湖南省衡阳市多校联考2023-2024学年高一下学期3月大联考数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，且，则正数（ ）
A. B. 2C. 1D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知平面向量，则在上投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 将向量绕坐标原点逆时针旋转得到，则（ ）
A. 8B. C. D. -4
6. 已知的面积为，则（ ）
A. 13B. 14C. 17D. 15
7. 某次军事演习中，炮台向北偏东方向发射炮弹，炮台向北偏西方向发射炮弹，两炮台均命中外的同一目标，则两炮台在东西方向上的距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数和定义域均为，若满足，且与图象的交点为，，，，则（ ）
A. 必为奇数，且
B. 必为偶数，且
C. 必为奇数，且
D. 必为偶数，且
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分.
9. 在中，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则符合条件的有且只有1个
B. 若，则符合条件的有且只有2个
C. 若，则符合条件的有且只有2个
D. 若，则不存在这样的
10. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.
B. 在上单调递增
C. 的图象的对称中心为
D. 是奇函数
11. 向量积在数学和物理中发挥着重要作用.定义向量与的向量积的模，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若非零向量，且，则
C. 若的面积为，则
D. 若，则的最小值为3
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若非零向量满足，则__________.
13. 在平面直角坐标系中，向量，，正六边形的顶点位于坐标原点，，若，则__________，__________.
14. 设函数，在中，，则周长的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15. 已知平面向量.
（1）若，求的值；
（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.
16. 在中，分别是上的点，且与相交于点.
（1）用表示；
（2）若，求面积的最大值.
17. 在锐角中，内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若是边上一点（不包括端点），且，求的取值范围.
18. 已知函数为奇函数.
（1）求；
（2）若，求满足不等式最大整数.
19. 在中，内角的对边分别为.
（1）求；
（2）若，求的最大值.