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最新高考数学解题方法模板50讲 专题40 轨迹方程求解方法
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这是一份最新高考数学解题方法模板50讲 专题40 轨迹方程求解方法，文件包含高考数学解题方法模板50讲专题40轨迹方程求解方法解析版docx、高考数学解题方法模板50讲专题40轨迹方程求解方法学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
模
板
50
讲
专题40 轨迹方程求解方法
【高考地位】
求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的问题之一，是用代数方法研究几何问题的基础。这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。因而也是历年高考所要考查的重要内容之一。
方法一 直接法
例1在平面直角坐标系
中，动点与两点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为动点与两点的连线的斜率之积为，所以 ，化为，故选A.
【变式演练1】（多选）（2021·广东深圳·高三月考）已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于且斜率之差等于，则正确的是（ ）
A．当时，点的轨迹是双曲线.
B．当时，点在圆上运动.
C．当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大.
D．无论n如何变化，点的运动轨迹是轴对称图形.
【答案】BD
【分析】
设，进而根据题意得，，进而依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：设，则 ，
所以，，
整理得，
所以对于A选项，时，点的轨迹是去除了两个点的双曲线上，故A选项错误；
对于B选项，当时，点的轨迹为圆，故在圆上运动，故B选项正确；
对于C选项，当时，点的轨迹为表示焦点在轴上的椭圆，离心率为，故当时，椭圆的离心率随着的增大而减小，故C选项错误；
对于D选项，由于，点的运动轨迹，对任意的点与均在，故曲线关于轴对称，点的运动轨迹为，可能为椭圆，双曲线，圆，但均为轴对称图形，故D选项正确.
故选：BD
例2设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是（ ）
A． x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)B．x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)
C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)
【答案】A
【分析】
设A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，由,得a＝x＞0，b＝3y＞0，再由，ax＋by＝1，两式联立求解即可.
【详解】
设A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.
由,
得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，
即a＝x＞0，b＝3y＞0.
又点Q与点P关于y轴对称，则点Q(－x，y)，
由，
得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.
将a＝x，b＝3y代入ax＋by＝1，
得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．
故选：A
【变式演练2】已知点M到点的距离比到点M到直线的距离小4；求点M的轨迹的方程；
【答案】
【解析】
试题分析：结合图形知，点M不可能在轴的左侧，由抛物线的定义可知M的轨迹是抛物线，
其中
试题解析：结合图形知，点M不可能在轴的左侧，即M到点的距离等于M到直线的距离M的轨迹是抛物线，为焦点，为准线M的轨迹方程是：.
方法二 定义法
例3已知两圆，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆的半径为，则，
∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且， ，故所求的轨迹方程为.故选C.
【变式演练1】已知点，直线，点是直线上动点，若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹是（ ）
双曲线 B、抛物线 C、椭圆 D、圆
【答案】
【解析】由题意知，点的轨迹为抛物线。
例2已知定点F（3，0）和动点P（x，y），H为PF的中点，O为坐标原点，且满足．求点P的轨迹方程；
【答案】
试题解析：如图取连接， ，，由双曲线定义知，点P的轨迹是以为焦点的双曲线的右支 ， ，的轨迹方程为： .
【变式演练2】（2021·宁波市北仑中学高三开学考试）已知定点，动点Q在圆O：上，PQ的垂直平分线交直线 OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】
当在圆内时，由几何性质可得，此时的轨迹是以为焦点的椭圆. 当在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心.当在圆外时，,此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支，从而可得答案.
【详解】
当在圆内时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点,
则, 线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段于点，如图1 .
连接, 则, 所以
则
此时的轨迹是以为焦点的椭圆.
当在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心.
当在圆外时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点,
则, 线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段的延长线于点，如图2 .
连接, 则, 所以
则
此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支.
同理当在圆上运动时，还会得到
所以动点的轨迹是双曲线，则在圆外,所以
故选： D
方法三 相关点法（代入法）
例4 已知, 分别在轴和轴上运动， 为原点， ,点的轨迹方程为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设动点 坐标为 由得：
即
故选A．
【点睛】本题考查轨迹方程的求法，其中合理准确运用利用相关点法是解题的关键
【变式演练1】【名师联盟2020届高三下学期5月联考文科数学】已知，两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足，动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）已知过点的直线与曲线交于，两点，问：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在；定点，定值为.
【分析】
（1）设，根据向量运算得，故，，又因为，代入即可；
（2）当斜率存在时，设：，与联立方程得，假设轴上存在定点，使得为定值，则由韦达定理与向量运算得，故，解得，，，当斜率不存在时，容易验证满足，综上问题解决.
【详解】
解：（1）设，∵，
∴，∴，.
则，，又，
∴，即为的方程.
（2）当斜率存在时，设：，
由，得，
设、，∴，.
假设轴上存在定点，使得为定值.
.
要使上式为定值，即与无关，则，得，
此时，；
当斜率不存在时，，.
此时符合，
所以在轴上存在定点，使得为定值，且定值为.
例5 如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，M为CD的中点．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数，使，且P点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设点的坐标为，则从而可得和的坐标,根据两向量垂直数量积为0可得关于的方程,即点的轨迹方程．（Ⅱ）设,由可得,代入（Ⅰ）中所得点的轨迹方程可得点的轨迹方程．可知点的轨迹是以为焦点的椭圆但去掉长轴两个端点．由椭圆中关系式可得的值．（Ⅲ）设直线方程与椭圆方程联立,消去可得关于的一元二次方程．由韦达定理可得两根之和,两根之积．从而可求得三角形面积,再用配方法求其最值．
试题解析：解：（Ⅰ）设点的坐标为，则
又由AC⊥BD有，即，∴．
（Ⅱ）设，则，代入M的轨迹方程有
即，∴的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）．
要到的距离之和为定值，则以为焦点，故．
∴ 从而所求P的轨迹方程为．
考点：1轨迹问题;2椭圆的定义,简单几何性质．
【变式演练2】已知是抛物线的焦点， 是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】抛物线y=x2的焦点为F（0，1），
设P（p，q）为抛物线一点，则：p2=4q，
设Q（x，y）是PF中点，
则：x= ，y=，
即p=2x，q=2y﹣1，
代入p2=4q得：（2x）2=4（2y﹣1），
即为x2=2y﹣1．
故选：C ．
点睛：本题主要考查轨迹方程的求解，利用了相关点法即代入法，关键是寻找动点之间的关系，再利用已知动点的轨迹求解．一般过程是求谁设谁，再根据条件找新方程上的点和已知曲线上的点之间的坐标关系，用已知曲线的点坐标表示要求的点的坐标，再代入已知曲线，化简即可。
方法四 参数法
例6、已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设， ，过点的直线为，
由得，直线代入得
则，
即， ，所以
故选B
【点评】参数法是求轨迹方程的重要方法，其关键是选择适当参数，常用的参数有线参数、角参数、参数、参数和点参数等。
【变式演练】（多选）（2021·肥城市教学研究中心）已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ）
A．弦的中点轨迹是圆
B．直线的交点在定圆上
C．线段长的最大值为
D．的最小值
【答案】ACD
【分析】
设，，由已知结合垂径定理求得的轨迹判断；联立两直线方程消去判断；由选项、及两圆的位置关系判断；由数量积运算结合选项求得数量积的最小值判断．
【详解】
对于选项A：设，因为，为弦的中点，
所以.而，半径为，
则圆心到弦的距离为.
又圆心，所以，
即弦中点的轨迹是圆，故选项A正确；
对于选项B：由，消去可得，
得，选项B不正确；
对于选项C：由选项A知，点的轨迹方程为：，
又由选项B知，点的轨迹方程为：，
所以，
线段，故选项C正确；
对于选项D：
，故，
由选项C知，，
所以，故选项D正确.
故选：．
方法五 交轨法
例7、【甘肃省武威第六中学2020届高三下学期第六次诊断考试】已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）求面积的最小值，并求出此时直线的方程.
【答案】（1）；（2）1，.
【分析】
（1）设，，得出以为切点的切线方程和以为切点的切线方程，联立两切线方程表示出点的坐标，再设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，代入可得点的轨迹方程；
（2）由（1）知表示和到直线的距离，表示三角形的面积，可求得的最小值和直线的方程.
【详解】
（1）设，，,
以为切点的切线为，整理得：，
以为切点的切线为：，
联立方程组：，解得.
不妨设直线的方程为：，
联立方程组得：，
恒成立，
∴，，∴，
∴点的轨迹方程为；
（2）由（1）知：，
到直线的距离为：，
∴，
∴时，取得最小值，此时直线的方程为.
【点评】用交规法求动点轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消掉参数，得出点的两个坐标间的关系即可。
【变式演练】已知正方形的四个顶点分别为， ， ， ，点， 分别在线段， 上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，则，
所以直线的方程为，
直线的方程为： ，设，
则由，可得，
消去可得．
本题选择A选项.
点睛：求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程
【高考再现】
1．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为；
（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，
不妨直线的方程为，即，
联立，消去并整理可得，
设点、，则且.
由韦达定理可得，，
所以，，
设直线的斜率为，同理可得，
因为，即，整理可得，
即，显然，故.
因此，直线与直线的斜率之和为.
2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
【答案】A
【分析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
3．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
【答案】（1）或；
（2）见解析.
【分析】（1）在直线上 设，则
又 ，解得：
过点， 圆心必在直线上
设，圆的半径为
与相切
又，即
，解得：或
当时，；当时，
的半径为：或
（2）存在定点，使得
说明如下：
，关于原点对称且
直线必为过原点的直线，且
①当直线斜率存在时，设方程为：
则的圆心必在直线上
设，的半径为
与相切
又
，整理可得：
即点轨迹方程为：，准线方程为：，焦点
，即抛物线上点到的距离
当与重合，即点坐标为时，
②当直线斜率不存在时，则直线方程为：
在轴上，设
，解得：，即
若，则
综上所述，存在定点，使得为定值.
4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：是直角三角形；
（ii）求面积的最大值.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【分析】（1）直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为；
（2）（i）设直线的方程为,由题意可知,直线的方程与椭圆方程联立,即或,点P在第一象限，所以，因此点的坐标为
直线的斜率为，可得直线方程：，与椭圆方程联立，，消去得，（*），设点，显然点的横坐标和是方程（*）的解
所以有，代入直线方程中，得
，所以点的坐标为，
直线的斜率为; ,
因为所以，因此是直角三角形；
（ii）由（i）可知：，
的坐标为，
，
,
,因为，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，函数有最大值，最大值为.
5、【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。
求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
【答案】(1) 。
(2)证明略。
【解析】
试题分析：(1)设出点P的坐标，利用得到点P与点,M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为。
(2)利用可得坐标关系，结合(1)中的结论整理可得，即，据此即可得出题中的结论。
试题解析：（1）设,设, 。
由得。
因为在C上，所以。
因此点P的轨迹方程为。
（2）由题意知。设,则
，
。
由得，又由（1）知，故
。
所以，即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F。
【考点】 轨迹方程的求解；直线过定点问题。
【名师点睛】求轨迹方程的常用方法有：
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0。
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程。
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。
(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程。
6．【2016高考新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设出与轴垂直的两条直线，然后得出的坐标，然后通过证明直线与直线的斜率相等即可证明结果了；（Ⅱ）设直线与轴的交点坐标，利用面积可求得，设出的中点，根据与轴是否垂直分两种情况结合求解．
试题解析：由题设.设，则，且
.
记过两点的直线为，则的方程为. 分
（Ⅰ）由于在线段上，故.
记的斜率为，的斜率为，则，
所以. 分
（Ⅱ）设与轴的交点为，
则.
由题设可得，所以（舍去），.
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得.
而，所以.
当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. 分[来源:Z#xx#k.Cm]
考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．
【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．
7、【2011年湖北高考理科第19题】（本小题满分13分）
如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；
（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.
若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.
【答案】 = 1 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑴ = 2 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑵直线l的斜率的取值范围为
∴曲线C的方程为.
而原点O到直线l的距离d＝，
∴S△DEF=
若△OEF面积不小于2,即，则有
③
综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为
综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为。
【反馈练习】
1．【河南省新乡市2021届高三第一次模拟考试数学（理科）】如图，已知正方体的棱长为3，点在棱上，且，是侧面内一动点，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
作交于点，可得出点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧，即可求出.
【详解】
如图，作交于点，则可得平面，
平面，，
则，因为，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧，所以的最小值为．
故选：A.
2．（2021·全国高三专题练习（理））已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线
【答案】C
【分析】
首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】
由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.
3．（多选）（2021·江苏南通·高三模拟预测）已知点A的坐标为，点B的坐标为，直线AP与BP相交于点P，且它们的斜率之积为非零常数m，那么下列说法中正确的有（ ）
A．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆
B．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆
C．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆
D．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线
【答案】BD
【分析】
设设点P的坐标为，根据已知条件，求得轨迹方程，然后根据平方项的系数的正负，同号异号，同号时相等与否分类讨论.
【详解】
设点P的坐标为，则，所以.
当时，，即，表示焦点在y轴上的椭圆，故A错误.
当时，，表示圆心在原点的圆，故B正确.
当时，，表示焦点在x轴上的椭圆，故C错误.
当时，，表示焦点在x轴上的双曲线，故D正确.
故选：BD
4．（2021·浙江省普陀中学高三开学考试）如图，设圆，现将半圆所在平面沿轴折起（坐标轴不动），使之与半平面成的二面角，若点为半圆上的动点，则点在半圆所在平面上的射影的轨迹方程为____．
【答案】
【分析】
根据题意设，则点在半圆所在平面上的射影为，则，且，进而可以求出结果.
【详解】
由题意可知，点在半圆所在平面上的射影的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，
设，则点在半圆所在平面上的射影为，则，所以，因为，所以，即，所以点在半圆所在平面上的射影的轨迹方程为，
5．（2021·沙坪坝·重庆一中高三月考）棱长为2的正方体，E，F分别为棱AB与上的点，且，则EF的中点P的轨迹为L，则L的长度为____________.
【答案】
【分析】
如图，设，则，可以以为长、宽、高构成长方体，为体对角线，则可得（），可得点的轨迹是一个的圆弧，且，所以的中点的轨迹为半径为的一个的圆弧，从而可得答案
【详解】
如图，设，则，可以以为长、宽、高构成长方体，为体对角线，
所以，
所以（），
所以，
因为，所以图中点的轨迹是一个的圆弧，且，
因为为的中点，所以的高度始终为，
所以的轨迹在一个水平面内，
所以可平移到底面，即为的中点，
可设，则，的中点为，
所以的中点的轨迹为半径为的一个的圆弧，
所以长度为，
故答案为：
6．（2021·重庆）在三棱锥中，，二面角的大小为，在侧面内(含边界)有一动点，满足到的距离与到平面的距离相等，则动点的轨迹的长度为__________．
【答案】
【分析】
如图，先作出二面角的平面角，进而得到，再建立如图所示的平面直角坐标系，可得直线的方程为，从而求出的轨迹的长度．
【详解】
解：如图，过作 于，平面于，
过作于，连接，
则为二面角的平面角，
由，
得．
又，所以，
在 中，以 所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则直线的方程为，
直线的方程为，
所以直线与的交点坐标为，
所以的轨迹为线段，
长度为．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题关键为利用二面角得出结论后建立平面直角坐标系求解，方法比较少见，利用直角坐标系求得直线的方程后顺利求得直线与的交点坐标，将问题转化为求线段得长度，问题解决.
7．（2021·浙江高三模拟预测）已知为平面内一定点且，平面内的动点满足：存在实数，使，若点的轨迹为平面图形，则的面积为___________.
【答案】
【分析】
以为圆心，以为半径作圆，过作圆的切线，分别与圆切于点，，连结，，延长与圆交于点，设点，满足，由，则点在的延长线上，若要存在使得，所以的延长线与圆有交点，从而得出点点的轨迹图形，从而可求解.
【详解】
以为圆心，以为半径作圆，
过作圆的切线，分别与圆切于点，，
连结，，延长与圆交于点，
存在点以及实数，设点，满足，
，即
由，可知点在的延长线上，
若要存在使得，相当于的延长线与圆有交点，
故只能在图中阴影部分，所以点的轨迹面积，
因为与圆相切于点，所以，
由勾股定理可知，，
所以，同理，
因为，所以，
所以，
综上所述，的面积为.
故答案为：.
【点睛】
关键点睛：本题考查轨迹问题，圆的几何性质和平面向量的共线的结论的应用，解答本题的关键是设点，满足，由，可知点在的延长线上，由条件得出相当于的延长线与圆有交点，从而得出点点的轨迹图形，属于中档题.
8．（2021·山西高三三模（文））已知圆和圆，过点P（x，y）分别作的切线PA，PB，其中A，B为切点，且，则动点P的轨迹方程为___________．
【答案】
【分析】
利用切线长的平方等于点到圆心的距离的平方减去半径的平方，列出关系式，整理即得.
【详解】
解:设P(x,y),则由|PA|=|PB|，得|PA|2=|PB|2,
所以,
化简得：,此即为P的轨迹方程，
故答案为：.
【点睛】
本题考查求动点的轨迹方程问题，涉及圆的切线长度的计算，属基础题.
9．（2021·江苏高三开学考试）若点A(－1，0)，B(1，0)，P满足，则点P的轨迹C的方程为＝_______，设M，N是轨迹C与x轴的两个交点，则△PMN面积的最大值为_______．
【答案】
【分析】
设点，由题意直接列方程即可得出轨迹方程；令求出，再利用求根公式得出，利用换元法求出的最大值即可求解.
【详解】
设点，由，
则，
两边平方可得，
即，
当时，则，解得，
所以，
将方程整理可得，
由求根公式可得，
令，因为，
所以，，
则，
当时，，所以.
所以的最大值为.
故答案为：；
10．【2020届广东省东莞市高三下学期4月模拟自测】在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆心，点E在直线上，点P满足，，点P的轨迹为曲线M．
（1）求曲线M的方程．
（2）过点N的直线l分别交M于点A、B，交圆N于点C、D（自上而下），若、、成等差数列，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）设，由，得，代入
化简得：，所以点P的轨迹曲线M的方程为：；
（2）由、、成等差数列，得弦长，对直线l的斜率分情况讨论，当斜率不存在时，，不符合题意；当斜率存在时，设，，直线l的方程为：，联立，利用韦达定理可求得k的值，从而得到直线l的方程．
【详解】
（1）设，由，得，
则，，，，
由，得
，即，
化简得：，所以点P的轨迹曲线M的方程为：；
（2）由、、成等差数列，得，
所以弦长，
①当斜率不存在时，直线l的方程为：，
交点，，此时，不符合题意；
②当斜率存在时，设直线l的方程为：，，，
联立方程，消去y得：，
∴，，
显然恒成立，
由抛物线的定义可知，，
∴，解得：，∴直线l的方程为．
11．【安徽省淮南市2020届高三下学期第二次模拟考试】在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与到定点的距离之比为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于，两点，线段的中垂线与交于点，与直线交于点，设直线的方程为，请用含的式子表示，并探究是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）；存在；
【分析】
（1）设，动点到直线的距离与到定点的距离之比为，列出方程求解即可；
（2）设，联立，消去，得，利用韦达定理，结合弦长公式，求出，，然后求解即可.
【详解】
（1）设，
动点到直线的距离与到定点的距离之比为
，
化简整理得.
动点的轨迹的方程为.
（2）设，
联立，消去x，
得，
根据韦达定理可得：，，
，
又，
于是，
.
令，
解得
存在，使.
12．【2020届广东省汕头市高三第二次模拟数学（理）】在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，已知是以为底边，且边平行于轴的等腰三角形.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知直线交轴于点，且与曲线相切于点，点在曲线上，且直线轴，点关于点的对称点为点，试判断点、、三点是否共线，并说明理由.
【答案】（1）；（2）、、三点共线，理由见解析.
【分析】
（1）设动点，由轴可得，由题意可得出，由此可得出关于、的等式，化简可得出轨迹的方程，由点为坐标原点时，、、三点共线可得出，由此可得出轨迹的方程；
（2）可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，将直线的方程与曲线的方程联立，由得出，求出、的坐标，利用直线、的斜率相等可得出、、三点共线.
【详解】
（1）设动点，因为轴，所以与直线垂直，则，
是以为底边的等腰直角三角形，故，
即，即，化简得.
因为当点为坐标原点时，、、三点共线，无法构成三角形，
因此，动点的轨迹的方程为；
（2）、、三点共线，理由如下：
因为直线与曲线相切，所以直线的斜率必存在且不为零，设直线的方程为，
由，消得，，得.
所以，直线的方程为，
令，得，则点，，故，
又由，得，则点，
，，，
因此，、、三点共线.
13.【2020年浙江省名校高考预测冲刺卷】如图，已知抛物线，直线交抛物线于，两点，是抛物线外一点，连接，分别交抛物线于点，，且．
（Ⅰ）若，求点的轨迹方程；
（Ⅱ）若，求面积的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）联立直线与抛物线，利用韦达定理、定比分点坐标公式、导数的几何意义可求得点的横坐标为定值，再根据点在抛物线外可得点的纵坐标的范围，从而可得结果；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和弦长公式求解．
【详解】
（Ⅰ）设，，，
由，得，
则，（*）
因为，所以可设，，
所以由定比分点公式得，，
将的坐标代入抛物线方程，得，，
化简得，
所以为方程的两根，
联立（*）式得，
解得．
设过抛物线上点的切线与平行，
因为，所以，则，即，，
所以点的轨迹方程为．
（Ⅱ）设的中点为，
则，
由（Ⅰ）知，
因为，所以，
又，得，
又
，
所以
，
显然当时，取得最小值．
14．【四川省雅安市2020届高三第三次诊断】在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线MP与直线NP的斜率之积为.记动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过点作直线与曲线C交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB恰好关于x轴对称?若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
【答案】（1），C为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点；（2）存在，
【分析】
（1）写出斜率，根据斜率之积为建立方程，化简即可；
（2）设直线的方程为，与椭圆C的方程联立整理得，设，，定点（依题意）.由根与系数的关系可得，，，由直线与直线恰好关于x轴对称，则直线与直线的斜率互为相反数，代入可得.
【详解】
（1）由题设可得，，，则，化简得. ，
所以C为中心在坐标原点，焦点在X轴上的椭圆，不含左右顶点.
（2）存在定点，满足直线QA与直线QB恰好关于x轴对称，
由题设知，直线l的斜率不为0，设直线的方程为，
与椭圆C的方程联立整理得，设，，定点（依题意）.
由根与系数的关系可得，，
直线与直线恰好关于x轴对称，则直线与直线的斜率互为相反数，
所以，即.
又，，所以整理得.
从而可得即，
所以当，即时，直线与直线恰好关于x轴对称
所以，在轴上存在点，满足直线与直线恰好关于x轴对称
15．【甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试（三）】已知圆，圆，如图，C1，C2分别交x轴正半轴于点E，A．射线OD分别交C1，C2于点B，D，动点P满足直线BP与y轴垂直，直线DP与x轴垂直．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点E作直线l交曲线C与点M，N，射线OH⊥l与点H，且交曲线C于点Q．问：的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．
【答案】（1）；（2）为定值，且为．
【分析】
（1）设，根据圆的方程求出的坐标，进而可得，，然后得出动点P的轨迹C的方程.
（2）设出直线l的方程为，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，结合弦长公式，转化求解即可.
【详解】
（1）设，则，，
所以，，
所以动点的轨迹C的方程为.
（2）由（1）可知E为C的焦点，设直线l的方程为（斜率不为0时），
且设点M（x1，y1），N（x2，y2），由，
得，
所以，所以，
又射线OQ方程为y＝﹣mx，代入椭圆C的方程得x2+2（my）2＝4，
即，，，所以，
又当直线l的斜率为0时，也符合条件.
综上，为定值，且为.
16．（2021·全国高三模拟预测）在平面直角坐标系中，，，C是满足的一个动点．
（1）求垂心H的轨迹方程；
（2）记垂心H的轨迹为，若直线l：（）与交于D，E两点，与椭圆T：交于P，Q两点，且，求证：．
【答案】（1）（）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由题可求出顶点C的轨迹方程，再利用相关点法可求垂心H的轨迹方程；
（2）利用弦长公式可求，再利用韦达定理法求，由得出，然后结合判别式大于零即可证.
【详解】
设的外心为，半径为R，
则有，
所以即，
设，，有，即有（），
由，则有，
由，则有，
所以有，
则有（），
所以垂心H的轨迹方程为（）；
（2）记点到直线l的距离为d，则有，
所以，
设，，
联立，有，
所以，
，
由，
可得，
所以，
即有，
所以，
即
又，可得，
所以，解得，
故．
17．（2021·沙坪坝·重庆一中高三月考）过点的直线与抛物线交于P、Q两点.
（1）求线段PQ的中点B的轨迹方程；
（2）抛物线C的焦点为F，若，求直线l的斜率的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设，，，代入抛物线方程中，再根据中点坐标公式可求得以线段PQ的中点B的轨迹方程.
（2）设直线，与抛物线联立，得出根与系数的关系，再运用向量的夹角运算公式表示又，根据余弦函数的单调性建立不等式，解之可得直线l的斜率的范围.
【详解】
解：（1）设，，，代入得，
，
又，
所以线段PQ的中点B的轨迹方程为.
（2）设直线，与抛物线联立得，得，
所以，
又
，
又，又
所以直线l的斜率.
【点睛】
方法点睛：(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.
18．（2021·全国（文））设动点在直线和上的射影分别为点和，已知，其中为坐标原点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过直线上的一点作轨迹的两条切线和(，为切点)，求证：直线经过定点.
【答案】（1）；（2）见详解.
【分析】
（1）利用直接法求轨迹方程，设，则代入条件可得，化简即可得解；
（2）利用导数的几何意义，求得切线斜率，设，可得切线、的方程，联立可得切点的坐标为，又点在直线上，代入可得，再代入到直线的方程即可得解.
【详解】
（1）设，则，
所以，
由条件可得，
整理可得点的轨方程为；
（2）由（1）知，，求导可得，
设，
则切线的方程为，
即①，
同理可得切线的方程为②，
联立①②，解得点的坐标为，
因为点在直线上，
所以，即，
又直线的斜率，
所以直线的方程为：，
即，又，
代入可得，
所以直线过定点.万能模板
内 容
使用场景
可以直接列出等量关系式
解题模板
第一步 根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。）
第二步 根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
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内 容
使用场景
轨迹符合某一基本轨迹的定义
解题模板
第一步 根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹（如圆、椭圆、双
曲线、抛物线等）
第二步 直接根据定义写出动点的轨迹方程。
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内 容
使用场景
动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动
解题模板
第一步 判断动点随着已知曲线上的一个动点的运动而运动
第二步 求出关系式
第三步 将点的坐标表达式代入已知曲线方程
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使用场景
动点的运动受另一个变量的制约时
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第一步 引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标；
第二步 消去参数，得到关于的方程，即为所求轨迹方程。
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内 容
使用场景
涉及到两曲线的交点轨迹问题
解题模板
第一步 解两曲线方程组得到
第二步 消去动曲线中的参数。
模
板
50
讲
专题40 轨迹方程求解方法
【高考地位】
求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的问题之一，是用代数方法研究几何问题的基础。这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。因而也是历年高考所要考查的重要内容之一。
方法一 直接法
例1在平面直角坐标系
中，动点与两点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为动点与两点的连线的斜率之积为，所以 ，化为，故选A.
【变式演练1】（多选）（2021·广东深圳·高三月考）已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于且斜率之差等于，则正确的是（ ）
A．当时，点的轨迹是双曲线.
B．当时，点在圆上运动.
C．当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大.
D．无论n如何变化，点的运动轨迹是轴对称图形.
【答案】BD
【分析】
设，进而根据题意得，，进而依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：设，则 ，
所以，，
整理得，
所以对于A选项，时，点的轨迹是去除了两个点的双曲线上，故A选项错误；
对于B选项，当时，点的轨迹为圆，故在圆上运动，故B选项正确；
对于C选项，当时，点的轨迹为表示焦点在轴上的椭圆，离心率为，故当时，椭圆的离心率随着的增大而减小，故C选项错误；
对于D选项，由于，点的运动轨迹，对任意的点与均在，故曲线关于轴对称，点的运动轨迹为，可能为椭圆，双曲线，圆，但均为轴对称图形，故D选项正确.
故选：BD
例2设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是（ ）
A． x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)B．x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)
C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)
【答案】A
【分析】
设A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，由,得a＝x＞0，b＝3y＞0，再由，ax＋by＝1，两式联立求解即可.
【详解】
设A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.
由,
得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，
即a＝x＞0，b＝3y＞0.
又点Q与点P关于y轴对称，则点Q(－x，y)，
由，
得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.
将a＝x，b＝3y代入ax＋by＝1，
得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．
故选：A
【变式演练2】已知点M到点的距离比到点M到直线的距离小4；求点M的轨迹的方程；
【答案】
【解析】
试题分析：结合图形知，点M不可能在轴的左侧，由抛物线的定义可知M的轨迹是抛物线，
其中
试题解析：结合图形知，点M不可能在轴的左侧，即M到点的距离等于M到直线的距离M的轨迹是抛物线，为焦点，为准线M的轨迹方程是：.
方法二 定义法
例3已知两圆，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆的半径为，则，
∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且， ，故所求的轨迹方程为.故选C.
【变式演练1】已知点，直线，点是直线上动点，若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹是（ ）
双曲线 B、抛物线 C、椭圆 D、圆
【答案】
【解析】由题意知，点的轨迹为抛物线。
例2已知定点F（3，0）和动点P（x，y），H为PF的中点，O为坐标原点，且满足．求点P的轨迹方程；
【答案】
试题解析：如图取连接， ，，由双曲线定义知，点P的轨迹是以为焦点的双曲线的右支 ， ，的轨迹方程为： .
【变式演练2】（2021·宁波市北仑中学高三开学考试）已知定点，动点Q在圆O：上，PQ的垂直平分线交直线 OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】
当在圆内时，由几何性质可得，此时的轨迹是以为焦点的椭圆. 当在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心.当在圆外时，,此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支，从而可得答案.
【详解】
当在圆内时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点,
则, 线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段于点，如图1 .
连接, 则, 所以
则
此时的轨迹是以为焦点的椭圆.
当在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心.
当在圆外时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点,
则, 线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段的延长线于点，如图2 .
连接, 则, 所以
则
此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支.
同理当在圆上运动时，还会得到
所以动点的轨迹是双曲线，则在圆外,所以
故选： D
方法三 相关点法（代入法）
例4 已知, 分别在轴和轴上运动， 为原点， ,点的轨迹方程为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设动点 坐标为 由得：
即
故选A．
【点睛】本题考查轨迹方程的求法，其中合理准确运用利用相关点法是解题的关键
【变式演练1】【名师联盟2020届高三下学期5月联考文科数学】已知，两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足，动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）已知过点的直线与曲线交于，两点，问：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在；定点，定值为.
【分析】
（1）设，根据向量运算得，故，，又因为，代入即可；
（2）当斜率存在时，设：，与联立方程得，假设轴上存在定点，使得为定值，则由韦达定理与向量运算得，故，解得，，，当斜率不存在时，容易验证满足，综上问题解决.
【详解】
解：（1）设，∵，
∴，∴，.
则，，又，
∴，即为的方程.
（2）当斜率存在时，设：，
由，得，
设、，∴，.
假设轴上存在定点，使得为定值.
.
要使上式为定值，即与无关，则，得，
此时，；
当斜率不存在时，，.
此时符合，
所以在轴上存在定点，使得为定值，且定值为.
例5 如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，M为CD的中点．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数，使，且P点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设点的坐标为，则从而可得和的坐标,根据两向量垂直数量积为0可得关于的方程,即点的轨迹方程．（Ⅱ）设,由可得,代入（Ⅰ）中所得点的轨迹方程可得点的轨迹方程．可知点的轨迹是以为焦点的椭圆但去掉长轴两个端点．由椭圆中关系式可得的值．（Ⅲ）设直线方程与椭圆方程联立,消去可得关于的一元二次方程．由韦达定理可得两根之和,两根之积．从而可求得三角形面积,再用配方法求其最值．
试题解析：解：（Ⅰ）设点的坐标为，则
又由AC⊥BD有，即，∴．
（Ⅱ）设，则，代入M的轨迹方程有
即，∴的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）．
要到的距离之和为定值，则以为焦点，故．
∴ 从而所求P的轨迹方程为．
考点：1轨迹问题;2椭圆的定义,简单几何性质．
【变式演练2】已知是抛物线的焦点， 是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】抛物线y=x2的焦点为F（0，1），
设P（p，q）为抛物线一点，则：p2=4q，
设Q（x，y）是PF中点，
则：x= ，y=，
即p=2x，q=2y﹣1，
代入p2=4q得：（2x）2=4（2y﹣1），
即为x2=2y﹣1．
故选：C ．
点睛：本题主要考查轨迹方程的求解，利用了相关点法即代入法，关键是寻找动点之间的关系，再利用已知动点的轨迹求解．一般过程是求谁设谁，再根据条件找新方程上的点和已知曲线上的点之间的坐标关系，用已知曲线的点坐标表示要求的点的坐标，再代入已知曲线，化简即可。
方法四 参数法
例6、已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设， ，过点的直线为，
由得，直线代入得
则，
即， ，所以
故选B
【点评】参数法是求轨迹方程的重要方法，其关键是选择适当参数，常用的参数有线参数、角参数、参数、参数和点参数等。
【变式演练】（多选）（2021·肥城市教学研究中心）已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ）
A．弦的中点轨迹是圆
B．直线的交点在定圆上
C．线段长的最大值为
D．的最小值
【答案】ACD
【分析】
设，，由已知结合垂径定理求得的轨迹判断；联立两直线方程消去判断；由选项、及两圆的位置关系判断；由数量积运算结合选项求得数量积的最小值判断．
【详解】
对于选项A：设，因为，为弦的中点，
所以.而，半径为，
则圆心到弦的距离为.
又圆心，所以，
即弦中点的轨迹是圆，故选项A正确；
对于选项B：由，消去可得，
得，选项B不正确；
对于选项C：由选项A知，点的轨迹方程为：，
又由选项B知，点的轨迹方程为：，
所以，
线段，故选项C正确；
对于选项D：
，故，
由选项C知，，
所以，故选项D正确.
故选：．
方法五 交轨法
例7、【甘肃省武威第六中学2020届高三下学期第六次诊断考试】已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）求面积的最小值，并求出此时直线的方程.
【答案】（1）；（2）1，.
【分析】
（1）设，，得出以为切点的切线方程和以为切点的切线方程，联立两切线方程表示出点的坐标，再设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，代入可得点的轨迹方程；
（2）由（1）知表示和到直线的距离，表示三角形的面积，可求得的最小值和直线的方程.
【详解】
（1）设，，,
以为切点的切线为，整理得：，
以为切点的切线为：，
联立方程组：，解得.
不妨设直线的方程为：，
联立方程组得：，
恒成立，
∴，，∴，
∴点的轨迹方程为；
（2）由（1）知：，
到直线的距离为：，
∴，
∴时，取得最小值，此时直线的方程为.
【点评】用交规法求动点轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消掉参数，得出点的两个坐标间的关系即可。
【变式演练】已知正方形的四个顶点分别为， ， ， ，点， 分别在线段， 上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，则，
所以直线的方程为，
直线的方程为： ，设，
则由，可得，
消去可得．
本题选择A选项.
点睛：求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程
【高考再现】
1．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为；
（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，
不妨直线的方程为，即，
联立，消去并整理可得，
设点、，则且.
由韦达定理可得，，
所以，，
设直线的斜率为，同理可得，
因为，即，整理可得，
即，显然，故.
因此，直线与直线的斜率之和为.
2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
【答案】A
【分析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
3．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
【答案】（1）或；
（2）见解析.
【分析】（1）在直线上 设，则
又 ，解得：
过点， 圆心必在直线上
设，圆的半径为
与相切
又，即
，解得：或
当时，；当时，
的半径为：或
（2）存在定点，使得
说明如下：
，关于原点对称且
直线必为过原点的直线，且
①当直线斜率存在时，设方程为：
则的圆心必在直线上
设，的半径为
与相切
又
，整理可得：
即点轨迹方程为：，准线方程为：，焦点
，即抛物线上点到的距离
当与重合，即点坐标为时，
②当直线斜率不存在时，则直线方程为：
在轴上，设
，解得：，即
若，则
综上所述，存在定点，使得为定值.
4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：是直角三角形；
（ii）求面积的最大值.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【分析】（1）直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为；
（2）（i）设直线的方程为,由题意可知,直线的方程与椭圆方程联立,即或,点P在第一象限，所以，因此点的坐标为
直线的斜率为，可得直线方程：，与椭圆方程联立，，消去得，（*），设点，显然点的横坐标和是方程（*）的解
所以有，代入直线方程中，得
，所以点的坐标为，
直线的斜率为; ,
因为所以，因此是直角三角形；
（ii）由（i）可知：，
的坐标为，
，
,
,因为，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，函数有最大值，最大值为.
5、【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。
求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
【答案】(1) 。
(2)证明略。
【解析】
试题分析：(1)设出点P的坐标，利用得到点P与点,M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为。
(2)利用可得坐标关系，结合(1)中的结论整理可得，即，据此即可得出题中的结论。
试题解析：（1）设,设, 。
由得。
因为在C上，所以。
因此点P的轨迹方程为。
（2）由题意知。设,则
，
。
由得，又由（1）知，故
。
所以，即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F。
【考点】 轨迹方程的求解；直线过定点问题。
【名师点睛】求轨迹方程的常用方法有：
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0。
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程。
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。
(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程。
6．【2016高考新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设出与轴垂直的两条直线，然后得出的坐标，然后通过证明直线与直线的斜率相等即可证明结果了；（Ⅱ）设直线与轴的交点坐标，利用面积可求得，设出的中点，根据与轴是否垂直分两种情况结合求解．
试题解析：由题设.设，则，且
.
记过两点的直线为，则的方程为. 分
（Ⅰ）由于在线段上，故.
记的斜率为，的斜率为，则，
所以. 分
（Ⅱ）设与轴的交点为，
则.
由题设可得，所以（舍去），.
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得.
而，所以.
当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. 分[来源:Z#xx#k.Cm]
考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．
【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．
7、【2011年湖北高考理科第19题】（本小题满分13分）
如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；
（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.
若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.
【答案】 = 1 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑴ = 2 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑵直线l的斜率的取值范围为
∴曲线C的方程为.
而原点O到直线l的距离d＝，
∴S△DEF=
若△OEF面积不小于2,即，则有
③
综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为
综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为。
【反馈练习】
1．【河南省新乡市2021届高三第一次模拟考试数学（理科）】如图，已知正方体的棱长为3，点在棱上，且，是侧面内一动点，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
作交于点，可得出点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧，即可求出.
【详解】
如图，作交于点，则可得平面，
平面，，
则，因为，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧，所以的最小值为．
故选：A.
2．（2021·全国高三专题练习（理））已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线
【答案】C
【分析】
首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】
由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.
3．（多选）（2021·江苏南通·高三模拟预测）已知点A的坐标为，点B的坐标为，直线AP与BP相交于点P，且它们的斜率之积为非零常数m，那么下列说法中正确的有（ ）
A．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆
B．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆
C．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆
D．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线
【答案】BD
【分析】
设设点P的坐标为，根据已知条件，求得轨迹方程，然后根据平方项的系数的正负，同号异号，同号时相等与否分类讨论.
【详解】
设点P的坐标为，则，所以.
当时，，即，表示焦点在y轴上的椭圆，故A错误.
当时，，表示圆心在原点的圆，故B正确.
当时，，表示焦点在x轴上的椭圆，故C错误.
当时，，表示焦点在x轴上的双曲线，故D正确.
故选：BD
4．（2021·浙江省普陀中学高三开学考试）如图，设圆，现将半圆所在平面沿轴折起（坐标轴不动），使之与半平面成的二面角，若点为半圆上的动点，则点在半圆所在平面上的射影的轨迹方程为____．
【答案】
【分析】
根据题意设，则点在半圆所在平面上的射影为，则，且，进而可以求出结果.
【详解】
由题意可知，点在半圆所在平面上的射影的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，
设，则点在半圆所在平面上的射影为，则，所以，因为，所以，即，所以点在半圆所在平面上的射影的轨迹方程为，
5．（2021·沙坪坝·重庆一中高三月考）棱长为2的正方体，E，F分别为棱AB与上的点，且，则EF的中点P的轨迹为L，则L的长度为____________.
【答案】
【分析】
如图，设，则，可以以为长、宽、高构成长方体，为体对角线，则可得（），可得点的轨迹是一个的圆弧，且，所以的中点的轨迹为半径为的一个的圆弧，从而可得答案
【详解】
如图，设，则，可以以为长、宽、高构成长方体，为体对角线，
所以，
所以（），
所以，
因为，所以图中点的轨迹是一个的圆弧，且，
因为为的中点，所以的高度始终为，
所以的轨迹在一个水平面内，
所以可平移到底面，即为的中点，
可设，则，的中点为，
所以的中点的轨迹为半径为的一个的圆弧，
所以长度为，
故答案为：
6．（2021·重庆）在三棱锥中，，二面角的大小为，在侧面内(含边界)有一动点，满足到的距离与到平面的距离相等，则动点的轨迹的长度为__________．
【答案】
【分析】
如图，先作出二面角的平面角，进而得到，再建立如图所示的平面直角坐标系，可得直线的方程为，从而求出的轨迹的长度．
【详解】
解：如图，过作 于，平面于，
过作于，连接，
则为二面角的平面角，
由，
得．
又，所以，
在 中，以 所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则直线的方程为，
直线的方程为，
所以直线与的交点坐标为，
所以的轨迹为线段，
长度为．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题关键为利用二面角得出结论后建立平面直角坐标系求解，方法比较少见，利用直角坐标系求得直线的方程后顺利求得直线与的交点坐标，将问题转化为求线段得长度，问题解决.
7．（2021·浙江高三模拟预测）已知为平面内一定点且，平面内的动点满足：存在实数，使，若点的轨迹为平面图形，则的面积为___________.
【答案】
【分析】
以为圆心，以为半径作圆，过作圆的切线，分别与圆切于点，，连结，，延长与圆交于点，设点，满足，由，则点在的延长线上，若要存在使得，所以的延长线与圆有交点，从而得出点点的轨迹图形，从而可求解.
【详解】
以为圆心，以为半径作圆，
过作圆的切线，分别与圆切于点，，
连结，，延长与圆交于点，
存在点以及实数，设点，满足，
，即
由，可知点在的延长线上，
若要存在使得，相当于的延长线与圆有交点，
故只能在图中阴影部分，所以点的轨迹面积，
因为与圆相切于点，所以，
由勾股定理可知，，
所以，同理，
因为，所以，
所以，
综上所述，的面积为.
故答案为：.
【点睛】
关键点睛：本题考查轨迹问题，圆的几何性质和平面向量的共线的结论的应用，解答本题的关键是设点，满足，由，可知点在的延长线上，由条件得出相当于的延长线与圆有交点，从而得出点点的轨迹图形，属于中档题.
8．（2021·山西高三三模（文））已知圆和圆，过点P（x，y）分别作的切线PA，PB，其中A，B为切点，且，则动点P的轨迹方程为___________．
【答案】
【分析】
利用切线长的平方等于点到圆心的距离的平方减去半径的平方，列出关系式，整理即得.
【详解】
解:设P(x,y),则由|PA|=|PB|，得|PA|2=|PB|2,
所以,
化简得：,此即为P的轨迹方程，
故答案为：.
【点睛】
本题考查求动点的轨迹方程问题，涉及圆的切线长度的计算，属基础题.
9．（2021·江苏高三开学考试）若点A(－1，0)，B(1，0)，P满足，则点P的轨迹C的方程为＝_______，设M，N是轨迹C与x轴的两个交点，则△PMN面积的最大值为_______．
【答案】
【分析】
设点，由题意直接列方程即可得出轨迹方程；令求出，再利用求根公式得出，利用换元法求出的最大值即可求解.
【详解】
设点，由，
则，
两边平方可得，
即，
当时，则，解得，
所以，
将方程整理可得，
由求根公式可得，
令，因为，
所以，，
则，
当时，，所以.
所以的最大值为.
故答案为：；
10．【2020届广东省东莞市高三下学期4月模拟自测】在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆心，点E在直线上，点P满足，，点P的轨迹为曲线M．
（1）求曲线M的方程．
（2）过点N的直线l分别交M于点A、B，交圆N于点C、D（自上而下），若、、成等差数列，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）设，由，得，代入
化简得：，所以点P的轨迹曲线M的方程为：；
（2）由、、成等差数列，得弦长，对直线l的斜率分情况讨论，当斜率不存在时，，不符合题意；当斜率存在时，设，，直线l的方程为：，联立，利用韦达定理可求得k的值，从而得到直线l的方程．
【详解】
（1）设，由，得，
则，，，，
由，得
，即，
化简得：，所以点P的轨迹曲线M的方程为：；
（2）由、、成等差数列，得，
所以弦长，
①当斜率不存在时，直线l的方程为：，
交点，，此时，不符合题意；
②当斜率存在时，设直线l的方程为：，，，
联立方程，消去y得：，
∴，，
显然恒成立，
由抛物线的定义可知，，
∴，解得：，∴直线l的方程为．
11．【安徽省淮南市2020届高三下学期第二次模拟考试】在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与到定点的距离之比为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于，两点，线段的中垂线与交于点，与直线交于点，设直线的方程为，请用含的式子表示，并探究是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）；存在；
【分析】
（1）设，动点到直线的距离与到定点的距离之比为，列出方程求解即可；
（2）设，联立，消去，得，利用韦达定理，结合弦长公式，求出，，然后求解即可.
【详解】
（1）设，
动点到直线的距离与到定点的距离之比为
，
化简整理得.
动点的轨迹的方程为.
（2）设，
联立，消去x，
得，
根据韦达定理可得：，，
，
又，
于是，
.
令，
解得
存在，使.
12．【2020届广东省汕头市高三第二次模拟数学（理）】在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，已知是以为底边，且边平行于轴的等腰三角形.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知直线交轴于点，且与曲线相切于点，点在曲线上，且直线轴，点关于点的对称点为点，试判断点、、三点是否共线，并说明理由.
【答案】（1）；（2）、、三点共线，理由见解析.
【分析】
（1）设动点，由轴可得，由题意可得出，由此可得出关于、的等式，化简可得出轨迹的方程，由点为坐标原点时，、、三点共线可得出，由此可得出轨迹的方程；
（2）可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，将直线的方程与曲线的方程联立，由得出，求出、的坐标，利用直线、的斜率相等可得出、、三点共线.
【详解】
（1）设动点，因为轴，所以与直线垂直，则，
是以为底边的等腰直角三角形，故，
即，即，化简得.
因为当点为坐标原点时，、、三点共线，无法构成三角形，
因此，动点的轨迹的方程为；
（2）、、三点共线，理由如下：
因为直线与曲线相切，所以直线的斜率必存在且不为零，设直线的方程为，
由，消得，，得.
所以，直线的方程为，
令，得，则点，，故，
又由，得，则点，
，，，
因此，、、三点共线.
13.【2020年浙江省名校高考预测冲刺卷】如图，已知抛物线，直线交抛物线于，两点，是抛物线外一点，连接，分别交抛物线于点，，且．
（Ⅰ）若，求点的轨迹方程；
（Ⅱ）若，求面积的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）联立直线与抛物线，利用韦达定理、定比分点坐标公式、导数的几何意义可求得点的横坐标为定值，再根据点在抛物线外可得点的纵坐标的范围，从而可得结果；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和弦长公式求解．
【详解】
（Ⅰ）设，，，
由，得，
则，（*）
因为，所以可设，，
所以由定比分点公式得，，
将的坐标代入抛物线方程，得，，
化简得，
所以为方程的两根，
联立（*）式得，
解得．
设过抛物线上点的切线与平行，
因为，所以，则，即，，
所以点的轨迹方程为．
（Ⅱ）设的中点为，
则，
由（Ⅰ）知，
因为，所以，
又，得，
又
，
所以
，
显然当时，取得最小值．
14．【四川省雅安市2020届高三第三次诊断】在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线MP与直线NP的斜率之积为.记动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过点作直线与曲线C交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB恰好关于x轴对称?若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
【答案】（1），C为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点；（2）存在，
【分析】
（1）写出斜率，根据斜率之积为建立方程，化简即可；
（2）设直线的方程为，与椭圆C的方程联立整理得，设，，定点（依题意）.由根与系数的关系可得，，，由直线与直线恰好关于x轴对称，则直线与直线的斜率互为相反数，代入可得.
【详解】
（1）由题设可得，，，则，化简得. ，
所以C为中心在坐标原点，焦点在X轴上的椭圆，不含左右顶点.
（2）存在定点，满足直线QA与直线QB恰好关于x轴对称，
由题设知，直线l的斜率不为0，设直线的方程为，
与椭圆C的方程联立整理得，设，，定点（依题意）.
由根与系数的关系可得，，
直线与直线恰好关于x轴对称，则直线与直线的斜率互为相反数，
所以，即.
又，，所以整理得.
从而可得即，
所以当，即时，直线与直线恰好关于x轴对称
所以，在轴上存在点，满足直线与直线恰好关于x轴对称
15．【甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试（三）】已知圆，圆，如图，C1，C2分别交x轴正半轴于点E，A．射线OD分别交C1，C2于点B，D，动点P满足直线BP与y轴垂直，直线DP与x轴垂直．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点E作直线l交曲线C与点M，N，射线OH⊥l与点H，且交曲线C于点Q．问：的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．
【答案】（1）；（2）为定值，且为．
【分析】
（1）设，根据圆的方程求出的坐标，进而可得，，然后得出动点P的轨迹C的方程.
（2）设出直线l的方程为，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，结合弦长公式，转化求解即可.
【详解】
（1）设，则，，
所以，，
所以动点的轨迹C的方程为.
（2）由（1）可知E为C的焦点，设直线l的方程为（斜率不为0时），
且设点M（x1，y1），N（x2，y2），由，
得，
所以，所以，
又射线OQ方程为y＝﹣mx，代入椭圆C的方程得x2+2（my）2＝4，
即，，，所以，
又当直线l的斜率为0时，也符合条件.
综上，为定值，且为.
16．（2021·全国高三模拟预测）在平面直角坐标系中，，，C是满足的一个动点．
（1）求垂心H的轨迹方程；
（2）记垂心H的轨迹为，若直线l：（）与交于D，E两点，与椭圆T：交于P，Q两点，且，求证：．
【答案】（1）（）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由题可求出顶点C的轨迹方程，再利用相关点法可求垂心H的轨迹方程；
（2）利用弦长公式可求，再利用韦达定理法求，由得出，然后结合判别式大于零即可证.
【详解】
设的外心为，半径为R，
则有，
所以即，
设，，有，即有（），
由，则有，
由，则有，
所以有，
则有（），
所以垂心H的轨迹方程为（）；
（2）记点到直线l的距离为d，则有，
所以，
设，，
联立，有，
所以，
，
由，
可得，
所以，
即有，
所以，
即
又，可得，
所以，解得，
故．
17．（2021·沙坪坝·重庆一中高三月考）过点的直线与抛物线交于P、Q两点.
（1）求线段PQ的中点B的轨迹方程；
（2）抛物线C的焦点为F，若，求直线l的斜率的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设，，，代入抛物线方程中，再根据中点坐标公式可求得以线段PQ的中点B的轨迹方程.
（2）设直线，与抛物线联立，得出根与系数的关系，再运用向量的夹角运算公式表示又，根据余弦函数的单调性建立不等式，解之可得直线l的斜率的范围.
【详解】
解：（1）设，，，代入得，
，
又，
所以线段PQ的中点B的轨迹方程为.
（2）设直线，与抛物线联立得，得，
所以，
又
，
又，又
所以直线l的斜率.
【点睛】
方法点睛：(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.
18．（2021·全国（文））设动点在直线和上的射影分别为点和，已知，其中为坐标原点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过直线上的一点作轨迹的两条切线和(，为切点)，求证：直线经过定点.
【答案】（1）；（2）见详解.
【分析】
（1）利用直接法求轨迹方程，设，则代入条件可得，化简即可得解；
（2）利用导数的几何意义，求得切线斜率，设，可得切线、的方程，联立可得切点的坐标为，又点在直线上，代入可得，再代入到直线的方程即可得解.
【详解】
（1）设，则，
所以，
由条件可得，
整理可得点的轨方程为；
（2）由（1）知，，求导可得，
设，
则切线的方程为，
即①，
同理可得切线的方程为②，
联立①②，解得点的坐标为，
因为点在直线上，
所以，即，
又直线的斜率，
所以直线的方程为：，
即，又，
代入可得，
所以直线过定点.万能模板
内 容
使用场景
可以直接列出等量关系式
解题模板
第一步 根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。）
第二步 根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
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内 容
使用场景
轨迹符合某一基本轨迹的定义
解题模板
第一步 根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹（如圆、椭圆、双
曲线、抛物线等）
第二步 直接根据定义写出动点的轨迹方程。
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内 容
使用场景
动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动
解题模板
第一步 判断动点随着已知曲线上的一个动点的运动而运动
第二步 求出关系式
第三步 将点的坐标表达式代入已知曲线方程
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内 容
使用场景
动点的运动受另一个变量的制约时
解题模板
第一步 引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标；
第二步 消去参数，得到关于的方程，即为所求轨迹方程。
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内 容
使用场景
涉及到两曲线的交点轨迹问题
解题模板
第一步 解两曲线方程组得到
第二步 消去动曲线中的参数。
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