适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第8章立体几何与空间向量素能培优十几何法求线面角二面角及距离课件新人教A版

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利用几何法求线面角、二面角及距离问题常应用于一些不易建系的几何体,或者题目条件用几何法比较简单快捷的情况.相对于向量法,几何法运算简单,不易出错.其难点在于准确找出所求的角或距离.
考点一 几何法求线面角
例1(2022·全国甲,理7)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°,则(　　)A.AB=2ADB.AB与平面AB1C1D所成的角为30°C.AC=CB1D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
解析 连接BD.B1D与平面ABCD所成的角为∠B1DB,B1D与平面AA1B1B所成的角为∠DB1A,则∠B1DB=∠DB1A=30°,设B1D=2,则AD=B1B=1.由
[对点训练1](2024·河北邢台模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有的棱长都相等,侧棱AA1⊥底面ABC,则直线AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为(　　)
解析 取BC的中点O,连接AO,B1O,易得BC⊥AO.因为侧棱AA1⊥底面ABC,AA1∥BB1,所以BB1⊥底面ABC,又AO⊂底面ABC,所以BB1⊥AO.因为BB1∩BC=B,BB1,BC⊂平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1,所以所求直线与平面所成的角为∠AB1O.由AO⊥平面BCC1B1,B1O⊂平面BCC1B1,可得AO⊥B1O.因为所有的棱长都相等,不妨设棱长为2,
考点二 几何法求二面角
解析 因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.又四边形ABCD为正方形,则AD=AB,从而可得PD=PB,即三角形PBD为等腰三角形.取BD的中点O,则PO⊥BD,AO⊥BD.又PO⊂平面PAO,AO⊂平面PAO,AO∩PO=O,则BD⊥平面PAO,即∠POA为二面角A-BD-P的平面角.又PA⊥平面ABCD,AO⊂平面ABCD,则PA⊥AO.因为AB=2,
[对点训练2](2024·河北石家庄模拟)如图是某纪念馆陈列的呈正四棱台的木盒子,它是以前计量粮食用的斗,其四周和底部五面合围,上部开口的中间有一斗柄,作为手提之用.纪念馆测得该正四棱台下底面边长为38厘米,上底面边长为32厘米,侧棱长为23厘米.则斗的侧面与底面夹角的余弦值为(　　)
解析 如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,设上、下底面的中心分别为O1,O,设B1C1,BC的中点分别为E,H,连接EH,O1E,OH,OO1,作EF⊥OH,垂足为F.由于侧面BB1C1C为等腰梯形,故EH⊥BC.而OH⊥BC,则∠EHF即为平面BB1C1C与底面ABCD所成二面角的平面角,∠EHF即为斗的侧面与底面的夹角.由题意可知O1E=16,OH=19,所以FH=19-16=3.在等腰梯形BCC1B1
考点三 几何法求距离(多考向探究预测)
考向1点线距例3如图,在四棱锥P-ABCD中,PB⊥平面ABCD,PB=AB=2BC=4,AB⊥BC,则点C到直线PA的距离为(　　)
解析 如图,取PA的中点M,连接BM,CM.因为PB⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PB⊥BC,又因为AB⊥BC,PB∩AB=B,所以AB⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又PA⊂平面PAB,所以BC⊥PA,因为M是PA的中点,PB=AB,所以BM⊥PA,又BC⊥PA,BM∩BC=B,BM,BC⊂平面BCM,所以PA⊥平面BCM,又CM⊂平面BCM,所以CM⊥PA,即线段CM为点C到直线
考向2点面距例4如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱DD1的中点,则点A到平面A1B1E的距离为(　　)
解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊥平面AA1D1D,而A1B1⊂平面A1B1E,则平面A1B1E⊥平面AA1D1D.在平面AA1D1D内,过点A作AF⊥A1E于点F,连接AE,如图.因为平面A1B1E∩平面AA1D1D=A1E,AF⊂平面AA1D1D,所以AF⊥平面A1B1E,则AF的长即为点A到平面A1B1E的距离.因为点E为棱DD1的中点,在△AA1E中,
[对点训练3](1)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则点A到CD1的距离为(　　)
解析 如图所示,连接C1D,设C1D∩CD1=E,连接AE.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得AD⊥平面CDD1C1.因为CD1⊂平面CDD1C1,所以AD⊥CD1.又由正方形CDD1C1中,可得C1D⊥CD1,即DE⊥CD1.因为AD∩DE=D,且AD,DE⊂平面ADE,所以CD1⊥平面ADE.又因为AE⊂平面ADE,所以AE⊥CD1,所以线段AE即为点A到直线CD1的距离,在直角三角形ADE中,
(2)在三棱锥S-ABC中,SA,SB,SC两两垂直,SA=1,SB=SC=2,则点S到平面ABC的距离为(　　)