2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之平行四边形

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A．6sB．6s或10sC．8sD．8s或12s
2．顺次连接任意四边形的各边中点得到的四边形一定是（ ）
A．正方形B．矩形
C．菱形D．平行四边形
3．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（ ）
A．平行线间的距离相等B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短D．两点确定一条直线
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）
A．2B．C．3D．
二．填空题（共5小题）
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EC、FD，G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，若AB＝6，，∠BAD＝150°，则GH＝ ．
7．如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＝BC，，点N是BC边上一点，点M为AB边上一点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
8．如图是雨伞的截面示意图，伞骨AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM．
（1）△ADM与△AEM是否全等？ （填“是”或“否”）；
（2）若∠ADM＝120°，∠DAE＝60°，则∠AME的度数为 ．
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，延长CD至点G，使DG＝CD，以DG，DE为边向平行四边形ABCD外构造平行四边形DGME，连接BM交AD于点N，连接FN．若DG＝DE＝2，∠ADC＝60°，则FN的长为 ．
10．如图，A、B两点的坐标分别为（4，0）、（6，3），C是平面直角坐标系内一点．若四边形OABC是平行四边形，则点C的坐标为 ．
三．解答题（共5小题）
11．如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点．对“中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
Ⅰ．若D是AB的中点，，则E是AC的中点；
Ⅱ．若DE∥BC，，则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ．若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点．
（1）从以上命题中选出一个假命题，并在图2中画出反例（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）从以上命题中选出一个真命题，并进行证明．
12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠AOE＝70°，∠EAD＝3∠EAO，求∠BCA的度数．
13．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OD，OB的中点，连接AE，CF，求证：AE＝CF．
14．如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF＝DE．证明：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
15．在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之平行四边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（ ）
A．6sB．6s或10sC．8sD．8s或12s
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】C
【分析】过点D作DG⊥AB于点G，由∠A＝45°，可得△ADG是等腰直角三角形，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，利用勾股定理得EH＝6cm，由题意可得AE＝2t cm，CF＝t cm，然后分两种情况列方程求出t的值即可．
【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，
如图，过点D作DG⊥AB于点G，
∵∠A＝45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴AG＝DGAD＝8，
过点F作FH⊥AB于点H，
得矩形DGHF，
∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，
∵EF＝10cm，
∴EH6cm，
由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，
∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，
∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，
∴2t﹣2＝22﹣t，
解得t＝8，
当F点在E点左侧时，
由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，
∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，
∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，
∴2t﹣14＝22﹣t，
解得t＝12，
∵点E到达点B时，两点同时停止运动，
∴2t≤22，解得t≤11．
∴t＝12不符合题意，舍去，
∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用勾股定理得到EH的值．
2．顺次连接任意四边形的各边中点得到的四边形一定是（ ）
A．正方形B．矩形
C．菱形D．平行四边形
【考点】平行四边形的判定；三角形中位线定理．
【答案】D
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．需注意新四边形的形状只与对角线有关，不用考虑原四边形的形状．
【解答】解：连接BD，
已知任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点．
在△ABD中，E、H是AB、AD中点，
所以EH∥BD，EHBD．
在△BCD中，G、F是DC、BC中点，
所以GF∥BD，GFBD，
所以EH＝GF，EH∥DF，
所以四边形EFGH为平行四边形．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半以及平行四边形的判定．
3．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】三角形中位线定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝14，
∴DEBC＝7，
∵∠AFB＝90°，AB＝8，
∴DFAB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
4．如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（ ）
A．平行线间的距离相等B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短D．两点确定一条直线
【考点】平行线之间的距离；直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】B
【分析】此题为数学知识的应用，由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂线段最短，正确理解题目应用垂线段最短进行求解是解决本题的关键．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）
A．2B．C．3D．
【考点】三角形中位线定理；垂线段最短；勾股定理．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接CM，当CM⊥AB时，DM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CM，根据三角形的中位线得出DECM即可．
【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，
理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
∴AC•BC，
∴，
∴CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DECM，
即DE的最小值是，
故选：B．
【点评】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三角形的中位线和勾股定理等知识点，熟练垂线段最短和三角形的中位线性质是解此题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EC、FD，G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，若AB＝6，，∠BAD＝150°，则GH＝ ．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；三角形中位线定理．
【专题】三角形；图形的全等；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据平行四边形的性质得AD∥BC，证明△PDH≌△CFH，根据全等三角形的性质得到PD＝CF，CH＝PH，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：如图，连接CH并延长交AD于P，连接PE，过点E作EK⊥DA交DA的延长线于点K，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵点E、F分别是边AB、BC的中点，AB＝6，，
∴，，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
在△PDH与△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴，CH＝PH，
∴，
∵∠BAD＝150°，
∴∠EAK＝30°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点G是EC的中点，CH＝PH，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＝BC，，点N是BC边上一点，点M为AB边上一点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】．
【分析】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可．
【解答】解：如图，连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DECM．
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小．
∵∠C＝120°，AC＝BC，
∴AM＝BMAB＝3，∠A＝∠B＝30°，
∴AC＝2CM，
由勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，
∴4CM2＝27+CM2，
∴CM＝3，
∴DECM．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点，注意：三角形的中位线等于第三边的一半．
8．如图是雨伞的截面示意图，伞骨AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM．
（1）△ADM与△AEM是否全等？ 是 （填“是”或“否”）；
（2）若∠ADM＝120°，∠DAE＝60°，则∠AME的度数为 30° ．
【考点】三角形中位线定理；全等三角形的判定．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】（1）是；（2）30°．
【分析】（1）通过已知条件，找到△ADM和△AEM三条边对应相等，由此证明两个三角形全等；
（2）利用全等三角形的性质，全等三角形对应角相等，通过已知条件可以求出∠AME的度数．
【解答】解：（1）由已知条件得，
AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD＝AE，
在△ADM和△AEM中，
，
∴△ADM≌△AEM（SSS），
故答案为：是；
（2）由（1）知，△ADM≌△AEM（SSS），
∴∠DAM＝∠EAM，∠ADM＝∠AEM＝120°，
∵∠DAE＝60°，
∴∠DAM＝∠EAM＝30°，
在△AEM中，
∠AME＝180°﹣∠AEM﹣∠EAM＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，延长CD至点G，使DG＝CD，以DG，DE为边向平行四边形ABCD外构造平行四边形DGME，连接BM交AD于点N，连接FN．若DG＝DE＝2，∠ADC＝60°，则FN的长为 ．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】如图所示，连接EF、AF，先证明四边形ABFE，CDEF是平行四边形，进而得到AE＝EF＝AB＝ME＝2，再证明△AEF是等边三角形，进一步证明△ABN≌△EMN，得到AN＝NE，则，FN⊥AE，即可由勾股定理得到．
【解答】解：如图所示，连接EF、AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC
∵点E，F分别是AD，BC边的中点，
∴AE＝DE＝BF＝CF，
∴四边形ABFE，CDEF是平行四边形，
∵DG＝DE＝2，DG＝DC，四边形DGME是平行四边形，
∴AE＝EF＝AB＝ME＝2，
∵EF∥CD，
∴∠AEF＝∠ADC＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∵ME∥CD，EF∥CD，
∴M、E、F三点共线，
∴MF∥AB，
∴∠MEN＝∠BAN，
在△EMN和△ABN中
，
∴△ABN≌△EMN（AAS），
∴AN＝NE，
∴，FN⊥AE，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质于判定、等边三角形的性质于判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
10．如图，A、B两点的坐标分别为（4，0）、（6，3），C是平面直角坐标系内一点．若四边形OABC是平行四边形，则点C的坐标为 （2，3） ．
【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（2，3）．
【分析】由平行四边形的性质可得BC＝AO＝4，AO∥BC，即可求解．
【解答】解：∵点A（4，0），
∴OA＝4，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC＝AO＝4，AO∥BC，
∵点B（6，3），
∴点C（2，3），
故答案为：（2，3）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点．对“中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
Ⅰ．若D是AB的中点，，则E是AC的中点；
Ⅱ．若DE∥BC，，则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ．若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点．
（1）从以上命题中选出一个假命题，并在图2中画出反例（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）从以上命题中选出一个真命题，并进行证明．
【考点】三角形中位线定理；命题与定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】（1）选择I，图见解析；
（2）真命题是Ⅱ或Ⅲ．证明见解析．
【分析】（1）根据三角形中位线定理解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：（1）选择I，理由如下：
如图，D是AB中点， 但E显然不是AC的中点，
（2）真命题是Ⅱ或Ⅲ．
选择命题Ⅲ．
证明：如图，延长ED到点F使DF＝DE，连接BF．
∵D为AB中点，
∴AD＝BD．
在△ADE与△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴BF＝AE，∠F＝∠AED，
∴AC∥BF，
又∵DF∥BC，
∴四边形BCEF为平行四边形，
∴BF＝CE，
又∵BF＝AE，
∴CE＝AE，
即E是AC的中点．
【点评】此题考查三角形中位线定理，关键是根据全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理解答．
12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠AOE＝70°，∠EAD＝3∠EAO，求∠BCA的度数．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）∠BCA＝40°．
【分析】（1）证明△AEO≌△CFO（AAS）可得结论；
（2）利用三角形内角和定理求出∠EAO，求出∠DAC的度数，再利用平行线的性质解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF；
（2）解：∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∵∠AOE＝70°，
∴∠EAO＝90°﹣∠AOE＝20°，
∵∠EAD＝3∠EAO，
∴∠EAD＝3×20°＝60°，
∴∠DAC＝∠DAE﹣∠EAO＝60°﹣20°＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCA＝∠DAC＝40°．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△AEO≌△CFO．
13．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OD，OB的中点，连接AE，CF，求证：AE＝CF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】证明过程见解析．
【分析】利用SAS证明△ABE≌△CDF后利用全等三角形对应边相等即可证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，OD＝OB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE＝ED，OF＝BF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF．
【点评】考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
14．如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF＝DE．证明：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠CDB，利用SAS定理证明△ABE≌△CDF；
（2）根据全等三角形的性质得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根据平行线的判定定理证明AE∥CF，再根据平行四边形的判定定理证明结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BF＝DE，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
15．在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；（2）①4；②证明见解析．
【分析】（1）通过ASA证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，又DF∥BE，即可证明四边形BEDF是平行四边形；
（2）①过点D作DN⊥EC于点N，先根据勾股定理求出DN＝4，由∠DBC＝45°得BN＝DN，即可求出答案；
②根据DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，则有∠EDN＝∠ECG，再证∠CDH＝∠CHD，得出CD＝CH．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE且DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，
∴EN＝CN＝2，
∴DN4，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4，
∴BE＝BN﹣EN＝4，
②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
3．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
4．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
5．平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离处处相等．
6．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
7．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
8．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
9．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
10．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
11．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
12．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
13．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
14．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
15．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
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