2023—2024学年下学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之相似三角形

这是一份2023—2024学年下学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之相似三角形，共20页。

A．∠A＝∠CBDB．∠CBA＝∠CDB
C．AB•CD＝BD•BCD．BC2＝AC•CD
2．已知△ADE与△ABC相似，且周长比为1：3，则△ADE与△ABC的面积比为（ ）
A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9
3．若△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝2：3，则△ABC与△DEF的相似比为（ ）
A．2：3B．4：9C．D．3：2
4．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠BB．∠ADC＝∠ACBC．D．AC2＝AD•AB
5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠EB．∠B＝∠ADEC．D．
二．填空题（共5小题）
6．已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，若要使△ABC与△ADE相似，则只需添加一个条件： 即可（只需填写一个）．
7．小灵为了测量操场边上一棵树的高度，她在树AB前方20米E点处放置一面小镜子，然后她沿BE方向继续往前走8米到D点处，转身刚好在镜子里看到树梢，小灵眼睛距地面1.44米，根据这些信息请你算出树的高度是 米．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是CB上一点，ED⊥AB于点D，若BC＝10，AC＝6，DE＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
9．如图，在△ABC中，3CD＝BC，AF：DF＝3：2，则 ．
10．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，则旗杆AB的高度为 m．
三．解答题（共5小题）
11．如图，已知∠BAC＝∠EAF，∠ABE＝∠ACF，若B，E，F三点共线，线段EF与AC交于点O．
（1）求证：△ABE∽△ACF；
（2）若AB＝3，CF＝4，△AOB的面积为9，求△COF的面积．
12．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边EF：DE＝2：3，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM垂直于地面，测得AM＝21m，边DF离地面的距离为1.6m，求树高AB．
13．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD至点E，使DEAD，连接BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△CFB；
（2）若CF＝2，求AB的长．
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/s的速度运动，如果P，Q分别从A，B同时出发，4秒后停止运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：BP＝ cm，BQ＝ cm；
（2）当t为何值时，△PBQ的面积为12cm？
（3）是否存在某一时间t，使得△PBQ和△ABC相似？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．
15．如图，已知点D在△ABC边BC上，点E在△ABC外，∠BAD＝∠CAE＝∠EDC．
（1）求证：△ABC∽△ADE．
（2）若AD＝4，AB＝5，BC＝8，求DE的长．
2023—2024学年下学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之相似三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（ ）
A．∠A＝∠CBDB．∠CBA＝∠CDB
C．AB•CD＝BD•BCD．BC2＝AC•CD
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
【解答】解：∵∠C是公共角，
∴再加上∠A＝∠CBD或∠CBA＝∠CDB都可以证明△CAB∽△CBD，故A，B不符合题意，
C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C符合题意．
∵∠C＝∠C，
若再添加，即BC2＝AC⋅CD，可证明△CAB∽△CBD，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
2．已知△ADE与△ABC相似，且周长比为1：3，则△ADE与△ABC的面积比为（ ）
A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】D
【分析】根据三角形相似的性质进行解答即可．
【解答】解：由题意可知△ADE与△ABC相似，且周长比为1：3，△ABC与△ADE的面积比为相似比的平方，故为1：9．
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的性质，正确记忆相似三角形的性质是解题根据．
3．若△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝2：3，则△ABC与△DEF的相似比为（ ）
A．2：3B．4：9C．D．3：2
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】C
【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝2：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝2：3，
∴△ABC与△DEF的相似比为：：．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．
4．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠BB．∠ADC＝∠ACBC．D．AC2＝AD•AB
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
D、当AC2＝AD•AB时，即，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠EB．∠B＝∠ADEC．D．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
B、添加∠B＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C、添加，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
D、添加，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
二．填空题（共5小题）
6．已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，若要使△ABC与△ADE相似，则只需添加一个条件： DE∥BC 即可（只需填写一个）．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】开放型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据DE∥BC可以求得∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，即可求证△ABC∽△ADE，即可解题．
【解答】证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ABC∽△ADE（AA），
∴添加条件DE∥BC，即可证明△ABC∽△ADE，
故答案为：DE∥BC．
【点评】本题考查了平行线同位角相等的性质，相似三角形的证明，本题中添加条件DE∥BC，并证明△ABC∽△ADE是解题的关键．
7．小灵为了测量操场边上一棵树的高度，她在树AB前方20米E点处放置一面小镜子，然后她沿BE方向继续往前走8米到D点处，转身刚好在镜子里看到树梢，小灵眼睛距地面1.44米，根据这些信息请你算出树的高度是 3.6 米．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】三角形；图形的相似；应用意识．
【答案】3.6．
【分析】利用入射角和反射角相等和余角的等角相等可得到∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△ABE∽Rt△CDE，然后利用相似比可计算出AB．
【解答】解：∵∠AEB＝∠CED，∠ABE＝∠CDE＝90°，
∴Rt△ABE∽Rt△CDE，
∴，
而CD＝1.44米，BE＝20米，DE＝8米，
即，
∴树高AB＝3.6（米）．
故答案为：3.6．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是CB上一点，ED⊥AB于点D，若BC＝10，AC＝6，DE＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据相似三角形的判定与性质知△ABC∽△EBD，对应边成比例可得到BD的长度，根据三角形的面积公式得到大小三角形的面积即可得到阴影部分的面积
【解答】解：∵∠ACB＝90°，ED⊥AB于点D，
∴∠ACB＝∠EDB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△EBD，
∴，
∵BC＝10，AC＝6，DE＝4，
∴，
∴，
∴30，．
∴阴影部分的面积为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形面积公式等相关知识点，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，3CD＝BC，AF：DF＝3：2，则 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】过点D作DG∥BE交AC于点G，根据3CD＝BC得到EC＝3CG，EG＝2GC，根据AF：DF＝3：2的AE＝3CG，AC＝6GC，进而代入求解即可．
【解答】解：如图所示，过点D作DG∥BE交AC于点G，
∵DG∥BE，3CD＝BC，
∴，即EC＝3CG，
∴EG＝EC﹣GC＝2GC，
∵DG∥BE，AF：DF＝3：2，
∴，即，
∴AC＝AE+EC＝3GC+3GC＝6GC
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
10．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，则旗杆AB的高度为 13.5 m．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，于是得到结论．
【解答】解：设CD与EH交于G，
∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD∥AB，
∴△CGE∽△AHE，
∴，
即：，
∴，
∴AH＝11.9，
∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．
故答案为：13.5．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．
三．解答题（共5小题）
11．如图，已知∠BAC＝∠EAF，∠ABE＝∠ACF，若B，E，F三点共线，线段EF与AC交于点O．
（1）求证：△ABE∽△ACF；
（2）若AB＝3，CF＝4，△AOB的面积为9，求△COF的面积．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）△COF的面积是16．
【分析】（1）由△ABC∽△AEF，可得∠BAC＝∠EAF，AB：AE＝AC：AF，可得∠BAE＝∠CAF，所以AB：AC＝AE：AF，由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似可得结论；
（2）由∠ABE＝∠ACF，易证△AOB∽△FOC，所以S△BOA：S△COF＝（）2，由此可得结论．
【解答】（1）证明：∵∠ABE＝∠ACF，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠AFB＝∠BCA，
∵∠ABC＝∠EAF，
∴△ABC∽△AEF，
∴∠BAC＝∠EAF，AB：AE＝AC：AF，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，
∴AB：AC＝AE：AF，
∴△ABE∽△ACF；
（2）解：∵∠ABE＝∠ACF，
∵∠AOB＝∠COF，
∴△AOB∽△FOC，
∴S△AOB：S△FOC＝（）2，
∵S△AOB＝9，
∴S△FOC＝16．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
12．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边EF：DE＝2：3，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM垂直于地面，测得AM＝21m，边DF离地面的距离为1.6m，求树高AB．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】树高15.6m．
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似，求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
∴．
∵AM＝CD＝21m，
∴BC＝14m，
∴AB＝AC+BC＝1.6+14＝15.6（m）．
答：树高15.6m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
13．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD至点E，使DEAD，连接BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△CFB；
（2）若CF＝2，求AB的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）AB的长是3．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠E＝∠CBF，因为∠A＝∠C，所以△ABE∽△CFB；
（2）由DEAD，AD＝CB，得DECB，再证明△DEF∽△CBF，得，因为CF＝2，所以DFCF＝1，所以AB＝CD＝3．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠E＝∠CBF，
∵∠A＝∠C，
∴△ABE∽△CFB．
（2）解：∵DEAD，AD＝CB，
∴DECB，
∵DE∥CB，
∴△DEF∽△CBF，
∴，
∴DFCF2＝1，
∴AB＝CD＝CF+DF＝2+1＝3，
∴AB的长是3．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△DEF∽△CBF是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/s的速度运动，如果P，Q分别从A，B同时出发，4秒后停止运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：BP＝ 8﹣2t cm，BQ＝ 4t cm；
（2）当t为何值时，△PBQ的面积为12cm？
（3）是否存在某一时间t，使得△PBQ和△ABC相似？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】（1）8﹣2t，4t；（2）t＝1秒或3秒时，△PBQ的面积等于12cm2．（3）t＝1秒或3秒时，△PBQ的面积等于12cm2．
【分析】（1）根据路程＝速度×时间就可以表示出BQ，AP．再用AB﹣AP就可以求出PB的值．
（2）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t的值．
（3）设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，由题意表示出AP，PB，BQ，分两种情况考虑：当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA；当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，分别由相似得比例，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果．
【解答】解：（1）由题意BQ＝4t，PB＝8﹣2t．
故答案为：8﹣2t，4t；
（2）由题意得12，
解得：t1＝1，t2＝3，
∴当t＝1秒或3秒时，△PBQ的面积等于12cm2．
（3）设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，
由题意得：AP＝2x cm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x，
分两种情况考虑：
当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA，
∴，即，
解得：x＝1，
当x＝1秒时，△BPQ与△BAC相似；
当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，
∴，即，
解得：x，
当x秒时，△BPQ与△BAC相似．
综上，当x＝1秒或秒时，△BPQ与△BAC相似．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
15．如图，已知点D在△ABC边BC上，点E在△ABC外，∠BAD＝∠CAE＝∠EDC．
（1）求证：△ABC∽△ADE．
（2）若AD＝4，AB＝5，BC＝8，求DE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）．
【分析】（1）根据∠BAD＝∠CAE得出∠BAC＝∠DAE，根据三角形的外角定理得出∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，则∠ADE＝∠B，即可求证△ABC∽△ADE；
（2）根据相似三角形对应边成比例，得出，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE++∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，
∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，∠BAD＝∠EDC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；
（2）解：由（1）得：△ABC∽△ADE，
∴，
∵AD＝4，AB＝5，BC＝8，
∴，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似，以及相似三角形对应边成比例是解题的关键．
考点卡片
1．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
2．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
3．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
4．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
5．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 15:56:56；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967

菁优网APP 菁优网公众号 菁优网小程序