广东省深圳市深圳外国语学校理工高中2023-2024学年高一下学期3月调研考试数学试卷（原卷版+解析版）

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出题人：莫国彪 审题人：廖伟龙
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，留存试卷，交回答题卡.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，若，则实数m等于（ ）
A. B. C. -2D. 2
3. △ABC中，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，，则向量与夹角的大小为（ ）
A. B. C. D.
5. 平面向量与的夹角为，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数是定义域上的偶函数，在区间上单调递增，且对任意、均有成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
A. B. C. D.
7. 梯形中，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. 2C. D.
二、多选题：本题共3个小题，每个小题6分，共计18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 点在所在的平面内，以下说法正确的有（ ）
A. 若，则点为的重心
B. 若，则点为的外心
C. 若，则点为的内心
D. 若，则点为的垂心
10. 已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（ ）
A 若，则
B.
C. 若，则
D.
11. 下列说法中正确的是（ ）
A. 在中，，，，若，则为锐角三角形
B. 已知点是平面上的一个定点，并且，，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的内心
C. 已知，，与的夹角为锐角，实数的取值范围是
D. 在中，若，则与的面积之比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如果向量，共线且方向相反，则等于________.
13. 正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为________.
14. 四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，，求面积.
16. 已知，，，且.
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值；
（3）在的条件下，取不垂直于的情形，求向量在的投影向量（结果用坐标表示）.
17. 如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上.岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上.设，.
（1）用，表示，；
（2）如果，海里，且，求岛屿到补给站的距离以及岛屿到的距离.
18. 定义：已知两个非零向量与的夹角为.我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即.
（1）若向量，，求；
（2）若平行四边形的面积为4，求；
（3）若，，求最小值.
19. 记的内角，，所对的边分别为，，.已知向量，.
（1）设单位向量，若与共线，且，求；
（2）当时：
（i）若，求；
（ii）求的最小值.