB于点G，
∴，
∴，
即．
【点评】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质．解答本题时，通过作辅助线OH构建等弧（；）来证明结论．
12．如图，图中两条弦AB、CD相交于点E，且AE＝DE，求证：AB＝CD．
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】证明过程见解答过程．
【分析】根据圆周角定理得到∠C＝∠B，证明△AEC≌△DEB，根据全等三角形的性质得到EC＝EB，结合图形计算，证明结论．
【解答】证明：由圆周角定理得，∠C＝∠B，
在△AEC和△DEB中，
，
∴△AEC≌△DEB（AAS），
∴EC＝EB，
∴AE+BE＝DE+EC，即AB＝CD．
【点评】本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定和性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
13．如图，⊙O中，弧AB＝弧AC，∠C＝70°，求∠A的度数．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】40°．
【分析】由圆周角定理得∠B＝∠C＝70°，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵弧AB＝弧AC，
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
即∠A的度数为40°．
【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
14．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．且DF＝DE．
（1）求证：AC＝AB；
（2）若BD＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先根据ASA证得△CED≌△BFD（ASA），得出∠E＝∠F，进而判断出△CAE≌△BAE即可证得结论；
（2）根据圆内接四边形的性质证得∠ABD＝90°，从而证得AD是直径，根据勾股定理求得ED，进而求得AB，然后根据勾股定理求得AD，从而求得半径．
【解答】（1）证明：∵点D是的中点，
∴CD＝BD，
在△CED和△BFD中，
，
∴△CED≌△BFD（SAS），
∴∠E＝∠F，
∵CF＝CD+DF，BE＝BD+DE，
∴BE＝CF，
在△CAF和△BAE中，
，
∴△CAF≌△BAE（AAS），
∴AC＝AB；
（2）解：连接AD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠DBF＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DBF，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴ABD+ACD＝180，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
∵CD＝BD＝3，CE＝4，
∴DE5，
∴EB＝5+3＝8，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
设AB＝AC＝x，则x2+82＝（x+4）2，
解得x＝6，
∴AB＝6，
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
∴AD3，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理的应用以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握和灵活应用性质定理是解题的关键．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．
【考点】圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】（1）60°；
（2）2．
【分析】（1）连接BD，根据AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°，进而可以求∠DAB的度数；
（2）根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半可得AD的长，再根据垂径定理和特殊角三角函数值可得EF＝DE的值，进而可得DF的长．
【解答】解：（1）如图，连接BD，
∵∠ACD＝30°，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠B＝60°；
（2）∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴ADAB＝2，
∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，
∴EF＝DE＝ADsin60°，
∴DF＝2DE＝2．
【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
考点卡片
1．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
2．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
3．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
4．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/1 12:37:42；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.cm；学号：41418968

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