2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之勾股定理的逆定理

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A．15cmB．18cmC．21cmD．24cm
2．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三个角的比为1：2：3
B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2
C．三条边的比为1：2：3
D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A
3．下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．8，15，17D．6，7，9
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°
B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC是直角三角形
C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
5．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理
B．勾股定理的逆定理
C．三角形内角和定理
D．直角三角形的两锐角互余
二．填空题（共5小题）
6．如图，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，则∠DBA＝ ．
7．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米．
8．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 ．
9．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 米．
10．如图，一个梯子AB长25米，斜靠在竖直的墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为7米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得AE的长4米，则梯子底端B向右滑动了 米．
三．解答题（共5小题）
11．如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计），右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）．求秋千支柱AD的高．
12．如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
13．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
14．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．
15．如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B＝90°，AB＝8m，BC＝6m，CD＝24m，AD＝26m．求这块草坪的面积．
2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之勾股定理的逆定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（ ）
A．15cmB．18cmC．21cmD．24cm
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】A
【分析】勾股定理解Rt△ABC得出AB＝25cm，勾股定理解Rt△ADE即可求解．
【解答】解：依题意，AC＝24，BC＝7cm，
在Rt△ABC中，cm，
∵AB＝AD＝25，DE＝20，
在Rt△ADE中，cm，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
2．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三个角的比为1：2：3
B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2
C．三条边的比为1：2：3
D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【答案】C
【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则x+2x+3x＝180°，x＝30°，3x＝90°，故正确；
B、三条边满足关系a2＝b2﹣c2，故正确；
C、三条边的比为1：2：3，12+22≠32，故错误；
D、三个角满足关系∠B+∠C＝∠A，则∠A为90°，故正确．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可．
3．下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．8，15，17D．6，7，9
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理和各个选项中的数据，可以判断各个选项中的数据是否可以组成直角三角形，本题得以解决．
【解答】解：32+42＝52，故选项A不符合题意；
52+122＝132，故选项B不符合题意；
82+152＝172，故选项C不符合题意；
62+72≠92，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°
B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC是直角三角形
C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
【考点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．
【解答】解：如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，A不合题意；
如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
则3x+4x+5x＝180°，
解得，x＝15°，
则3x＝45°，4x＝60°，5x＝75°，
那么△ABC不是直角三角形，B符合题意；
如果a2：b2：c2＝9：16：25，
则如果a2+b2＝c2，
那么△ABC是直角三角形，C不合题意；
如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，D不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理
B．勾股定理的逆定理
C．三角形内角和定理
D．直角三角形的两锐角互余
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，即可得得出结论．
【解答】解：∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．如图，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，则∠DBA＝ 45° ．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】45°．
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理即可解答．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，
∴∠ABC＝45°，BC＝4，
∵BD＝7，DC＝9，
∴BD2+BC2＝49+32＝81＝92＝DC2，
∴△DBC是直角三角形，∠DBC＝90°，
∴∠DBA＝∠DBC﹣∠ABC＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
7．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 2 厘米．
【考点】勾股定理的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．
【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即10cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12﹣10＝2cm，
故答案为2．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．
8．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 （11，60，61） ．
【考点】勾股数．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，进而得出（11，60，61）．
【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，
4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得
第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）；
第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，即（11，60，61），
故答案为：（11，60，61）．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理逆定理．
9．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 24 米．
【考点】勾股定理的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9＝24米．
【解答】解：因为AB＝9米，AC＝12米，
根据勾股定理得BC15米，
于是折断前树的高度是15+9＝24米．
故答案为：24．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单．
10．如图，一个梯子AB长25米，斜靠在竖直的墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为7米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得AE的长4米，则梯子底端B向右滑动了 8 米．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】8．
【分析】由勾得到股定理求出AC的长，得到CE的长，由勾股定理求出CD的长，即可得到BD的长．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝25米，BC＝7米，
∴AC24（米），
∴CE＝AC﹣AE＝24﹣4＝20（米），
∵DE＝AB＝25米，
∴CD15（米），
∴BD＝CD﹣BC＝8（米），
∴梯子底端B向右滑动了8米．
故答案为：8．
【点评】本题考查勾股定理，关键是由勾股定理求出AC、CD的长．
三．解答题（共5小题）
11．如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计），右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）．求秋千支柱AD的高．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】3m．
【分析】直接利用AE2+BE2＝AB2，进而得出答案．
【解答】解：设AD＝x m，则由题意可得：
AB＝（x﹣0.5）m，AE＝（x﹣1）m，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即（x﹣1）2+1.52＝（x﹣0.5）2，
解得x＝3．
即秋千支柱AD的高为3m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出关于x等式是解题关键．
12．如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由勾股定理可直接求得结论；
（2）根据勾股定理逆定理证得∠ACD＝90°，由于四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【解答】解：（1）连接AC，如图．
在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，
∴AC15．
即A、C两点之间的距离为15cm；
（2）∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD
AB•BCAC•CD
9×1215×8
＝54+60
＝114（cm2）．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键．
13．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）21.6米；
（2）8米．
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，
所以，CD＝20（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），
答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）由题意得，CM＝12，
∴DM＝8，
∴BM（米），
∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），
∴他应该往回收线8米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
14．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝24﹣AM﹣BN＝18﹣x，分两种情形①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2，分别列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝1.52+22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝24﹣AM﹣BN＝18﹣x，
①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（18﹣x）2＝x2+36，
解得x＝8；
②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝36+（18﹣x）2，
解得x＝10，
综上所述，BN＝8或10．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．
15．如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B＝90°，AB＝8m，BC＝6m，CD＝24m，AD＝26m．求这块草坪的面积．
【考点】勾股定理的应用；勾股定理的逆定理．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AC，则△ABC为直角三角形，AC为斜边，解直角△ABC求AC，根据AC，AD，CD判定△ACD为直角三角形，根据直角三角形面积计算可以计算该草坪的面积．
【解答】解：连接AC，
因为∠B＝90°，所以直角△ABC中，由勾股定理得
AC2＝AB2+BC2
AC2＝82+62
AC2＝100
AC＝10 又CD＝24 AD＝26
所以△ACD中，AC2+CD2＝AD2
所以△ACD是直角三角形
所以S四边形ABCD
S四边形ABCD
＝120﹣24
＝96（m2）
答：该草坪的面积为96m2．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中正确的根据勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形是解题的关键．
考点卡片
1．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
2．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
3．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
4．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
5．勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
6．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 15:15:41；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967

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