人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列教学设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列教学设计，共6页。

● 教学目标
1.理解用错位相减法推导等比数列前项和公式的过程，掌握公式的特点，并能应用公式解决一些简单问题．
2.在公式的推导中渗透了特殊到一般、一般到特殊、类比、分类讨论等数学思想，培养学生逻辑思维能力和逆向思维的能力．
3.通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.
● 教学重点、难点
重点：等比数列前项和公式的推导及公式的简单应用．
难点：用错位相减法推导等比数列前项和公式及等比数列前项和公式的运用．
● 教法：启发教学、自主探究教学与多媒体教学相结合．
● 学法：自主探究学习与小组合作学习相结合.
● 教学过程：
旧知回顾
等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然）。
等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使得a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时
通项公式：首项为，公比为的等比数列，则
创设情境，抽象问题
情景 孙悟空：花果山搞了个旅游开发，但由于疫情影响，游客少，导致资金不足，银行又不肯贷款，怎么办呢？
猪八戒：猴哥，好久不见，你变帅了耶！
孙悟空：最近，老孙的花果山旅游集团经费周转有些困难，听说你继承了高老庄一大笔遗产，特地来找你帮忙呀！
猪八戒：这样吧！我每天向你投资100万，连续投资30天，咱们兄弟就不讲利息了，你就第一天给我1块，第二天给我2块，第三天4块，以后每天给我的钱是前一天的两倍，意思一下就算了。如果你同我们就签合同吧。
孙悟空：看那头猪一脸奸笑，会不会有诈啊？不行我得征求其他人的意见，然后再签。
提出问题：假如你是孙悟空的同伴，请你帮孙悟空决策，悟空该不该签约？
3.合作探究
悟空接受的资金 返还给猪八戒的钱数

每天投资100万，连续30天 第一天返还1元
第二天返还2元
第三天返还4元
…………
后一天返还的钱是前一天的2倍
思考：如何计算出返还给猪八戒的钱呢？
①
②
问题1.观察相邻两项它们有什么特征？
问题2.如果每一项都乘以2会有什么变化呢？
根据等比数列的的定义，可发现：②-①得：
思考：如何求解等比数列的前n项和呢？（学生小组合作类比上面的求解过程来推导公式）
假设等比数列的首项为，公比为，则的前n项和是
因为 ①
为了看清式子的特点，我们不妨利用等比数列的通项公式把各项都用首项和公比来表示.根据等比数列的通项公式，上式可写成
②
根据等比数列相邻两项的关系：
我们发现，如果用公比乘②的两边，可得
③
②③两式的右边有很多相同的项，用②-③，消去相同的项，
可得
即
问题3：对于上式两边能否可以同时除以
当时，即时，我们就得到了等比数列的前n项和公式
（④）
又因为，所以公式（④)还可以化简成
注意：当时，即时，等比数列为以为通项的常数列，因此.
等比数列的前n 项和公式．
4.例题讲解，学以致用
例7.已知数列是等比数列.
若，，求；
若，，，求；
若，，，求.
解：（1）因为，，所以
解法1：由，，可得，
即 又由，得 ，
所以

把，，代入，得
.
整理，得 . 解得 .
问题4：对于等比数列的相关量，，，，，已知几个量就可以确定其他量？
回顾例1的解答过程，可得
教师总结：对于等比数列的相关量，，，，，五个量“知三求二”.这也是方程思想在数列中的体现.
5.牛刀小试：（课本37页）(四人一组合作探究六分钟左右，然后派代表上来展示并解说)
1．已知数列是等比数列．
（1）若，，，求；
（2）若，，，求；
（3）若，，求与q．
6.走进高考：
（2020年新课标2卷文科）记为等比数列的前n项和，若 则 （ ）

● 课堂小结，凝练升华
教师引导学生回顾本节学习的主要内容：
（1）等比数列的前n项和公式
对于等比数列的相关量，，，，，五个量“知三求二”.
●课后作业，巩固提高
在等比数列中，公比为 .
若 , 求 ；
若 ，求
(3)若，，求q与；
2．如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？
拓展提高10.已知数列 为等比数列，，公比.若是数列 的前n项积，求的最大值。（1）
8
√
√
（2）
27
√
9
√
（3）
8
√
√
已知量
首项，公比q(q≠1)，项数n
首项，末项，公比q(q≠1)
首项，公比q＝1
求和公式