2023—2024学年下学期初中数学沪教新版九年级期中必刷常考题之直线与圆的位置关系

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A．点B在⊙A内B．直线BC与⊙A相离
C．点C在⊙A上D．直线BC与⊙A相切
2．如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，∠B＝60°，OA＝6，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值是（ ）
A．B．3C．D．4
3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离10cm处．如果⊙P以2cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．3B．7C．3或7D．6或14
4．如图，BC是⊙O的切线，点B是切点，连接CO交⊙O于点D，延长CO交⊙O于点A，连接AB，若∠C＝30°，OD＝2，则AB的长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，线段AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，∠E＝40°，则∠CDB＝（ ）
A．20°B．25°C．40°D．50°
二．填空题（共6小题）
6．如图，已知⊙P的半径是1，圆心P在抛物线y上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 ．
7．若⊙O的半径为5cm，圆心到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
8．设⊙O的半径为6cm，点P在直线l上，已知OP＝6cm，那么直线l与⊙O的位置关系是 ．
9．“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是 ．
10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CB，BD平分∠ABC，点P为线段BD上一动点．以点P为圆心、以1为半径作圆，当⊙P与△ACB的边相切时，BP的长为 ．
11．如图，BC为⊙O的直径，P为CB延长线上的一点，过P作⊙O的切线PA，A为切点，PA＝4，PB＝2，则⊙O的半径等于 ．
三．解答题（共4小题）
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，以AD为直径的半圆O经过点E，F，且AE平分∠CAB．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若∠B＝30°，AB＝12，求CF的长．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，以AB为直径的⊙O与BC边交于点E，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝6，DE＝5，求BE的长．
14．如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径．
15．如图，AB为⊙O直径，点C在⊙O上，AC平分∠EAB，AE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：DE为⊙O切线．
（2）若AE＝2，AC＝3，求⊙O的半径．
2023—2024学年下学期初中数学沪教新版九年级期中必刷常考题之直线与圆的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点B在⊙A内B．直线BC与⊙A相离
C．点C在⊙A上D．直线BC与⊙A相切
【考点】直线与圆的位置关系；等腰三角形的性质；点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】D
【分析】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH＝CHBC＝4，则利用勾股定理可计算出AH＝3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．
【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CHBC＝4，
在Rt△ABH中，AH3，
∵AB＝5＞3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC＝5＞3，
∴C点在⊙A外，所以C选项不符合题意；
∴AH＝3，AH⊥BC，
∴直线BC与⊙A相切，所以D选项符合题意，B选项不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质．
2．如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，∠B＝60°，OA＝6，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值是（ ）
A．B．3C．D．4
【考点】切线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】A
【分析】连接OQ，由切线的性质定理推出∠PQO＝90°，由勾股定理得到PQ，因此当PO⊥AB时，PQ最小，由含30°角的直角三角形的性质得到POAO＝3，即可求出PQ的最小值是2．
【解答】解：连接OQ，
∵PQ切圆于Q，
∴半径OQ⊥PQ，
∴∠PQO＝90°，
∵圆的半径为1，
∴PQ，
∴当PO最小时，PQ最小，
当PO⊥AB时，PO最小，
∵∠B＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝30°，
∴POAO6＝3，
∴PQ的最小值是2．
故选：A．
【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形，关键是由勾股定理得到当PO⊥AB时，PQ最小．
3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离10cm处．如果⊙P以2cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．3B．7C．3或7D．6或14
【考点】切线的判定与性质；直线与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】根据题意CD与⊙P相切分⊙P在直线CD左侧时⊙P在直线CD右侧时，求出⊙P运动的路程，即可根据速度求得时间．
【解答】解：①由题意可知CD与⊙P1相切于点E，
∴P1E⊥CD，
∵⊙P半径为2cm，
∴P1E＝2cm，
∵∠AOD＝30°，P1E⊥CD，
∴P1O＝4cm，
∴PP1＝PO﹣P1O＝10﹣4＝6（cm），
∴t＝3秒．
②当圆心P在直线CD的右侧时，PP2＝PO+P2O＝10+4＝14（cm），
则需要运动的时间为7秒．
综上所述，⊙P与直线CD相切时经过的时间为3或7秒钟，
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系和含30°角的直角三角形的性质，由含30°角的直角三角形的性质求出P1O是解决问题的关键．
4．如图，BC是⊙O的切线，点B是切点，连接CO交⊙O于点D，延长CO交⊙O于点A，连接AB，若∠C＝30°，OD＝2，则AB的长为（ ）
A．B．C．D．
【考点】切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OB、DB，由AD是⊙O的直径，得∠ABD＝90°，AD＝2OD＝4，由切线的性质得∠OBC＝90°，而∠C＝30°，则∠BOC＝60°，所以△BOD是等边三角形，则BD＝OD＝2，所以AB2，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OB、DB，则OB＝OD＝2，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，AD＝2OD＝4，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴BC⊥OB，
∴∠OBC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴△BOD是等边三角形，
∴BD＝OD＝2，
∴AB2，
故选：C．
【点评】此题重点考查切线的性质定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
5．如图，线段AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，∠E＝40°，则∠CDB＝（ ）
A．20°B．25°C．40°D．50°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】连接OC，根据切线的性质可知∠OCE＝90°，再由直角三角形的性质得出∠COE的度数，由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵∠E＝40°，
∴∠COE＝90°﹣40°＝50°，
∴∠CDB∠COE＝25°．
故选：B．
【点评】本题考查的是切线的性质，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键．
二．填空题（共6小题）
6．如图，已知⊙P的半径是1，圆心P在抛物线y上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 （3，1）或（﹣1，1）或（1，﹣1） ．
【考点】切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；与圆有关的位置关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】设点P（x，y），由题意可得：点P到x轴的距离为1，即|y|＝1，代入解析式可求点P坐标．
【解答】解：设点P（x，y）
∵⊙P与x轴相切
∴|y|＝1
∴y＝±1
当y＝1时，1x2﹣x
解得：x1＝3，x2＝﹣1
∴点P（3，1），（﹣1，1）
当y＝﹣1时，﹣1x2﹣x
解得：x＝1
∴点P（1，﹣1）
故答案为：（3，1）或（﹣1，1）或（1，﹣1）
【点评】本题考查了切线的性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用分类思想解决问题是解决问题的关键．
7．若⊙O的半径为5cm，圆心到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是 相切 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】相切．
【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．
【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm＝5cm，
∴直线和圆相切．
故答案为：相切．
【点评】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
8．设⊙O的半径为6cm，点P在直线l上，已知OP＝6cm，那么直线l与⊙O的位置关系是 相切或相交 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由条件可知点P在⊙O上，则可知直线l与⊙O相切，可求得答案．
【解答】解：∵r＝6cm，OP＝6cm，
∴r＝OP，
∵点P在直线l上，OP＝6cm，
∴点O到直线l的距离≤6cm，
∴直线l与⊙O相切或相交，
故答案为：相切或相交．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，由条件判断出点P在圆上是解题的关键．
9．“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是 相交 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；几何直观；推理能力．
【答案】相交．
【分析】根据直线与圆的位置关系即可得到结论．
【解答】解：由题可知，太阳与海天交接所看成的圆和直线有两个公共点，
所以太阳和海天交界处所看出看成的直线位置关系是相交．
故答案为：相交．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CB，BD平分∠ABC，点P为线段BD上一动点．以点P为圆心、以1为半径作圆，当⊙P与△ACB的边相切时，BP的长为 2或 ．
【考点】切线的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】2或4．
【分析】由直角三角形的性质求出BD＝4，①若⊙P与BC相切于点E，连接PE，则∠PEB＝90°，由直角三角形的性质可求出PB＝2，由角平分线的性质得出此时圆P与AB相切；②若⊙P与AC相切于点E，连接PE，则PE⊥AC，由直角三角形的性质求出PD的长，则可求出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵BC＝2，
∴DC2，
∴BD＝2DC＝4，
①若⊙P与BC相切于点E，连接PE，则∠PEB＝90°，
∵PE＝1，∠PBE＝30°，
∴PB＝2，
∵BD平分∠ABC，
过点P作PF⊥AB，
∴PE＝PF，
∴此时⊙P与AB相切；
②若⊙P与AC相切于点E，连接PE，则PE⊥AC，
∴PE∥BC，
∴∠DPE＝30°，
∵PE＝1，
∴DE，
∴PD＝2DE，
∴PB＝BD﹣PD＝4，
综合以上可得，当⊙P与△ACB的边相切时，BP长为2或4．
故答案为：2或4．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
11．如图，BC为⊙O的直径，P为CB延长线上的一点，过P作⊙O的切线PA，A为切点，PA＝4，PB＝2，则⊙O的半径等于 3 ．
【考点】切线的性质．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】3．
【分析】连接OA，因为PA是⊙O的切线，得∠PAO＝90°，结合已知在Rt△PAO中运用勾股定理即可求解．
【解答】解：连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，∵PA＝4，PB＝2，
在Rt△PAO中，PO2＝PA2+AO2，
即（BO+2）2＝42+AO2，
∴（AO+2）2＝42+AO2，
解得AO＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了切线的性质和勾股定理的运用；掌握切线的性质构造直角三角形是解题的关键．
三．解答题（共4小题）
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，以AD为直径的半圆O经过点E，F，且AE平分∠CAB．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若∠B＝30°，AB＝12，求CF的长．
【考点】切线的判定与性质；含30度角的直角三角形；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）2．
【分析】（1）连接OE，证明AC∥OE得到∠OEB＝90°即可得到证明；
（2）连接DF，先证DF∥BC得到∠B＝∠EDA＝30°，结合30°角所对直角边等于斜边一半得到AF，AC即可得到答案．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠DAE，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠AEO，
∴AC∥OE，
∵∠C＝90°，
∴∠OEB＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是半圆O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠OEB＝90°，∠B＝30°，AB＝12，
∴，OB＝2OE，
∵OE＝OD，
∴OD＝BD，
∴OA＝OE＝OD＝BD＝4，
∴AD＝8，
∵AD是半圆O的直径，
∴∠C＝∠DFA＝90°，
∴DF∥BC，
∴∠B＝∠EDA＝30°，
∴，
∴CF＝AC﹣AF＝2，
【点评】本题考查切线的证明，直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半，角平分线定义，解题的关键作出辅助线得到OE∥AC，DF∥BC．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，以AB为直径的⊙O与BC边交于点E，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝6，DE＝5，求BE的长．
【考点】直线与圆的位置关系；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）相切，理由见解析；
（2）．
【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠OAE＝∠OEA，∠DAE＝∠DEA，求得∠OED＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到AC＝2DE＝10，根据勾股定理得到CE8，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：（1）相切，
理由：连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝DEAC，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠AEO+∠AED＝∠DAE+∠OAE＝∠BAC＝90°，
∴∠OED＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
（2）在Rt△ACE中，∵点D是AC的中点，
∴AC＝2DE＝10，
∵AE＝6，
∴CE8，
∵∠BAC＝∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴∠BAE+∠B＝∠B+∠C＝90°，
∴∠BAE＝∠C，
∴△ABE∽△CAE，
∴，
∴，
∴BE．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
14．如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径．
【考点】切线的判定与性质；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）3．
【分析】（1）连接OE，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；
（2）设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，FE＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定理得得出方程求解即可．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OE，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵DF＝FE，
∴∠FED＝∠FDE，
∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°，
∴∠FED+∠OEC＝90°，
即∠FEO＝90°，
∴OE⊥FE，
∵OE是半径，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，
∴FE＝2BD＝2（r﹣1），
在Rt△FEO中，由勾股定理得，
FE2+OE2＝OF2，
∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2，
解得r＝3，或r＝1（舍去），
∴⊙O的半径为3．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键．
15．如图，AB为⊙O直径，点C在⊙O上，AC平分∠EAB，AE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：DE为⊙O切线．
（2）若AE＝2，AC＝3，求⊙O的半径．
【考点】切线的判定与性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】（1）证明见解答．
（2）r．
【分析】（1）连接OC，如图，由AC平分∠EAB得到∠BAC＝∠EAC，加上∠OAC＝∠ACO，则∠EAC＝∠ACO，于是可判断OC∥AE，根据平行线的性质得OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论．
（2）通过证明△AEC∽△ACB，进而根据比例式求得半径．
【解答】（1）连OC（如图），
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC＝∠OAC，
∵∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∴OC⊥DE，
∵点C在⊙O上，
∴OC＝r，
∴DE为⊙O的切线．
（2）连BC（如图），
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠AEC＝90°，
∴∠ACB＝∠AEC，
又∵∠EAC＝∠BAC，
∴△AEC∽△ACB，
∴，
∴，
∴AB，
∴r．
【点评】本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
考点卡片
1．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
2．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
3．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
4．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
5．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
6．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
7．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
8．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
9．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
10．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
11．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
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