2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之直角三角形斜边上的中线

这是一份2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之直角三角形斜边上的中线，共20页。

A．3．B．4C．5D．6
2．如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（ ）
A．变小B．不变
C．变大D．先变小再变大
3．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M、C两点间的距离为（ ）
A．2.4 k mB．3.6 k mC．4.2 k mD．4.8 k m
4．如图，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（ ）
A．10B．12C．13D．14
5．如图，一架3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，M为AB中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，OM的长度将（ ）
A．变大B．变小
C．不变D．先变大后变小
二．填空题（共5小题）
6．如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝ cm．
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 ．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为线段AB的中点，则∠BCD＝ °．
9．已知直角三角形斜边长为4，则其斜边上的中线长为 ．
10．如图，在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF．若S正方形AMEF＝4，则BC＝ ．
三．解答题（共5小题）
11．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB垂足为D，BE⊥AC垂足为E，连接DE，点G、F分别是BC、DE的中点．
求证：GF⊥DE．
12．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中线，DG垂直平分CE．
（1）求证：CD＝AE；
（2）若∠DCE＝25°，求∠B的度数．
13．如图，已知△ABC中，AD⊥BC，E是AB的中点，DG垂直平分CE．
（1）求证：DC＝BE；
（2）若∠AEC＝69°，求∠BCE的度数．
14．如图，在线段AB的同侧作△PAB和△QAB，PB和QA相交于点O，M、N分别是边AQ、BP的中点，连结PQ，PM，MN，∠APQ＝∠ABQ＝90°．
（1）判断△PMN的形状，并说明理由；
（2）当AQ＝26，BP＝24时，求MN的长．
15．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于点G．求证：
（1）G是CE的中点；
（2）∠B＝2∠BCE．
2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之直角三角形斜边上的中线
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝3，则AC的长是（ ）
A．3．B．4C．5D．6
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】连接AF．由AB＝AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC＝2EF＝4．
【解答】解：如图，连接AF．
∵AB＝AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD．
在Rt△ACF中，
∵∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝3，
∴AC＝2EF＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD是解题的关键．
2．如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（ ）
A．变小B．不变
C．变大D．先变小再变大
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】不变，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，M为AB的中点，
∴OMAB．
同理OM．
∵AB＝CD．
∴OM的长度不变．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）．
3．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M、C两点间的距离为（ ）
A．2.4 k mB．3.6 k mC．4.2 k mD．4.8 k m
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可．
【解答】解：∵公路AC、BC互相垂直，
∴∠ACB＝90°，
∵M为AB的中点，
∴，
∵AB＝4.8 km，
∴CM＝2.4（ km），即M，C两点间的距离为2.4 km，
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记知识点是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
4．如图，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（ ）
A．10B．12C．13D．14
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】连接EF、DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得FG⊥ED，，然后利用勾股定理列式计算即可求解．
【解答】解：如图：连接EF、DF，
，
∵F是BC的中点，BD⊥AC，CE⊥AB，
∴，
∵G是DE的中点，
∴FG⊥ED，，
在Rt△DGF中，，
故选：B．
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，以及勾股定理，作辅助线利用性质是解题的关键．
5．如图，一架3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，M为AB中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，OM的长度将（ ）
A．变大B．变小
C．不变D．先变大后变小
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得出结果．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，M为AB的中点，AB＝3，
∴OM是Rt△AOB的中线，
∴，
∵梯子的上端沿墙壁下滑时，梯子的长度不变，
∴OM的长度也不变，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝ 3 cm．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．
【解答】解：由图可得，
∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，
∴CDAB＝3cm，
故答案为：3．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 ．
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】．
【分析】根据垂直定义可得∠AEB＝90°，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，AE＝DE＝CE＝2，从而得到CD＝4，最后利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∵CD是△ABC的中线，AB＝4，
∴DE是△ABE斜边上的中线，
∴，
∵∠DAC＝90°，E是CD的中点，
∴AE＝DE＝CE＝2，
∴CD＝4，
由勾股定理得．
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为线段AB的中点，则∠BCD＝ 50 °．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】50．
【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠B＝50°．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD＝BD，则等边对等角，即∠BCD＝∠B＝50°．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠B＝50°．
∵D为线段AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠BCD＝∠B＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查了直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
9．已知直角三角形斜边长为4，则其斜边上的中线长为 2 ．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵直角三角形斜边长为4，
∴其斜边上的中线长4＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF．若S正方形AMEF＝4，则BC＝ 4 ．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】4．
【分析】先根据正方形的面积求出AM＝2，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC＝4．
【解答】解：∵四边形AMEF是正方形，S正方形AMEF＝4，
∴AM2＝4，
∵AM＞0，
∴AM＝2，
在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，
∴BC＝2AM＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB垂足为D，BE⊥AC垂足为E，连接DE，点G、F分别是BC、DE的中点．
求证：GF⊥DE．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】作辅助线（连接DG、EG）构建Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，然后根据斜边上的中线等于斜边的一半求得DG＝EGBC，从而判定△DEG是等腰三角形；最后根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知GF⊥DE．
【解答】证明：连接DG、EG．
∵CD⊥AB，点G是BC的中点，
∴在Rt△BCD中，DGBC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）．（2分）
同理，EGBC．（2分）
∴DG＝EG（等量代换）．（1分）
∵F是DE的中点，
∴GF⊥DE．（2分）
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质．熟练运用等腰直角三角形“三线合一”的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
12．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中线，DG垂直平分CE．
（1）求证：CD＝AE；
（2）若∠DCE＝25°，求∠B的度数．
【考点】直角三角形斜边上的中线；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）∠B＝50°．
【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线可得，利用线段垂直平分线的性质可得DE＝DC，进而可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠B＝∠EDB＝2∠BCE＝50°．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，CE是△ABC的中线，
∴，
∵DG垂直平分CE，
∴DE＝DC，
∴CD＝AE；
（2）解：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴∠EDB＝∠BCE+∠DEC＝2∠BCE＝50°，
∵DE＝BE，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠BCE＝25°，
∴∠B＝50°．
【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键是掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题．
13．如图，已知△ABC中，AD⊥BC，E是AB的中点，DG垂直平分CE．
（1）求证：DC＝BE；
（2）若∠AEC＝69°，求∠BCE的度数．
【考点】直角三角形斜边上的中线；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）23°．
【分析】（1）三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到DE＝DC，由此得到DC＝BE；
（2）根据等边对等角得到∠DCE＝∠DEC，∠EBD＝∠EDB，利用三角形外角的性质得到3∠DCE＝69°，则∠DCE＝23°．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵E是AB的中点，
∴，
∵DG垂直平分CE，
∴DE＝DC，
∴DC＝BE；
（2）解：∵DE＝DC＝BE，
∴∠DCE＝∠DEC，∠EBD＝∠EDB，
∵∠EDB＝∠DEC+∠DCE，
∴∠B＝∠EDB＝2∠DCE，
∵∠AEC＝∠B+∠DCE＝69°，
∴3∠DCE＝69°，
∴∠DCE＝23°．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质等等，根据三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等推出DE＝DC＝BE是解题的关键．
14．如图，在线段AB的同侧作△PAB和△QAB，PB和QA相交于点O，M、N分别是边AQ、BP的中点，连结PQ，PM，MN，∠APQ＝∠ABQ＝90°．
（1）判断△PMN的形状，并说明理由；
（2）当AQ＝26，BP＝24时，求MN的长．
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）△PMN为直角三角形，理由见解析；
（2）5．
【分析】（1）连结BM，由直角三角形斜边中线的性质可证PM＝BM，再由等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）先求出PM和PN的长，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）△PMN为直角三角形，理由如下：
如图，连结BM，
∵∠APQ＝∠ABQ＝90°，点M是AQ的中点，
∴，，
∴PM＝BM，
又∵N为PB的中点，
∴MN⊥PB，
∴△PMN为直角三角形；
（2）由（1）知，
∵AQ＝26，
∴PM＝13，
又∵N为BP的中点，且BP＝24，
∴，
∵MN⊥PB，
∴MN2＝PM2﹣PN2＝25，
∴MN＝±5，
又∵MN＞0，
∴MN＝5．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，勾股定理，正确记忆相关内容是解题关键．
15．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于点G．求证：
（1）G是CE的中点；
（2）∠B＝2∠BCE．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接DE，根据直角三角形的性质得到DC＝DE，根据等腰三角形的三线合一证明；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠EDB，根据三角形的外角的性质证明．
【解答】证明：（1）连接DE，
∵CE是△ABC的中线，
∴DE是△ABD的中线，
∵AD是高，
∴∠ADB＝90°，又DE是△ABD的中线，
∴DEAB＝BE，
∵DC＝BE，
∴DC＝DE，又DG⊥CE，
∴G是CE的中点；
（2）∵DE＝BE，
∴∠B＝∠EDB，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴∠EDB＝2∠BCE，
∴∠B＝2∠BCE．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的三线合一是解题的关键．
考点卡片
1．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
2．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
3．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
4．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
5．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 15:20:21；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967

菁优网APP 菁优网公众号 菁优网小程序