2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之二次根式的乘除

这是一份2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之二次根式的乘除，共13页。试卷主要包含了下列各式计算正确的是，若，则x的取值范围是，当x＜1时，　 　，计算，当2＜a＜3时，化简，化简，观察下列等式等内容，欢迎下载使用。
1．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（ ）
A．2a﹣3B．﹣1C．1D．3﹣2a
2．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ）
A．2B．﹣2C．2a﹣6D．﹣2a+6
3．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列选项中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．若，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x≥3C．x＜3D．x≤3
二．填空题（共5小题）
6．当x＜1时， ．
7．计算： ．
8．当2＜a＜3时，化简： ．
9．化简： ．
10．观察下列等式：
第1个等式：a11，
第2个等式：a2，
第3个等式：a32，
第4个等式：a42，
…
按上述规律，计算a1+a2+a3+…+an＝ ．
三．解答题（共5小题）
11．已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示．
（1）判断正负，用“＞”“＜”填空：b+a 0，﹣a+b 0．
（2）化简：．
12．实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果．
13．若x＜3，化简，小明的解答过程如下：
解：原式第一步
＝x﹣3+5﹣x……第二步
＝2……第三步
（1）小明的解答从第 步开始出现错误．
（2）请写出正确的解答过程．
14．（1）填空： ；
（2）填空： ， ；
（3）已知1.772，则 ， ．
15．观察下列各式：
11
11
11
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： ；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之二次根式的乘除
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（ ）
A．2a﹣3B．﹣1C．1D．3﹣2a
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a﹣1）和（a﹣2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
【解答】解：由图知：1＜a＜2，
∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，
原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a﹣1＞0，a﹣2＜0是解题关键．
2．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ）
A．2B．﹣2C．2a﹣6D．﹣2a+6
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据数轴先确定a﹣2、a﹣4的正负，然后再去绝对值、根号，合并同类项即可解决问题．
【解答】解：根据实数a在数轴上的位置得知：2＜a＜4，
即：a﹣2＞0，a﹣4＜0，
故原式＝a﹣2+4﹣a＝2．
故选：A．
【点评】本题考查数轴及二次根式、绝对值的化简，关键是根据数轴得出a﹣2与a﹣4的正负情况．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】二次根式的性质与化简；立方根．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】利用算术平方根和立方根的性质逐项判断即可．
【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义与性质．
4．下列选项中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】最简二次根式．
【专题】计算题；二次根式．
【答案】C
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A．，不是最简二次根式；
B．2，不是最简二次根式；
C．是最简二次根式，符合题意；
D．2，不是最简二次根式；
故选：C．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的判定方法是解本题的关键．
5．若，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x≥3C．x＜3D．x≤3
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意可知x﹣3≥0，直接解答即可．
【解答】解：∵，
即x﹣3≥0，
解得x≥3，
故选：B．
【点评】考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．当x＜1时， 1﹣x ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用二次根式的性质化简求出即可．
【解答】解：∵x＜1，
∴1﹣x．
故答案为：1﹣x．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确把握二次根式的性质是解题关键．
7．计算： 20 ．
【考点】二次根式的乘除法．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接进行二次根式的平方运算即可得出答案．
【解答】解：原式＝4×5＝20．
故填20．
【点评】本题考查二次根式的乘法运算，比较简单，注意细心运算即可．
8．当2＜a＜3时，化简： 2a﹣5 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2a﹣5．
【分析】直接利用绝对值的性质，二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解：∵2＜a＜3，
∴a﹣2＞0，a﹣3＜0，
∴原式＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5．
故答案为：2a﹣5．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确利用a的取值范围化简是解题关键．
9．化简： ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题考查二次根式的化简．
【解答】解：∵3，即3＜0，
∴3．
【点评】主要考查了根据二次根式的意义化简．
二次根式规律总结：当a≥0时，a；当a≤0时，a．
10．观察下列等式：
第1个等式：a11，
第2个等式：a2，
第3个等式：a32，
第4个等式：a42，
…
按上述规律，计算a1+a2+a3+…+an＝ 1 ．
【考点】分母有理化．
【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据题意，可得：a1+a2+a3+…+an，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：第1个等式：a11，
第2个等式：a2，
第3个等式：a32，
第4个等式：a42，
…
a1+a2+a3+…+an
1
1
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
三．解答题（共5小题）
11．已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示．
（1）判断正负，用“＞”“＜”填空：b+a ＞ 0，﹣a+b ＞ 0．
（2）化简：．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴；实数大小比较．
【专题】二次根式；应用意识．
【答案】（1）＞，＞；
（2）3﹣b．
【分析】（1）观察数轴得出﹣1＜a＜0，0＜b＜1，|b|＞|a|，从而进行判断；
（2）先确定a+1＞0，b﹣1＜0，a﹣b＜0，然后根据二次根式的性质、绝对值的意义进行化简即可．
【解答】解：（1）由数轴得：﹣1＜a＜0，0＜b＜1，|b|＞|a|，
∴b+a＞0，﹣a+b＞0；
故答案为：＞，＞；
（2）由数轴得：﹣1＜a＜0，0＜b＜1，|b|＞|a|，
∴a+1＞0，b﹣1＜0，a﹣b＜0，
∴
＝a+1+2（1﹣b）+（b﹣a）
＝a+1+2﹣2b+b﹣a
＝3﹣b．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，实数的大小比较，观察数轴得出﹣1＜a＜0，0＜b＜1，|b|＞|a|是解题的关键．
12．实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【专题】二次根式；推理能力．
【答案】1．
【分析】根据数轴得出1＜a＜2，可得a﹣2＜0，a﹣1＞0，根据绝对值和二次根式的性质化简即可得答案．
【解答】解：由数轴可知1＜a＜2，
∴a﹣2＜0，a﹣1＞0，
∴
＝﹣（a﹣2）+a﹣1
＝﹣a+2+a﹣1
＝1．
【点评】本题考查实数与数轴、绝对值的性质及二次根式的性质，根据数轴正确得出各式的符号是解题关键．
13．若x＜3，化简，小明的解答过程如下：
解：原式第一步
＝x﹣3+5﹣x……第二步
＝2……第三步
（1）小明的解答从第 二 步开始出现错误．
（2）请写出正确的解答过程．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）二；
（2）8﹣2x．
【分析】（1）根据二次根式和绝对值的性质分析即可；
（2）先正确化简二次根式和绝对值，再算加减即可．
【解答】解：（1）∵x＜3，
∴x﹣3＜0，
∴，
∴小明的解答从第二步开始出现错误．
故答案为：二．
（2）∵x＜3，
∴x﹣3＜0，5﹣x＞0，
∴原式
＝﹣（x﹣3）+5﹣x
＝﹣x+3+5﹣x
＝8﹣2x．
【点评】本题考查了二次根式和绝对值的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
14．（1）填空： 32 ；
（2）填空： 80 ， 0.4 ；
（3）已知1.772，则 177.2 ， 0.1772 ．
【考点】二次根式的乘除法．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）32；
（2）80，0.4；
（3）177.2，0.1772．
【分析】（1）开二次根式后相乘；
（2）开二次根式；
（3）开二次根式后相乘、相除．
【解答】解：（1）8×4＝32，
故答案为：32；
（2）80，0.4，
故答案为：80，0.4；
（3）100177.2，0.1772，
故答案为：177.2，0.1772．
【点评】本题考查了二次根式的乘除，关键是学会开二次根式．
15．观察下列各式：
11
11
11
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1） 1
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： 1 ；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．
【解答】解：（1）11；故答案为：1；
（2）11；故答案为：1；
（3）．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．
考点卡片
1．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
2．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
3．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
4．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
•（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
5．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
6．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：•（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质•（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
7．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①；②．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 15:07:01；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967

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