2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之矩形的性质与判定

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A．3B．C．D．4
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，点O为MN的中点，则线段AO的最小值为（ ）
A．4.8B．5C．2.4D．3.6
3．顺次连接下列图形的各边中点，所得图形为矩形的是（ ）
①矩形；
②菱形；
③对角线相等的四边形；
④对角线互相垂直的四边形．
A．①③B．②③C．②④D．③④
4．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（ ）
A．AC⊥BDB．AC＝BDC．AB＝BCD．AB＝AC
5．如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，PG⊥OB于点G，则的值是（ ）
A．1B．2C．D．
二．填空题（共5小题）
6．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为 ．
7．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝5，则GH的最小值是 ．
8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为 ．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝6cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为 cm．
10．如图，在△ABC中，D为外部一点，且AD＝AC，∠DAC＝2∠ABC，过点A作AE⊥BC，AE＝4，BC＝10，则BD的长为 ．
三．解答题（共5小题）
11．如图：在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）连接DE，交AC于点F，直接写出DF与AB之间的关系为 ．
12．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点．求证：．
下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
小星：如图2，延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE，BE；
小红：如图3，取BC的中点E、连接DE，
请选择一位同学的方法，完成证明．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝5，CE＝2，求OE的长．
14．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积．
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，交CD于点F．
（1）求证：四边形DOCE是矩形；
（2）若EF＝2，∠ABC＝120°，直接写出菱形ABCD的面积．
2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之矩形的性质与判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
A．3B．C．D．4
【考点】矩形的判定与性质；坐标与图形性质．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求得OD，然后根据矩形的性质得出CE＝OD．
【解答】解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OD，
∴CE，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，点O为MN的中点，则线段AO的最小值为（ ）
A．4.8B．5C．2.4D．3.6
【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】C
【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短可得当AD⊥BC时，AD的值最小，再利用三角形面积求出AD，可得AO，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AD，
∵∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，
∴，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，，
∴，
∴AO的最小值为2.4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对角线相等．
3．顺次连接下列图形的各边中点，所得图形为矩形的是（ ）
①矩形；
②菱形；
③对角线相等的四边形；
④对角线互相垂直的四边形．
A．①③B．②③C．②④D．③④
【考点】矩形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】连接AC、BD，根据矩形的性质得到AC＝BD，根据三角形中位线定理得到EFAC，FGBD，GHAC，EHBD，进而得到EF＝FG＝GH＝EH，根据菱形的判定定理即可判断①，进而可以判断③；根据三角形中位线定理得到EH∥BD，FG∥BD，进而证明四边形EFGH是平行四边形，根据矩形的判定定理即可判断④，进而可以判断②．
【解答】解：如图1，连接AC、BD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，
∴EFAC，FGBD，GHAC，EHBD，
∴EF＝FG＝GH＝EH，
∴四边形EFGH为菱形，故①不符合题意；
∵矩形的对角线相等，
∴顺次连接对角线相等的四边形的中点，所得图形为菱形，故③不符合题意；
如图2，E，F，G，H分别是四边形AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，
∴EH∥FG，
同理，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形，故④符合题意；
∵菱形的对角线互相垂直，
∴顺次连接菱形的各边中点，所得图形为矩形，故②符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是矩形的判定与性质，菱形的性质，中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定与性质、菱形的判定定理是解题的关键．
4．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（ ）
A．AC⊥BDB．AC＝BDC．AB＝BCD．AB＝AC
【考点】矩形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据矩形的判定与性质对各选项进行判断作答即可．
【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，一定成立，故B符合要求；
AB＜AC，不成立，故D不符合要求；
AC⊥BD，AB＝BC，不一定成立，故A、C不符合要求；
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质．熟练掌握有三个角均为90°的四边形是矩形，矩形对角线相等，是解题的关键．
5．如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，PG⊥OB于点G，则的值是（ ）
A．1B．2C．D．
【考点】矩形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】过点G作GM⊥OC于点M，过点P作PN⊥MG于点N，证明四边形OEPG为矩形，得出OE＝PG，证明四边形FMNP为矩形，得出PN＝MF，由等腰直角三角形的性质得出OGOM，PGPN，则可得出答案．
【解答】解：过点G作GM⊥OC于点M，过点P作PN⊥MG于点N，
∵∠AOB＝90°，PE⊥OA，PG⊥OB，
∴四边形OEPG为矩形，
∴OE＝PG，
∵PN⊥MG，PF⊥OC，MG⊥OC，
∴∠PNM＝∠PFM＝∠NMF＝90°，
∴四边形FMNP为矩形，
∴PN＝MF，
∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，
∴∠MOG＝45°，
∴OGOM，
同理PGPN，
∴OEMF，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为 ．
【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短；菱形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】连接OE，作OH⊥CD于点H，由菱形的性质得AC⊥BD，OCAC＝12，ODBD＝5，则CD13，由13OH12×5＝S△COD，求得OH，再证明四边形OGEF是矩形，则OE＝FG，由OE≥OH，得FG，则FG的最小值为，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OE，作OH⊥CD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，
∴AC⊥BD，OC＝OAAC＝12，OD＝OBBD＝5，
∴∠COD＝90°，
∴CD13，
∵CD•OHOC•OD＝S△COD，
∴13OH12×5，
解得OH，
∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，
∴∠OFE＝∠OGE＝∠FOG＝90°，
∴四边形OGEF是矩形，
∴OE＝FG，
∴OE≥OH，
∵FG，
∴FG的最小值为，
故答案为：．
【点评】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
7．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝5，则GH的最小值是 7.5 ．
【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】7.5．
【分析】连接AC、AP、CP，由勾股定理求出AC＝10，再由直角三角形斜边上的中线性质得AP＝2.5，然后证四边形PGCH是矩形，得GH＝CP，当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣2.5＝7.5，即可求解．
【解答】解：连接AC、AP、CP，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，
∴AC10，
∵P是线段EF的中点，
∴APEF＝2.5，
∵PG⊥BC，PH⊥CD，
∴∠PGC＝∠PHC＝90°，
∴四边形PGCH是矩形，
∴GH＝CP，
当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣2.5＝7.5，
∴GH的最小值是7.5，
故答案为：7.5．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出CP的最小值是解题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为 ．
【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DEAF是矩形，可得EF＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【解答】解：连接AD、EF，
∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，
∴BC15，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴EF＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积AB×ACBC×AD，
∴AD，
∴EF的最小值为，
∵点G为四边形DEAF对角线交点，
∴GFEF；
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝6cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为 cm．
【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【解答】解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝6cm，
∴，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，，
即，
解得，
∴线段EF的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，D为外部一点，且AD＝AC，∠DAC＝2∠ABC，过点A作AE⊥BC，AE＝4，BC＝10，则BD的长为 ．
【考点】矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】推理填空题；图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】．
【分析】过点B作BF∥AE，且BF＝2AE，连接FA，FC，并取BF的中点K，则BK＝AE，连接AK，根据垂直的定义得到∠AEC＝90°，由平行线的性质得到∠FBC＝90°，从而可推出四边形AKBE为矩形，得到AK⊥BF，AK∥BC，根据线段垂直平分线的判定与性质推出AF＝AB，∠FAB＝2∠KAB，进而得∠FAB＝∠DAC，∠FAC＝∠BAD，证△FAC≌△BAD，得到BD＝CF，根据勾股定理求出CF即可．
【解答】解：如图，过点B作BF∥AE，且BF＝2AE，连接FA，FC，并取BF的中点K，连接AK，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°．
∵BF∥AE，
∴∠FBC＝90°．
∵K为BF的中点，BF＝2AE，
∴BK＝AE．
∵BK∥AH，
∴四边形AKBE为矩形，
∴∠AKB＝90°，AK∥BC，
∴AK⊥BF，∠KAB＝∠ABC，
∴AF＝AB，∠FAB＝2∠KAB，
∵∠DAC＝2∠ABC，
∴∠FAB＝∠DAC，
∴∠FAC＝∠BAD，
在△FAC与△BAD中，
，
∴△FAC≌△BAD（SAS），
∴BD＝CF，
∵CF，
∴BD，
故答案为：．
【点评】本题主要考查矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．如图：在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）连接DE，交AC于点F，直接写出DF与AB之间的关系为 DFAB ．
【考点】矩形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）DFAB．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，则∠ADC＝90°，再证∠DAE＝90°，然后证∠AEC＝90°，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得AC＝DE，DF＝EFDE，再证AB＝DE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN，
∴∠CAD+∠CAN180°＝90°，
即∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：DFAB，理由如下：
由（1）知，四边形ADCE为矩形，
∴AC＝DE，DF＝EFDE，
又∵AB＝AC，
∴AB＝DE，
∴DFAB．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
12．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点．求证：．
下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
小星：如图2，延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE，BE；
小红：如图3，取BC的中点E、连接DE，
请选择一位同学的方法，完成证明．
【考点】矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】证明过程见解答．
【分析】若选择小星的方法：延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE，BE，根据线段中点的定义可得AD＝BD，从而可得四边形ACBE是平行四边形，进而可得四边形ACBE是矩形，然后根据矩形的性质可得AB＝CE，从而可得CDAB，即可解答；
若选择小红的方法：取BC的中点E、连接DE，从而可得DE是△ABC的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得DE∥AC，从而可得∠ACB＝∠DEB＝90°，进而可得DE是BC的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，从而可得CDAB，即可解答．
【解答】解：若选择小星的方法：
如图2，延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE，BE，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴AB＝CE，
∵CD＝DECE，
∴CDAB；
若选择小红的方法：
如图3，取BC的中点E、连接DE，
∵点D是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∴∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴DE是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∵BDAB，
∴CDAB．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝5，CE＝2，求OE的长．
【考点】矩形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到AD＝AB＝BC＝5，根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝5，
∴AD＝AB＝BC＝5，
∵EC＝2，
∴BE＝5﹣2＝3，
在Rt△ABE中，，
∴DF＝AE＝4，
在Rt△AEC中，AC2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴OEAC．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
14．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积．
【考点】矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）20．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可以得到DF∥EB，再根据DF＝EB，可以得到四边形BFDE是平行四边形，然后根据DE⊥AB，即可证明结论成立；
（2）根据勾股定理可以得到AD的长，再根据平行线的性质和角平分线的定义，可以得到∠DAF＝∠DFA，从而可以得到AD＝FD，然后即可得到DF的值，最后根据矩形的面积＝DF•DE计算即可．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，
又∵DF＝EB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵DE⊥AB，
∵AF平分∠DAB，DC∥AB，
∴∠DAF＝∠FAB，∠DFA＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝FD＝5，
∵AB＝CD，DF＝BE，
∴AE＝CF＝3，
∴DE4，
∴矩形BFDE的面积是：DF•DE＝5×4＝20，
即矩形BFDE的面积是20．
【点评】本题考查矩形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，交CD于点F．
（1）求证：四边形DOCE是矩形；
（2）若EF＝2，∠ABC＝120°，直接写出菱形ABCD的面积．
【考点】矩形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）8．
【分析】（1）先判断出四边形DOCE是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAD＝60°，判断出△ABD是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出OA、OB，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴四边形DOCE是矩形；
（2）解：∵EF＝2，四边形DOCE是矩形，
∴OE＝CD＝2EF＝4，
∵ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝4，
∵∠ABC＝120°，AB∥CD，
∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°，
∵AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴OB4＝2，OA＝42，
∴AC＝4，BD＝4，
∴四边形ABCD的面积AC•BD44＝8．
【点评】本题考查的是矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定，主要利用了有一个角是直角的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形，菱形与平行四边形的关系是解题的关键．
考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
3．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
4．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
5．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
6．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
7．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
8．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
9．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
10．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
11．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
12．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
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