2023—2024学年下学期初中数学沪教新版七年级期中必刷常考题之垂线

这是一份2023—2024学年下学期初中数学沪教新版七年级期中必刷常考题之垂线，共20页。

A．3B．2.5C．2.4D．2
2．如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得PM＝7m，PN＝5m，则点P到直线MN的距离可能为（ ）
A．7mB．6mC．5.5mD．4m
3．如图，三角形ABC中，∠ACB＝∠CDB＝90°，则点C到直线AB的距离是（ ）
A．线段CA的长B．线段AD的长
C．线段CB的长D．线段CD的长
4．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，若，则∠BOD的度数为（ ）
A．36°B．32°C．42°D．54°
5．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题（共5小题）
6．如图，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近C处搭顺风车．他选择了第②条路线，这其中蕴含的数学道理是 ．
7．如图，∠1＝130°，AO⊥OB于点O，点C、O、D在一条直线上，则∠2＝ ．
8．如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，农民李伯伯的做法是：过点P作PM垂直于河岸l，垂足为M，沿PM开挖水渠距离最短，其中的数学道理是 ．
9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOD＝α，则∠AOE＝ .（用含α的式子表示）
（2）若∠AOD＝68°，OF⊥CD，则∠EOF＝ ．
10．如图，已知BD⊥CD，∠ABD＝20°，∠ACD＝30°，则∠A＝ 度．
三．解答题（共5小题）
11．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC．
（1）若∠COE＝54°，求∠DOF的度数；
（2）若∠COE：∠EOF＝2：1，求∠DOF的度数．
12．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥CD，垂足为O，∠BOD＝28°．
（1）求∠AOM的度数；
（2）若OA平分∠MOE，求∠BOE的度数．
13．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°，求∠BOD的度数．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．
（1）若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数．
15．已知：如图，OE⊥AB，垂足为点O，直线CD经过点O．
（1）若∠AOD＝32°，求∠COE的度数；
（2）若，求∠DOE的度数；
（3）在（2）的条件下，过点O作OF⊥CD，则∠AOF＝ °．
2023—2024学年下学期初中数学沪教新版七年级期中必刷常考题之垂线
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．3B．2.5C．2.4D．2
【考点】垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：△ABC的面积•AB•PC•AC•BC，
∴5PC＝3×4，
∴PC＝2.4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．
2．如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得PM＝7m，PN＝5m，则点P到直线MN的距离可能为（ ）
A．7mB．6mC．5.5mD．4m
【考点】点到直线的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】D
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，垂线段最短，由此即可得到答案．
【解答】解：∵PM＝7m，PN＝5m，
∴点P到直线MN的距离小于5cm．
故选：D．
【点评】本题考查点到直线的距离，垂线段线段，掌握以上知识点是解题的关键．
3．如图，三角形ABC中，∠ACB＝∠CDB＝90°，则点C到直线AB的距离是（ ）
A．线段CA的长B．线段AD的长
C．线段CB的长D．线段CD的长
【考点】点到直线的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】D
【分析】根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，即可解答．
【解答】解：∵∠CDB＝90°，
∴点C到直线AB的距离是线段CD的长，
故选：D．
【点评】本题考查了点到直线的距离，注意点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形．
4．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，若，则∠BOD的度数为（ ）
A．36°B．32°C．42°D．54°
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】A
【分析】因为OE⊥CD，所以∠COE＝90°，∠EOD＝90°，即∠AOC+∠BOE＝90°，又因∠AOC∠BOE，可得∠BOE＝54°，根据∠BOD+∠BOE＝∠EOD，可得∠BOD的度数．
【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠COE＝90°，∠EOD＝90°，
∴∠AOC+∠BOE＝90°，
∵∠AOC∠BOE，
∴∠BOE＝54°，
∴∠BOD＝36°，
故选：A．
【点评】本题考查了垂线，关键是正确计算度数．
5．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】A
【分析】由垂线段的性质：垂线段最短，即可判断．
【解答】解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，故A符合题意；
B、C、可以用“两点确定一条直线”来解释，不可以用“垂线段最短”来解释，故B、C 不符合题意；
D、可以用“两点之间线段最短”来解释，不可以用“垂线段最短”来解释，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查垂线段的性质，关键是掌握垂线段最短．
二．填空题（共5小题）
6．如图，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近C处搭顺风车．他选择了第②条路线，这其中蕴含的数学道理是 两点之间，线段最短 ．
【考点】垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】两点之间，线段最短．
【分析】根据两点之间，线段最短进行判断即可．
【解答】解：在点P与点C之间所有的连线中，线段最短，即两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点评】本题考查线段的性质，掌握两点之间，线段最短是正确判断的关键．
7．如图，∠1＝130°，AO⊥OB于点O，点C、O、D在一条直线上，则∠2＝ 40° ．
【考点】垂线．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】40°．
【分析】根据平角定义先求出∠AOD的度数，再根据垂直定义求出∠AOB＝90°，从而求出∠2的度数．
【解答】解：∵∠1＝130°，
∴∠AOD＝180°﹣∠1＝180°﹣130°＝50°，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠2＝∠AOB﹣∠AOD＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了垂线，角的和差计算，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
8．如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，农民李伯伯的做法是：过点P作PM垂直于河岸l，垂足为M，沿PM开挖水渠距离最短，其中的数学道理是 垂线段最短 ．
【考点】垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；应用意识．
【答案】垂线段最短．
【分析】根据垂线段的性质得出即可．垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
【解答】解：∵PM⊥l，
∴沿PM开挖水渠距离最短，其中的数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题考查了垂线段最短，它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”这两个中去选择．
9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOD＝α，则∠AOE＝ 180°α .（用含α的式子表示）
（2）若∠AOD＝68°，OF⊥CD，则∠EOF＝ 124°或56° ．
【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）180°α；
（2）124°或56°．
【分析】（1）根据邻补角的性质得∠AOC＝180°﹣α，根据对顶角的性质得∠BOC＝∠AOD＝α，根据角平分线的定义得∠COE∠BOCα，即可得出答案；
（2）分两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵∠AOD＝α，
∴∠AOC＝180°﹣α，∠BOC＝∠AOD＝α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE∠BOCα，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝180°﹣αα＝180°α；
故答案为：180°α；
（2）如图1：
∵∠AOD＝68°，
∴∠BOC＝∠AOD＝68°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE∠BOC＝34°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝∠FOC+∠COE＝90°+34°＝124°，
如图2：
∵∠AOD＝68°，
∴∠BOC＝∠AOD＝68°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE∠BOC＝34°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝∠FOC﹣∠COE＝90°﹣34°＝56°，
综上，∠EOF＝124°或56°．
故答案为：124°或56°．
【点评】本题主要考查了垂线，角平分线的定义以及对顶角和邻补角的综合运用，弄清楚角之间的和差关系是解题关键．
10．如图，已知BD⊥CD，∠ABD＝20°，∠ACD＝30°，则∠A＝ 40 度．
【考点】垂线．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】40．
【分析】连接BC，根据BD⊥CD，得∠D＝90°，所以∠DBC+∠DCB＝90°，再根据三角形内角和定理得∠A+∠DBC+∠DCB+∠ABD+∠ACD＝180°，即可得出答案．
【解答】解：连接BC，
∵BD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝90°，
∵∠A+∠DBC+∠DCB+∠ABD+∠ACD＝180°，
∴∠A＝180°﹣90°﹣20°﹣30°＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查了垂线和三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是关键．
三．解答题（共5小题）
11．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC．
（1）若∠COE＝54°，求∠DOF的度数；
（2）若∠COE：∠EOF＝2：1，求∠DOF的度数．
【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】（1）108°．
（2）112.5°．
【分析】（1）先由OE⊥AB得出∠AOE＝∠BOE＝90°，再根据角平分线定义求出∠COF＝72°，然后由∠DOF＝180°﹣∠COF即可求解．
（2）设∠EOF＝x°，则∠COE＝2x°，则∠COF＝3x°，再根据角平分线定义求出∠AOF＝∠COF＝3x°，所以∠AOE＝4x°，由垂直的定义可知∠AOE＝90°，则4x＝90，解之，求出x即可．
【解答】解：（1）∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°；
∵∠COE＝54°，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝144°，
∵OF平分∠AOC，
∴∠COF∠AOC＝72°，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝108°．
（2）设∠EOF＝x°，则∠COE＝2x°，
∴∠COF＝3x°，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOF＝∠COF＝3x°，
∴∠AOE＝4x°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴4x＝90，解得x＝22.5，
∴∠COF＝3x°＝67.5°，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝112.5°．
【点评】本题考查了角的计算，根据垂直的定义、角的和差关系列方程进行求解，即可计算出答案，难度适中．
12．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥CD，垂足为O，∠BOD＝28°．
（1）求∠AOM的度数；
（2）若OA平分∠MOE，求∠BOE的度数．
【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）62°；（2）118°．
【分析】（1）由垂直的定义，对顶角的性质，即可计算；
（2）由角平分线定义，邻补角的性质，即可计算．
【解答】解：（1）∵OM⊥CD，
∴∠MOC＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD＝28°，
∴∠AOM＝90°﹣28°＝62°；
（2）∵OA平分∠MOE，
∴∠AOE＝∠AOM＝62°，
∵∠BOE+∠AOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣62°＝118°．
【点评】本题考查了垂线，解题关键是掌握垂直的定义，角平分线定义．
13．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°，求∠BOD的度数．
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】55°．
【分析】利用垂直得到互余的角，从而求得∠AOC，根据对顶角相等求得∠BOD的度数．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠EOA＝90°，
∴∠EOC+∠AOC＝90°，
∵∠EOC＝35°，
∴∠AOC＝55°，
∴∠BOD＝∠AOC＝55°．
【点评】本题考查的是垂直、对顶角的定义，解题的关键是熟练掌握垂直、对顶角的定义．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．
（1）若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数．
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）54°；
（2）120°．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠COE＝90°，然后再利用平角定义进行计算即可解答；
（2）根据已知和平角定义可得∠BOD＝30°，再利用对顶角相等可得∠AOC＝30°，然后再利用（1）的结论∠COE＝90°，进行计算即可解答；
【解答】解：（1）∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∵∠AOC＝36°，
∴∠BOE＝180°﹣∠COE﹣∠AOC＝54°，
∴∠BOE的度数为54°；
（2）∵∠BOD：∠BOC＝1：5，∠BOD+∠BOC＝180°，
∴∠BOD＝180°30°，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°，
∵∠COE＝90°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝120°，
∴∠AOE的度数为120°；
【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
15．已知：如图，OE⊥AB，垂足为点O，直线CD经过点O．
（1）若∠AOD＝32°，求∠COE的度数；
（2）若，求∠DOE的度数；
（3）在（2）的条件下，过点O作OF⊥CD，则∠AOF＝ 50或130 °．
【考点】垂线；角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）∠COE的度数为58°；
（2）∠DOE的度数为130°；
（3）50或130．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠AOE＝∠BOE＝90°，然后利用平角定义进行计算即可解答；
（2）根据已知可设∠BOC＝4x°，则∠COE＝5x°，然后根据∠COE+∠BOC＝90°，列出关于x的方程进行计算，可得∠COE＝50°，∠BOC＝40°，从而利用平角定义进行计算，即可解答；
（3）分两种情况：当OF在CD的下方时；当OF在CD的上方时；然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝∠BOE＝90°，
∵∠AOD＝32°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOD﹣∠AOE＝58°，
∴∠COE的度数为58°；
（2）∵，
∴设∠BOC＝4x°，则∠COE＝5x°，
∵∠BOE＝90°，
∴∠COE+∠BOC＝90°，
∴5x+4x＝90，
解的：x＝10，
∴∠COE＝50°，∠BOC＝40°，
∴∠DOE＝180°﹣∠COE＝130°，
∴∠DOE的度数为130°；
（3）分两种情况：
当OF在CD的下方时，如图：
∵OF⊥CD，
∴∠DOF＝90°，
∵∠BOC＝40°，
∴∠AOD＝∠BOC＝40°，
∴∠AOF＝∠AOD+∠DOF＝130°；
当OF在CD的上方时，如图：
∵OF⊥CD，
∴∠DOF＝90°，
∵∠BOC＝40°，
∴∠AOD＝∠BOC＝40°，
∴∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝50°；
综上所述：∠AOF＝50°或130°，
故答案为：50或130．
【点评】本题考查了垂线，角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
考点卡片
1．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
2．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
3．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
4．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
5．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
6．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/1 12:10:48；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.cm；学号：41418968

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