2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之菱形的性质与判定

这是一份2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之菱形的性质与判定，共30页。试卷主要包含了下列关于菱形的描述不正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（ ）
A．4B．3C．D．2
2．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6，点B，D之间的距离为8，则四边形ABCD面积为（ ）
A．20B．24C．28D．48
3．下列关于菱形的描述不正确的是（ ）
A．菱形是特殊的四边形
B．菱形是特殊的平行四边形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．有一个角是直角的平行四边形是菱形
4．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为10cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．40cmB．60cmC．80cmD．100cm
5．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：
①EF⊥AC；
②四边形ADFE为菱形；
③AD＝4AG；
④BD＝4FH，
其中正确结论的个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共5小题）
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D．连接BD、AD．若∠ABD＝130°，则∠CAD＝ ．
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相垂直平分，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点E．∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB，则∠BAD＝ °；当OQ＝OE时，设EP＝a，则PQ的长＝ （用含a的代数式表示）．
8．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，AD＝10，BD＝12，则AC的长为 ．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，连接DE交AB于点G，EF与AC交于点H．以下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FHBD．其中，正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
10．如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于 ．
三．解答题（共5小题）
11．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABOE是菱形；
（2）若AO＝4，四边形ABOE的面积是，求BD的长．
12．如图，在▭ABCD中，CF⊥AB于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，且CF＝DE．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若∠B＝60°，AF＝5，求BC的长．
13．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC、AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形．
（2）若FC＝4，BE＝9，AD＝10，求四边形AEDF的边长和面积．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求OE的长．
15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之菱形的性质与判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（ ）
A．4B．3C．D．2
【考点】菱形的判定与性质；勾股定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】连接DE，因为AB＝AD，AE⊥BD，AD∥BC，可证四边形ABED为菱形，从而得到BE、BC的长，进而解答即可．
【解答】解：连接DE．
在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5．
∵AB＝AD，AE平分∠BAD，
∴AE⊥BD，
∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．
∴DE＝BE＝5．
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝5，
∴BC＝BE+EC＝8，
∴四边形ABED是菱形，
由勾股定理得出BD，
∴BOBD＝2，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的运用以及菱形的判定和性质，题目难度适中，根据条件能够发现图中的菱形ABDE是关键．
2．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6，点B，D之间的距离为8，则四边形ABCD面积为（ ）
A．20B．24C．28D．48
【考点】菱形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解．
【解答】解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，
由题意知，AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两张纸条等宽，
∴AR＝AS．
∵AR⋅BC＝AS⋅CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∵A，C之间的距离为6，点B，D之间的距离为8，
∴四边形ABCD面积为
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．
3．下列关于菱形的描述不正确的是（ ）
A．菱形是特殊的四边形
B．菱形是特殊的平行四边形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．有一个角是直角的平行四边形是菱形
【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据菱形的性质与判定进行一一判断，即可求解．
【解答】解：A、菱形是特殊的四边形，此选项正确，不符合题意；
B、菱形是特殊的平行四边形，此选项正确，不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此选项正确，不符合题意；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此选项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质与判定，解题的关键是能够熟练掌握菱形的性质．
4．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为10cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．40cmB．60cmC．80cmD．100cm
【考点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由条件可求得OM为三角形中位线，则可求得菱形的边长，可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴O为AC的中点，且M为AB的中点，
∴MO为△ABC的中位线，
∴BC＝2MO＝20cm，
∴菱形ABCD的周长＝4BC＝80cm，
故选：C．
【点评】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的对角线互相平分和四边相等是解题的关键，注意三角形中位线定理的应用．
5．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：
①EF⊥AC；
②四边形ADFE为菱形；
③AD＝4AG；
④BD＝4FH，
其中正确结论的个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】C
【分析】由SAS证得△ABC≌△EFA，则∠AEF＝∠BAC，得出EF⊥AC，易证FH是△ABC的中位线，得出FHBC，再由BCAB，AB＝BD，推出BD＝4FH，由等边三角形的性质得出∠BDF＝30°，然后由AAS证得△DBF≌△EFA，则AE＝DF，证出四边形ADFE为平行四边形，最后由平行四边形的性质得出AD＝4AG，从而得到答案．
【解答】解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AE＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠EAF＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB＝2AF，
∴BC＝AF，
在△ABC和△EFA中，
，
∴△ABC≌△EFA（SAS），
∴FE＝AB，∠AEF＝∠BAC＝30°，
∴∠AHE＝180°﹣∠EAC﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴FH∥BC，
∵F是AB的中点，
∴FH是△ABC的中位线，
∴FHBC，
∵BCAB，AB＝BD，
∴BD＝4FH，故④正确；
∵AD＝BD，BF＝AF，
∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，
∵∠FAE＝90°，
∴∠DFB＝∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝30°，
∴∠BDF＝∠FEA，
在△DBF和△EFA中，
，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE＝DF，
∵FE＝AB＝AD，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AB＞AC，
∴AD＞AE，
∴四边形ADFE不是菱形，故②错误；
∵AGAF，
∴AGAB，
∵AD＝AB，
则AD＝4AG，故③正确，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、含30°角直角三角形的性质、三角形中位线定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABC≌△EFA和△DBF≌△EFA是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D．连接BD、AD．若∠ABD＝130°，则∠CAD＝ 25° ．
【考点】菱形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】25°．
【分析】首先根据作图得出四边形ABDC是菱形，然后根据菱形的性质求解即可．
【解答】解：连接CD，如图．
∵分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D，
∴BD＝CD＝AB，
∵AB＝AC，
∴AB＝BD＝CD＝AC，
∴四边形ABDC是菱形，
∴BD∥AC，∠CAD∠BAC，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣130°＝50°，
∴∠CAD＝25°．
故答案为：25°．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，根据作图得出BD＝CD＝AB，进而判定四边形ABDC是菱形是解题的关键．
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相垂直平分，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点E．∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB，则∠BAD＝ 120 °；当OQ＝OE时，设EP＝a，则PQ的长＝ a （用含a的代数式表示）．
【考点】菱形的判定与性质；平行线的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】120，a．
【分析】根据菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝DA，再由各角之间的关系得出∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30°，由含30度角的直角三角形的性质求解即可；
②连接QC．利用等边三角形的判定和性质得出AE＝2a，AP＝3a，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，∵对角线AC，BD互相垂直平分，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴∠ABD＝∠ADB，∠CBD＝∠CDB，
∵BD⊥AC，
∴∠ADO＝∠CDO，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADO．
∵∠BAP＝∠ADB，
∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD．
∴AE＝BE，∠APB＝90°，∠BAP+∠ABP＝90°，∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝2∠BAO＝120°；
如图，连接QC．
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形．∠APB＝90°，
∴BP＝CP，EP＝a，
∴AE＝2a，AP＝3a，
在Rt△APB中，∠APB＝90°，
∵tan，
∴BPa，
∴CP＝BP，
∵AO＝CO，∠AOE＝∠COQ，OE＝OQ，
∴△AOE≌△COQ（SAS），
∴AE＝CQ＝2a，∠EAO＝∠QCO，
∴AE∥CQ，
∵∠APB＝90°，
∴∠QCP＝90°，
在Rt△PCQ中，∠QCP＝90°，
由勾股定理得 PQ2＝PC2+CQ2，
∴PQ2＝PC2+CQ2，
∴PQa，
故答案为：120，a．
【点评】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质及解直角三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
8．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，AD＝10，BD＝12，则AC的长为 16 ．
【考点】菱形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】16．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥CB于F，连接AC，设AC、BD交点为O，首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．然后依据勾股定理求得OA的长，从而可得到AC的长．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，设AC、BD交点为O．
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
∵BD＝12，
∴OD＝OB＝6，
∴OA8，
∴AC＝2OA＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及四边形的面积，证得四边形ABCD为菱形是解题的关键．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，连接DE交AB于点G，EF与AC交于点H．以下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FHBD．其中，正确的结论有 ①③④ ．（填写所有正确结论的序号）
【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】①③④．
【分析】连接CF，证明点E，点F在AC的垂直平分线上，即可判断①正确；根据等腰三角形的性质可得DF⊥AB，所以AD＞DF，进而可以判断②错误；根据等边三角形的性质，证明四边形ADFE是平行四边形，进而可以判断③正确；根据含30度角的直角三角形即可判断④正确．
【解答】解：①如图，连接CF，
∵∠ACB＝90°，F为AB中点，
∴CFAB＝AF，
∴点F在AC的垂直平分线上，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE，
∴点E在AC的垂直平分线上，
∴EF⊥AC，故①正确；
②∵△ABD是等边三角形，F是AB中点，
∴DF⊥AB，
∴AD＞DF，
∴四边形ADFE不可能是菱形，故②不正确；
③∵△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD＝BD，∠DAB＝60°，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴AD∥BC，
∵AC⊥EF，∠ACB＝90°，
∴EF∥AD，
∵△ACE是等边三角形，EF⊥AC，
∴∠AEC＝∠CAE＝60°，∠AEF＝30°，
∴EF＝2AF＝AB，
∴AD＝EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AGAFABAD，
∴AD＝4AG，故③正确；
④∵∠BAC＝30°，
∴FHAFABBD，
∴FHBD，故④正确；
正确的结论有①③④，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了菱形的判定、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的性质是解题的关键．
10．如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于 7.8 ．
【考点】菱形的判定与性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】7.8．
【分析】证四边形ABCD是菱形，得CD＝AD＝5，连接PD，由三角形面积关系求出PM+PN＝4.8，得当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，则当BP⊥AC时，PB最短，即可得出答案．
【解答】解：∵AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，
∴AC＝8，四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD于点O，
∴平行四边形ABCD是菱形，AD5，
∴CD＝AD＝5，
连接PD，如图所示：
∵S△ADP+S△CDP＝S△ADC，
∴AD•PMDC•PNAC•OD，
即5×PM5×PN8×3，
∴5×（PM+PN）＝8×3，
∴PM+PN＝4.8，
∴当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，
由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短，
∴当点P与点O重合时，PM+PN+PB有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8，
故答案为：7.8．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABOE是菱形；
（2）若AO＝4，四边形ABOE的面积是，求BD的长．
【考点】菱形的判定与性质；三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）易证四边形ABOE是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论；
（2）连接BE，交OA于F，由菱形的性质得OA⊥BE，AF＝OFOA＝2，BF＝EFBE，再由菱形的面积求出BE＝6，则BF＝3，然后由勾股定理得出OB＝7，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝ODBD，
∵BD＝2AB，
∴AB＝OB，
∵AE∥BD，OE∥AB，
∴四边形ABOE是平行四边形，
又∵AB＝OB，
∴平行四边形ABOE是菱形；
（2）解：如图，连接BE，交OA于F，
∵四边形ABOE是菱形，
∴OA⊥BE，AF＝OFOA＝2，BF＝EFBE，
∵S四边形ABOE＝12OA•BE4×BE＝2BE，
∴BE＝6，
∴BF＝3，
∴OB，
∴BD＝2OB＝2，
即BD的长为2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
12．如图，在▭ABCD中，CF⊥AB于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，且CF＝DE．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若∠B＝60°，AF＝5，求BC的长．
【考点】菱形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，可得∠B＝∠DCE，由“AAS”可证△BFC≌△CED得BC＝CD，进而根据菱形的定义得结论；
（2）设BC＝CD＝AB＝x，由直角三角形的性质可得x﹣5x，可求x的值，即可求BC的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCE，
∵CF⊥AB，DE⊥BC，
∴∠CFB＝∠DEC＝90°，
又∵CF＝DE，∠B＝∠DCE，
∴△BFC≌△CED （AAS），
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）解：∵△BFC≌△CED，
∴BC＝DC＝AB，
设BC＝x，
∴CD＝AB＝x，
在Rt△BCF中，∠B＝60°，
∴∠BCF＝30°，
∴FBBC，
∴x﹣5x，
解得x＝10，
∴BC＝10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
13．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC、AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形．
（2）若FC＝4，BE＝9，AD＝10，求四边形AEDF的边长和面积．
【考点】菱形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）菱形AEDF的边长为6，面积为10．
【分析】（1）先证明四边形AEDF是平行四边形，再由角平分线的定义和平行线的性质证明∠DAF＝∠ADF 得到 AF＝DF，即可证明四边形AEDF是菱形；
（2）先由菱形的性质得到AD⊥EF，，设菱形AEDF 的边长为x，则AB＝x+9，AC＝x+4，证明△BED∽△BAC，得到 ，解方程得到AE＝6，即菱形AEDF的边长为6，由勾股定理求出 ，则，由此可得四边形AEDF．
【解答】（1）证明：∵AB∥DF，AC∥DE，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC．
又∵AC∥DE，
∴∠ADE＝∠DAC．
∴∠ADE＝∠BAD．
∴EA＝ED．
∴四边形AEDF是菱形．
（2）解：如图所示，连接EF交AD于O，
∵四边形AEDF是菱形，
∴AD⊥EF，，
设菱形AEDF的边长为x，则AB＝x+9，AC＝x+4，
∵DE∥AC，
∴△BED∽△BAC，
∴，，
解得x＝6或x＝﹣6，
经检验，x＝6是原方程的解，
∴AE＝6，即菱形AEDF的边长为6，
∴，
∴，
∴四边形AEDF．
【点评】本题主要考查了菱形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟知菱 形的性质与判定定理是解题的关键．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求OE的长．
【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DCA＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴，
在Rt△AOB中，，OB＝1，
∴，
∴OE＝OA＝2．
【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解答本题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【考点】菱形的判定与性质．
【专题】动点型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）能．首先证明四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即60﹣4t＝2t，解方程即可解决问题；
（2）分三种情形讨论即可．
【解答】（1）证明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，
∴DF＝2t，
又∵AE＝2t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即60﹣4t＝2t，解得t＝10．
∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形．
（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴ADAE＝t，
又AD＝60﹣4t，即60﹣4t＝t，解得t＝12；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，解得t．
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t或12秒时，△DEF为直角三角形．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
考点卡片
1．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
2．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
3．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
4．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
5．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
6．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
7．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
8．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
9．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
10．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
11．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
12．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
13．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
14．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 15:21:39；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967

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