2023—2024学年下学期初中数学沪教新版九年级期中必刷常考题之正多边形与圆

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A．B．3C．D．
2．如图，点M是⊙O内接正n边形ABCDE…边AB的中点，连接OM，OC，若⊙O半径为1，∠MOC＝67.5°，则OM长为（ ）
A．sin67.5°B．cs67.5°C．sin45°D．tan22.5°
3．若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（ ）
A．2B．4C．3D．12
4．如图，正六边形ABCDEF中，△ABD的面积为4，则正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A．8B．10C．12D．14
5．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．如图，已知圆的内接正六边形的半径为2，则扇形AOB的面积是（ ）
A．B．C．πD．
二．填空题（共6小题）
7．一个正多边形的一个内角为150°，则该正多边形的边数为 ．
8．如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的外接圆的半径是 ．
9．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，如图所示，若边心距，则这个正六边形的面积是 mm2．
10．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的面积是 ．
11．如图，要拧开一个边长a＝18mm的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要 mm．
12．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为，则EG的长为 ．
三．解答题（共3小题）
13．如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11的延长线于点P．
（1）相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 度；
（2）通过计算比较直径和劣弧A7A11长度哪个更长；
（3）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请说明理由．
（4）求切线长PA7的值．
14．如图，正方形ABCD内接于⊙O，，求证：BM＝CM．
15．如图，正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，过点D作⊙O的切线，交AF的延长线于点P、⊙O的半径为6，连接OD，OF．
（1）求S阴影＝ ；
（2）连接DF，试判断DF和AP有什么特殊位置关系，并说明理由．
2023—2024学年下学期初中数学沪教新版九年级期中必刷常考题之正多边形与圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）
A．B．3C．D．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；几何直观．
【答案】B
【分析】连接OB、OC，根据⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径OB＝OC＝3，而六边形ABCDEF是正六边形，即知∠BOC60°，△BOC是等边三角形，即可得正六边形的边长为3．
【解答】解：连接OB、OC，如图：
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径OB＝OC3，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝3，
即正六边形的边长为3，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于60°，从而得到△BOC是等边三角形．
2．如图，点M是⊙O内接正n边形ABCDE…边AB的中点，连接OM，OC，若⊙O半径为1，∠MOC＝67.5°，则OM长为（ ）
A．sin67.5°B．cs67.5°C．sin45°D．tan22.5°
【考点】正多边形和圆；解直角三角形；圆周角定理；点与圆的位置关系．
【专题】正多边形与圆；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】连接OB、OA，根据正多边形的性质得到∠AOB＝∠BOC，根据题意求出∠OBM，再根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接OB、OA，
∵n边形ABCDE…是正n边形，
∴∠AOB＝∠BOC，
∵OA＝OB，OM⊥AB，
∴∠BOM∠AOB∠BOC，
∵∠MOC＝67.5°，
∴∠BOM＝22.5°，
∴∠OBM＝67.5°，
∴OM＝OB•sin∠OBM＝sin67.5°，
故选：A．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、解直角三角形，根据正多边形的性质求出正多边形的中心角是解题的关键．
3．若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（ ）
A．2B．4C．3D．12
【考点】正多边形和圆．
【答案】A
【分析】首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
【解答】解：连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM＝30°，
∵圆内接正六边形ABCDEF的周长为24，
∴AB＝4，则AM＝2，
因而OM＝OA•cs30°＝2．
正六边形的边心距是2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握正六边形的性质是解题关键．
4．如图，正六边形ABCDEF中，△ABD的面积为4，则正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A．8B．10C．12D．14
【考点】正多边形和圆；三角形的面积．
【专题】三角形；正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】设O是正六边形ABCDEF的中心，连接OB、OC，则OA＝OD，得S△OAB＝S△OBDS△ABD＝2，即可解决问题．
【解答】解：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，连接OB，
则OA＝OD，
∴S△OAB＝S△OBDS△ABD4＝2，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OAB＝6×2＝12，
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形和圆以及三角形面积，熟练掌握正六边形的性质是就听到关键．
5．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【答案】B
【分析】根据正多边形的中心角计算即可．
【解答】解：设正多边形的边数为n．
由题意可得：72°，
∴n＝5，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角．
6．如图，已知圆的内接正六边形的半径为2，则扇形AOB的面积是（ ）
A．B．C．πD．
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】A
【分析】根据圆与正多边形的性质进行求解即可．
【解答】解：由题意得圆的内接正六边形的半径为2，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，∠AOB＝60°，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了圆与正多边形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
二．填空题（共6小题）
7．一个正多边形的一个内角为150°，则该正多边形的边数为 12 ．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】12．
【分析】设这个正多边形的边数为n，根据正多边形的每个内角，据此得150，解此方程求出n即可．
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
∴这个正多边形的一个内角的度数为：，
又∵正多边形的一个内角是150°，
∴150，
解得：n＝12．
检验后知道：n＝12是原方程的根．
∴这个正多边形的边数12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了正多边形的性质，解答此题的关键是理解正n边形的n条边都相等，n个内角都相等，正n边形的内角和为（n﹣2）180°，每个内角的度数为．
8．如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的外接圆的半径是 2 ．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据正多边形与圆的相关计算以及锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OA，OB，OC，OB与AC相交于点G，由对称性可知OB⊥AC，AG＝CGAC，
∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOB60°，
在Rt△OAG中，∠AOG＝60°，AG，
∴OA2，
故答案为：2．
【点评】本题考查正多边形与圆，锐角三角函数，掌握正多边形与圆的相关计算以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．
9．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，如图所示，若边心距，则这个正六边形的面积是 mm2．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】．
【分析】连接OB，OC，证明△BOC为等边三角形，得出OB＝BC＝OC，根据勾股定理求出，得出BO＝2，求出，得出六边形的面积即可．
【解答】解：连接OB，OC，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴OB＝BC＝OC，
∵OM⊥BC，
∴，，
∴，
根据勾股定理得：BO2﹣BM2＝OM2，
即，
解得：BO＝2，负值舍去，
∴BC＝BO＝2mm，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积计算，解答本题的关键是明确正六边形的特点．
10．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的面积是 6cm2 ．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】6cm2．
【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等边三角形的性质求出OH即可．
【解答】解：如图所示，连接OB、OA，过点O作OH⊥AB于点H，
∵⊙O的直径为4cm，
∴OB＝OA＝2cm，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2cm，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵OB＝OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2cm，
∵OH⊥AB，
∴BHAB2＝1（cm），
∴OH（cm），
∴正六边形纸片的面积是66（cm2）．
故答案为：6cm2．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．
11．如图，要拧开一个边长a＝18mm的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要 18 mm．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设正六边形的相邻四个顶点为A、B、C、D，延长AB、DC交于点E，由BC＝DC，∠BCD＝120°，得∠CBD＝∠CDB＝30°，而∠EBC＝∠ECB360°＝60°，所以∠E＝60°，∠DBE＝90°，则△BCE是等边三角形，所以BE＝CE＝BC＝CD＝18mm，则BDBE＝18mm，于是得到问题的答案．
【解答】解：设正六边形的相邻四个顶点为A、B、C、D，延长AB、DC交于点E，
∵BC＝DC，∠BCD（6﹣2）×180°＝120°，
∴∠CBD＝∠CDB（180°﹣120°）＝30°，
∵∠EBC＝∠ECB360°＝60°，
∴∠E＝180°﹣2×60°＝60°，∠DBE＝30°+60°＝90°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE＝BC＝CD＝18mm，
∴DE＝2CD＝2BE，
∴BDBE＝18mm，
故答案为：18mm．
【点评】此题重点考查正多边形的内角与外角、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
12．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为，则EG的长为 2 ．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【答案】2．
【分析】连接BO、GO，则三角形EOG为直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，连接BE、GO，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴BE经过O点，且O是BE的中点，∠EDC120°，∠EOG＝90°，
∵DE＝EC，
∴∠DEC＝30°，
∵BC＝CD，
∴，
∴∠GEO＝∠DEC＝30°，
∴OGEG，
由勾股定理得：OG2+OE2＝EG2，即（EG）2+（）2＝EG2，
解得：EG＝2．
故答案：2．
【点评】本题考查了圆内接正六边形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是掌握各知识点，并能结合图形熟练运用各知识点．
三．解答题（共3小题）
13．如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11的延长线于点P．
（1）相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 30 度；
（2）通过计算比较直径和劣弧A7A11长度哪个更长；
（3）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请说明理由．
（4）求切线长PA7的值．
【考点】正多边形和圆；切线的性质．
【专题】正多边形与圆；推理能力；应用意识．
【答案】（1）30；
（2）垂直，证明见解析部分；
（3）12．
【分析】（1）利用正多边形的性质求解即可；
（2）利用弧长公式求解即可；
（3）利用圆周角定理判断即可；
（4）利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）30°，
故答案为：30；
（2）如图，连接，OA7，OA11由（1）得：劣弧A7A11所对应的圆心角∠A7OA11＝30°×4＝120°，
∴劣弧A7A11的长l4π，
∵4π＞12，
∴劣弧A7A11的长度更长．
（3）垂直．理由如下：
连接，A1A7，A7A11，
∵∠A1OA7＝30°×6＝180°，
∴A1A7是⊙O的直径，
∴∠A1A11A7＝90°，即A1A11⊥A11A7，
∴A7A11和PA1相互垂直．
（4）如图，∵PA7是⊙O的切线，
∴∠PA7O＝90°，
由（1）知，∠A7OA11＝120°，
∴∠A11A7O＝∠A7A11O＝30°，
∴∠PA7A1＝60°（或∠A11OA1＝∠A11A1A7＝60°），
∴∠P＝30°，
在Rt△PA7A11中，PA1＝2A1A7＝24．
PA712．
【点评】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理，弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形与圆的关系，属于中考常考题型．
14．如图，正方形ABCD内接于⊙O，，求证：BM＝CM．
【考点】正多边形和圆；正方形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；正多边形与圆；推理能力．
【答案】答案见证明过程．
【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴，
∵，
∴，即，
∴BM＝CM．
【点评】本题考查的是正方形的性质、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．
15．如图，正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，过点D作⊙O的切线，交AF的延长线于点P、⊙O的半径为6，连接OD，OF．
（1）求S阴影＝ ；
（2）连接DF，试判断DF和AP有什么特殊位置关系，并说明理由．
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算；切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）；
（2）见解答．
【分析】（1）连接OE，根据正六边形的性质求出∠DOF，计算阴影面积即可；
（2）连接OA，根据直径所对的圆周角是直角证得结论．
【解答】解：（1）连接OE，
∵正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，
∴∠EOF＝∠DOE＝60°，
∴∠DOF＝120°，
∴；
（2）DF⊥AP，
理由如下：连接OA，
由题意可得，点A，O，D共线，
即AD为⊙O的直径，
∴∠DFA＝90°，
∴DF⊥AP．
【点评】本题是圆的综合题，综合考查了切线的性质，扇形的面积计算公式以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关定理并灵活运用．
考点卡片
1．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
2．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
3．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
4．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
5．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
6．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
7．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
8．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA，csA，tanA．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/1 12:42:58；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.cm；学号：41418968

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