广东省广州市铁一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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命题人：殷建红 审题人：钟进均
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，则
A. B. C. D.
2. 过与的交点，且平行于向量的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知数列为各项均为正数的等比数列，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 《“健康中国2030”规划纲要》提出，健康是促进人类全面发展必然要求，是经济社会发展的基础条件，实现国民健康长寿，是国家富强、民族振兴的重要标志，也是全国各族人民的共同愿望，为普及健康知识，某公益组织为社区居民组织了一场健康知识公益讲座，为了解讲座效果，随机抽取了10位居民在讲座后进行健康知识问卷（百分制），这十位居民的得分情况如下表所示：
则下列说法正确的是（ ）
A. 该10位居民的答卷得分的极差为32
B. 该10位居民的答卷得分的中位数为79.5
C. 该10位居民的答卷得分的下四分位数为65
D. 该10位居民的答卷得分的平均数为79
5. 已知复数，复数，，，所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则以下命题错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
6. 要得到函数的导函数的图象，只需将的图象
A. 向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）
B. 向右平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变）
C. 向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变）
D. 向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）
7. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（ ）
A. B.
C. 事件与不互斥D. 事件与相互独立
10. 已知数列满足，，设，记数列的前项和为，数列的前项和为，则（ ）
A. B.
C D.
11. 已知点A为圆台下底面圆上的一点，S为上底面圆上一点，且，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 直线SA与直线所成角最小值为
B. 直线SA与直线所成角最大值为
C. 圆台存在内切球，且半径为
D. 直线与平面所成角正切值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数为奇函数，当时，（为自然对数底数）.则曲线在点处的切线方程为_________.
13. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，以为圆心的圆经过原点，且与抛物线的准线相切，则该抛物线的焦点到其准线的距离为______．
14. 对于函数，若存在，使，则点与点均称为函数的“积分点”.已知函数，若点为函数一个“积分点”，则___________；若函数存在5个“积分点”，则实数a的取值范围为___________
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在圆内接中，角，，所对的边分别为，，，满足.
（1）求的大小；
（2）若点是劣弧上一点，，，，求四边形的面积.
16. 记数列的前项和为.
（1）求的通项公式；
（2）设，记的前项和为.若对于且恒成立，求实数的取值范围.
17. 如图1，在中，，，，是的中点，在上，.沿着将折起，得到几何体，如图2
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
18 已知函数.
（1）讨论函数的单调性;
（2）记的零点为，的极小值点为，当时，判断与的大小关系，并说明理由.
19. 点在以、为焦点双曲线上，已知，，为坐标原点．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过点作直线分别与双曲线渐近线相交于、两点，且，，求双曲线的方程；
（3）若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由．
答题居民序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
72
83
65
76
88
90
65
90
95
76