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最新高考数学解题方法模板50讲 专题42 圆锥曲线中的对称问题
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模
板
50
讲
专题42 圆锥曲线中的对称问题
【高考地位】
在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围. 这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点. 因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.
方法一 判别式法
例1.在 QUOTE 中，顶点 QUOTE ?,?,? A,B,C 所对三边分别是 QUOTE ?,?,? a,b,c 已知 QUOTE ?(−1,0),?1,0 B(−1,0),C1,0 ,且 QUOTE ?,?,? b,a,c 成等差数列.
(I )求顶点 QUOTE ? A 的轨迹方程；
(II) 设顶点A的轨迹与直线 QUOTE ?=??+? y=kx+m 相交于不同的两点 QUOTE ，如果存在过点 QUOTE ?(0,−12) P(0,−12)的直线 QUOTE ? l ,使得点 QUOTE 关于 QUOTE ? l 对称，求实数 QUOTE ? m 的取值范围
【解析】（I）由题知 QUOTE ?=2?+?=2? a=2b+c=2a 得 QUOTE ?+?=4 b+c=4 ，即 QUOTE ??+??=4 AC+AB=4 （定值）．
由椭圆定义知，顶点 QUOTE ? A 的轨迹是以 QUOTE ?、? B、C 为焦点的椭圆（除去左右顶点），
且其长半轴长为 QUOTE 2 2 ，半焦距为 QUOTE 1 1 ，于是短半轴长为 QUOTE 3 3 ．
∴ 顶点 QUOTE ? A 的轨迹方程为 QUOTE ?24+?23=1(?≠0) x24+y23=1(y≠0) ．
（II）由 QUOTE ?=??+?3?2+4?2−12=0 y=kx+m3x2+4y2−12=0
消去整理得 QUOTE 3+4?2?2+8???+4?2−3=0 3+4k2x2+8kmx+4m2−3=0,
∴ QUOTE ，整理得： QUOTE 4?2>?2−3 4k2>m2−3 …①.
令 QUOTE ，则 QUOTE ?1+?2=−8??3+4?2,?1?2=4(?2−3)3+4?2 x1+x2=−8km3+4k2,x1x2=4(m2−3)3+4k2 .
设 QUOTE ?? MN 的中点 QUOTE ，则 QUOTE ?0=12?1+?2=−4??3+4?2, x0=12x1+x2=−4km3+4k2, QUOTE ?0=12?1+?2=12??1+?+??2+?=?+??0=3?3+4?2 y0=12y1+y2=12kx1+m+kx2+m=m+kx0=3m3+4k2 .
i)当 QUOTE ?=0 k=0 时，由题知， QUOTE ．
ii)当 QUOTE 时，直线 QUOTE ? l 方程为 QUOTE ?+12=−1?? y+12=−1kx ，
由 QUOTE 在直线l上，得 QUOTE 3?3+4?2+12=4?3+4?2 3m3+4k2+12=4m3+4k2，得 QUOTE 2?=3+4?2 2m=3+4k2…②
把②式代入①中可得 QUOTE 2?−3>?2−3 2m−3>m2−3 ，解得 QUOTE 0又由②得 QUOTE 2?−3=4?2>0 2m−3=4k2>0 ，解得 QUOTE ?>32 m>32 ，∴ QUOTE 32验证：当 QUOTE 在 QUOTE ?=??+? y=kx+m 上时，得 QUOTE ?=2? m=2k 代入②得 QUOTE 4?2−4?+3=0 4k2−4k+3=0 ， QUOTE ? k 无解．即 QUOTE ?=??+? y=kx+m 不会过椭圆左顶点.
同理可验证 QUOTE ?=??+? y=kx+m 不过右顶点．∴ QUOTE ? m 的取值范围为 QUOTE (32,2) (32,2))．
综上，当 QUOTE ?=0 k=0 时，m的取值范围为 QUOTE ；当 QUOTE 时，m的取值范围为 QUOTE (32,2) (32,2)．
【点晴】第（II）题的关键是理解求实数 QUOTE ? m 的取值范围，其实是要解关于 QUOTE ? m 的不等式，所以要通过已知条件找到该不等式.而通过直线与椭圆有两个交点可得判别式大于 QUOTE 0 0，即可得包含 QUOTE ? m 的不等式，而通过该不等式结合对称的条件得到的 QUOTE ? k 与 QUOTE ? m 的关系式即可求出 QUOTE ? m 的取值范围.
例2、已知椭圆的离心率是，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程．
（Ⅱ）设椭圆与直线相交于不同的两点、，又点，当时，求实数的取值范围．
【解析】过点,
,
椭圆的方程为
由得
由于直线与椭圆有两个不同的交点，
即
当时，设弦的中点为,分别为点的横坐标，
则,从而
又,则,即
将代入得,解得
由得解得,故的取值范围是
当时， ， 则解得
综上所述， 的取值范围是
【变式演练1】在抛物线上恒有两点关于直线对称，求的取值范围．
【解析】设、关于直线对称，直线方程为，代入得，，设、，中点，则
∵点在直线上，∴
∴，代入，得，即，解得。
【变式演练2】求证：抛物线=－1上不存在关于直线=对称的两点。
证明 如图2-83，若P、Q两点关于y=x对称，可设P(、)、Q(，)且≠，、∈R，则：
两式相减得：+=－2，=－2－，再代入前一式得+2+2=0，其判别式△=4－8<0。所以R
这与题设矛盾。
∴PQ两点不存在。
方法二 点差法
例3、若抛物线y=-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围．
解析：如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上关于直线x=-对称的两点，则AB的方程可设为=+。
解方程组：得AB中点C的坐标(-，)。
联立消去得--(+1)=0。 (*)
依题意(*)式△=1+4(+1)>0，且
∴=-1，再由△>0得>
解法二：曲线y=-1关于直线x+y=0对称曲线方程为：-x=ay2-1，
解方程组：
∵+≠0∴=－，代入=－1得关于的二次方程：，由△>0得>。
点评：这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之和、两根之积，构造方程，利用△求出参数范围.
当然，不管是两种解法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两点关于直线对称所产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.
【变式演练3】【安徽省安庆市省市示范高中2020届高三下学期高考模拟】已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为（1，-1），则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设，，代入椭圆方程得相减整理得到，再根据的中点坐标为（1，-1），有，代入上式，利用概率公式求解.
【详解】
设，，
所以，相减得，
∴，
即，
又∵，，
所以，即，
解得，又，
∴．
即椭圆的方程为.
故选：A．
【变式演练4】【2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测文科】设直线与抛物线相交于两点，若弦的中点的横坐标为则的值为___________．
【答案】
【分析】
联立直线与抛物线方程消x，得，再利用韦达定理即可解决.
【详解】
联立直线与抛物线，得，
则，又，故，.
故答案为：.
【高考再现】
1.【2020年高考上海卷10】已知椭圆，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于两点（点在第二象限），若关于轴对称的点为，且满足，则直线的方程为 ．
【答案】
【解析】由条件可知是等腰直角三角形，所以直线的倾斜角是，所以直线的斜率是，且过点，得到直线的方程为，即．故答案为：．
【专家解读】本题考查了椭圆标准方程及其几何性质，考查直线与椭圆位置关系，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是直角三角形的应用．
２．【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程为，联立求得点 的坐标，证明.
试题解析：解：（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得.
所以抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.
由，得.
则，.
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.
直线ON的方程为，点B的坐标为.
因为
，
所以.
故A为线段BM的中点.
【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系
【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整
体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.
2. 【2017天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.
【答案】 （1）， .（2），或.
【解析】
试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程.
试题解析：（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.
（Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.
所以，直线的方程为，或.
【考点】直线与椭圆综合问题
【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.
3. 【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，现有下列命题：
若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A.
单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.
若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.
其中的真命题是 .
【答案】 = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③
【解析】
考点：1.新定义问题；2.曲线与方程.
【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．
4. 【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C：于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.
（I）求；
（ = 2 \* ROMAN II）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
【答案】（I）2（ = 2 \* ROMAN II）没有
【解答】
试题分析：先确定,的方程为,代入整理得,解得,,得,由此可得为的中点,即.（ = 2 \* ROMAN II）
把直线的方程,与联立得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外直线与没有其它公共点.
考点：直线与抛物线
【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.
【反馈练习】
1．【2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）理科】已知过椭圆的右焦点的直线，斜率存在且与椭圆交于，两点，若的垂直平分线与轴交于点，则点横坐标的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
当的斜率k=0时，可解得点的横坐标；当的斜率时，可表示出直线的方程，与椭圆联立，可求得中点坐标，即可表示出的垂直平分线，令，即可求得点横坐标，结合k的范围，即可得答案.
【详解】
若直线的斜率k=0时，即为轴，则垂直平分线为轴，所以，；
若直线的斜率 时，又斜率存在，则设直线方程为，
联立，得，
由韦达定理得，，
设为线段的中点，
所以，代入直线方程可得，
则的垂直平分线的方程为，
当时，，
因为，所以，
综上所述，.
故选：C
2．【黑龙江省哈尔滨九中2020届高三高考数学（文科）三模】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
首先设，，的中点，将，代入椭圆方程再相减得到，从而得到，即可得到答案.
【详解】
设，，的中点，
则，.
因为，两点在椭圆上，所以，.
两式相减得：，
，
，，
即，解得.
故选：B
3．【2020届山西省太原五中高三3月模拟数学（文）】若过椭圆内一点P（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）
A．8x+9y﹣25＝0B．3x﹣4y﹣5＝0C．4x+3y﹣15＝0D．4x﹣3y﹣9＝0
【答案】A
【分析】
设出A、B坐标，利用平方差法，求直线的斜率，然后求直线方程．
【详解】
设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），P为AB中点，
因为A，B在椭圆上，
所以，，
两式相减得：，
因为x1+x2＝4，y1+y2＝2，
可得：，
则k，且过点P（2，1），
所以y﹣1（x﹣2），
整理得8x+9y﹣25＝0．
故选：A．
4．【宁夏中卫市2020届高三下学期高考第三次模拟考试数学（文）】已知椭圆，作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，线段的中点M，O为坐标原点，与的夹角为，且，则____________
【答案】
【分析】
设，首先由点差法可得，设直线的倾斜角为，则或，然后结合条件可建立方程求解.
【详解】
设，
则，，
两式相减，得．
两点直线的倾斜角为，，
，即，
设直线的倾斜角为，则或
所以，因为，
所以，解得，即
故答案为：
5．【2020届江西省南昌市第二中学高三第一次模拟测试卷理科】已知为椭圆内一定点，经过引一条弦，使此弦被点平分，则此弦所在的直线方程为________________．
【答案】
【分析】
设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，利用点差法可求得直线的斜率，进而可求得直线的点斜式方程，化为一般式即可.
【详解】
设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，
由于点为弦的中点，则，得，
由题意得，两式相减得，
所以，直线的斜率为，
所以，弦所在的直线方程为，即.
故答案为：.
6．【2020届广西玉林、柳州市高三上学期第二次模拟考试】已知椭圆C：的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于M，N两点，如果△BMN的重心恰好为椭圆的左焦点F，则直线方程为___________
【答案】
【分析】
利用椭圆的离心率以及经过的点，求出，得到椭圆方程，设出，利用重心坐标结合平方差法，转化求解直线的斜率，然后求解直线方程．
【详解】
解：由题意得，
又，解得．
椭圆的方程为．
椭圆左焦点的坐标为，
设线段的中点为，，
由三角形重心的性质知，从而，，，
解得，，
所以点的坐标为．
设，，，，则，，且，
以上两式相减得，
，
故直线的方程为，即．
故答案为：．
【点睛】
弦中点问题的解决方法：
（1）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
①设点设出弦的两端点坐标；
②代入代入圆锥曲线方程；
③作差两式相减，再用平方差公式把上式展开；
④整理转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．
（2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
7．【陕西省西安市高新一中2019-2020学年高三上学期期末文科】已知椭圆，点，直线与椭圆C交于不同的两点M，N.
（1）当时，求的面积；
（2）设直线PM与椭圆C的另一个交点为Q，当M为线段PQ的中点时，求k的值.
【答案】（1）6 （2）
【分析】
（1）将直线与椭圆方程联立，消元得到，求出的坐标，即可求出面积；
（2），根据中点坐标关系得，将两点坐标代入椭圆方程，相减，求出点坐标，即可求出结论.
【详解】
解：（1）
，所以；
（2）设，则，
分别代入椭圆方程可得：
，
两式相减得，
即，
所以.
8．【江苏省南京师大附属苏州实验学校2020届高三下学期5月阶段测试】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆的一条弦（不经过原点），直线经过弦的中点，与椭圆交于、两点，设直线的斜率为.
（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；
（2）求证：为定值；
（3）过作轴的垂线，垂足为，若直线和直线倾斜角互补，且的面积为，求椭圆的方程.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，由此可求得椭圆的方程；
（2）设点、，利用点差法可得出，再利用可求得的值；
（3）设点，根据直线和的倾斜角互补和面积公式计算出点的坐标，进而可求得椭圆的方程.
【详解】
（1）由已知条件得，解得，因此，椭圆的方程为；
（2）设点、，则线段的中点坐标为，
，.
由题意可得，，，
由于点、都在椭圆上，则，
两式作差得，（定值）；
（3）设点，则、，，
直线与直线的倾斜角互补，，
又，且，则，解得.
的面积为且，解得，，即点.
，解得，因此，椭圆的标准方程为.
9．【江苏省南京市秦淮中学2020届高三下学期最后一练】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，且线段的长为，为椭圆异于顶点，的点，过点，分别作，，直线，交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：当在椭圆上运动时，点恒在一定椭圆上；
（3）已知直线过点，且与（2）中的椭圆交于不同的两点，，若为线段的中点，求原点到直线距离的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据离心率为，左、右顶点分别为、，且线段的长为，由求解.
（2）设 ， ，根据，，分别写出，的直线方程联立，求得，代入即可.
（3）设，根据直线过点，且与椭圆交于不同的两点，，为线段的中点，利用点差法由，得到 ，然后由，令，利用基本不等式求解.
【详解】
（1）因为离心率为，左、右顶点分别为、，且线段的长为，
所以
解得
椭圆的方程是；
（2）设 ， ，
因为，所以的直线方程为，
同理的直线方程为 ，
联立方程组，解得 ，
因为点P在椭圆上，
所以 ，所以，
即 ，
代入得：，
所以当在椭圆上运动时，点恒在一定椭圆上；
（3）设，
因为直线过点，且与椭圆交于不同的两点，，为线段的中点，
则，两式相减得：，
所以，
所以原点到直线距离：，
令，因为，所以，
所以，当且仅当，即时取得等号，
所以原点到直线距离的最小值为．
10．【江苏省南京师范大附中2020届高三下学期6月高考模拟（1）】在平面直角坐标系中，已知椭圆，直线．
（1）若椭圆C的一条准线方程为，且焦距为2，求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左焦点为F，上顶点为A，直线l过点F，且与FA垂直，交椭圆C于M，N（M在x轴上方），若，求椭圆C的离心率；
（3）在（1）的条件下，若椭圆C上存在相异两点P，Q关于直线l对称，求的取值范围（用k表示）．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用准线、焦距以及列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.
（2）求得直线的方程并与椭圆方程联立，写出根与系数关系，结合得到关于的方程，由此求得椭圆的离心率.
（3）设，，PQ的中点，利用点差法求得，根据点在椭圆C的内部列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
（1）设椭圆C的半焦距为c，
因为椭圆C的一条准线方程为，且焦距为2，
所以，
解得，椭圆C的方程为．
（2）如图，因为，，
所以，
因为直线l过点F，且与FA垂直，
所以直线l的方程为，
与椭圆C的方程联立得，
因为l过左焦点F，
所以恒成立，
设，，则（*），
因为，
所以，
代入（*）得，
消去并化简得，
因为，
所以，
即，
因为，
所以，解得，
所以．
（3）如图，设，，PQ的中点，
则，两式相减并化简得
，即，
因为，
所以，
又，
所以，
因为点在椭圆C的内部，
所以，化简得．
故的取值范围为．
11．【湖南省衡阳市2020届高三下学期三模】已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，斜率为的直线过且与椭圆相交于，两点，的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设线段的中垂线交轴于，在以，为邻边的平行四边形中，顶点恰好在椭圆上，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据椭圆定义和离心率定义即可求出椭圆标准方程；
（2）先设出直线方程及，点坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得到，点坐标之间的关系.再利用中垂线性质及平行四边形中的向量等式得到点坐标，最后把点坐标代入椭圆方程求出斜率得到直线方程.
【详解】
解：（1）由的周长为，则有，所以，
又椭圆的离心率，
则，，故椭圆的标准方程为：.
（2）由题意可知，直线的斜率，设直线：，，
由可得
显然，，
则中点，中垂线方程为：.
所以，由四边形为平行四边形，则，
即
所以，
由在椭圆上，则，解得，即.故直线的方程为.
12．【四川省仁寿第二中学2020届高三第三次高考模拟数学（文）】已知抛物线：（）的焦点是椭圆：（）的右焦点，且两条曲线相交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右顶点的两条直线，分别与抛物线相交于点A，C和点B，D，且，设M是的中点，N是的中点，证明：直线恒过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由抛物线过点可求得出椭圆焦点求出，利用椭圆过点联立方程即可求解；
（2）设直线：，直线：，联立椭圆方程，根据根与系数的关系及中点坐标公式可求出中点的坐标，利用斜率公式写出直线的斜率，写出直线的方程，根据即可求解.
【详解】
（1）∵在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线的焦点坐标为，
则① 易知②，
∴由①②可得，
∴椭圆的方程为．
（2）设直线：，直线：，
由，得，
设，，则，
∴，
则，即，同理得，
∴直线的斜率，
则直线的方程为，
即，
∵，
∴，即，
∴直线的方程为，
即直线恒过定点．
万能模板
内 容
使用场景
圆锥曲线中存在点关于直线对称问题
解题模板
第一步 假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程；
第二步 联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标；
第三步 把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式；
第四步 利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.
万能模板
内 容
使用场景
圆锥曲线中存在点关于直线对称问题
解题模板
第一步 设出两点和中点坐标（x，y）；
第二步 用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式；
第三步 联立直线方程，求出交点，即中点；
第四步 由中点位置及对应范围求出参数取值范围.
模
板
50
讲
专题42 圆锥曲线中的对称问题
【高考地位】
在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围. 这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点. 因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.
方法一 判别式法
例1.在 QUOTE 中，顶点 QUOTE ?,?,? A,B,C 所对三边分别是 QUOTE ?,?,? a,b,c 已知 QUOTE ?(−1,0),?1,0 B(−1,0),C1,0 ,且 QUOTE ?,?,? b,a,c 成等差数列.
(I )求顶点 QUOTE ? A 的轨迹方程；
(II) 设顶点A的轨迹与直线 QUOTE ?=??+? y=kx+m 相交于不同的两点 QUOTE ，如果存在过点 QUOTE ?(0,−12) P(0,−12)的直线 QUOTE ? l ,使得点 QUOTE 关于 QUOTE ? l 对称，求实数 QUOTE ? m 的取值范围
【解析】（I）由题知 QUOTE ?=2?+?=2? a=2b+c=2a 得 QUOTE ?+?=4 b+c=4 ，即 QUOTE ??+??=4 AC+AB=4 （定值）．
由椭圆定义知，顶点 QUOTE ? A 的轨迹是以 QUOTE ?、? B、C 为焦点的椭圆（除去左右顶点），
且其长半轴长为 QUOTE 2 2 ，半焦距为 QUOTE 1 1 ，于是短半轴长为 QUOTE 3 3 ．
∴ 顶点 QUOTE ? A 的轨迹方程为 QUOTE ?24+?23=1(?≠0) x24+y23=1(y≠0) ．
（II）由 QUOTE ?=??+?3?2+4?2−12=0 y=kx+m3x2+4y2−12=0
消去整理得 QUOTE 3+4?2?2+8???+4?2−3=0 3+4k2x2+8kmx+4m2−3=0,
∴ QUOTE ，整理得： QUOTE 4?2>?2−3 4k2>m2−3 …①.
令 QUOTE ，则 QUOTE ?1+?2=−8??3+4?2,?1?2=4(?2−3)3+4?2 x1+x2=−8km3+4k2,x1x2=4(m2−3)3+4k2 .
设 QUOTE ?? MN 的中点 QUOTE ，则 QUOTE ?0=12?1+?2=−4??3+4?2, x0=12x1+x2=−4km3+4k2, QUOTE ?0=12?1+?2=12??1+?+??2+?=?+??0=3?3+4?2 y0=12y1+y2=12kx1+m+kx2+m=m+kx0=3m3+4k2 .
i)当 QUOTE ?=0 k=0 时，由题知， QUOTE ．
ii)当 QUOTE 时，直线 QUOTE ? l 方程为 QUOTE ?+12=−1?? y+12=−1kx ，
由 QUOTE 在直线l上，得 QUOTE 3?3+4?2+12=4?3+4?2 3m3+4k2+12=4m3+4k2，得 QUOTE 2?=3+4?2 2m=3+4k2…②
把②式代入①中可得 QUOTE 2?−3>?2−3 2m−3>m2−3 ，解得 QUOTE 0又由②得 QUOTE 2?−3=4?2>0 2m−3=4k2>0 ，解得 QUOTE ?>32 m>32 ，∴ QUOTE 32验证：当 QUOTE 在 QUOTE ?=??+? y=kx+m 上时，得 QUOTE ?=2? m=2k 代入②得 QUOTE 4?2−4?+3=0 4k2−4k+3=0 ， QUOTE ? k 无解．即 QUOTE ?=??+? y=kx+m 不会过椭圆左顶点.
同理可验证 QUOTE ?=??+? y=kx+m 不过右顶点．∴ QUOTE ? m 的取值范围为 QUOTE (32,2) (32,2))．
综上，当 QUOTE ?=0 k=0 时，m的取值范围为 QUOTE ；当 QUOTE 时，m的取值范围为 QUOTE (32,2) (32,2)．
【点晴】第（II）题的关键是理解求实数 QUOTE ? m 的取值范围，其实是要解关于 QUOTE ? m 的不等式，所以要通过已知条件找到该不等式.而通过直线与椭圆有两个交点可得判别式大于 QUOTE 0 0，即可得包含 QUOTE ? m 的不等式，而通过该不等式结合对称的条件得到的 QUOTE ? k 与 QUOTE ? m 的关系式即可求出 QUOTE ? m 的取值范围.
例2、已知椭圆的离心率是，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程．
（Ⅱ）设椭圆与直线相交于不同的两点、，又点，当时，求实数的取值范围．
【解析】过点,
,
椭圆的方程为
由得
由于直线与椭圆有两个不同的交点，
即
当时，设弦的中点为,分别为点的横坐标，
则,从而
又,则,即
将代入得,解得
由得解得,故的取值范围是
当时， ， 则解得
综上所述， 的取值范围是
【变式演练1】在抛物线上恒有两点关于直线对称，求的取值范围．
【解析】设、关于直线对称，直线方程为，代入得，，设、，中点，则
∵点在直线上，∴
∴，代入，得，即，解得。
【变式演练2】求证：抛物线=－1上不存在关于直线=对称的两点。
证明 如图2-83，若P、Q两点关于y=x对称，可设P(、)、Q(，)且≠，、∈R，则：
两式相减得：+=－2，=－2－，再代入前一式得+2+2=0，其判别式△=4－8<0。所以R
这与题设矛盾。
∴PQ两点不存在。
方法二 点差法
例3、若抛物线y=-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围．
解析：如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上关于直线x=-对称的两点，则AB的方程可设为=+。
解方程组：得AB中点C的坐标(-，)。
联立消去得--(+1)=0。 (*)
依题意(*)式△=1+4(+1)>0，且
∴=-1，再由△>0得>
解法二：曲线y=-1关于直线x+y=0对称曲线方程为：-x=ay2-1，
解方程组：
∵+≠0∴=－，代入=－1得关于的二次方程：，由△>0得>。
点评：这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之和、两根之积，构造方程，利用△求出参数范围.
当然，不管是两种解法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两点关于直线对称所产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.
【变式演练3】【安徽省安庆市省市示范高中2020届高三下学期高考模拟】已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为（1，-1），则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设，，代入椭圆方程得相减整理得到，再根据的中点坐标为（1，-1），有，代入上式，利用概率公式求解.
【详解】
设，，
所以，相减得，
∴，
即，
又∵，，
所以，即，
解得，又，
∴．
即椭圆的方程为.
故选：A．
【变式演练4】【2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测文科】设直线与抛物线相交于两点，若弦的中点的横坐标为则的值为___________．
【答案】
【分析】
联立直线与抛物线方程消x，得，再利用韦达定理即可解决.
【详解】
联立直线与抛物线，得，
则，又，故，.
故答案为：.
【高考再现】
1.【2020年高考上海卷10】已知椭圆，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于两点（点在第二象限），若关于轴对称的点为，且满足，则直线的方程为 ．
【答案】
【解析】由条件可知是等腰直角三角形，所以直线的倾斜角是，所以直线的斜率是，且过点，得到直线的方程为，即．故答案为：．
【专家解读】本题考查了椭圆标准方程及其几何性质，考查直线与椭圆位置关系，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是直角三角形的应用．
２．【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程为，联立求得点 的坐标，证明.
试题解析：解：（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得.
所以抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.
由，得.
则，.
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.
直线ON的方程为，点B的坐标为.
因为
，
所以.
故A为线段BM的中点.
【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系
【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整
体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.
2. 【2017天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.
【答案】 （1）， .（2），或.
【解析】
试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程.
试题解析：（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.
（Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.
所以，直线的方程为，或.
【考点】直线与椭圆综合问题
【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.
3. 【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，现有下列命题：
若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A.
单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.
若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.
其中的真命题是 .
【答案】 = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③
【解析】
考点：1.新定义问题；2.曲线与方程.
【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．
4. 【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C：于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.
（I）求；
（ = 2 \* ROMAN II）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
【答案】（I）2（ = 2 \* ROMAN II）没有
【解答】
试题分析：先确定,的方程为,代入整理得,解得,,得,由此可得为的中点,即.（ = 2 \* ROMAN II）
把直线的方程,与联立得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外直线与没有其它公共点.
考点：直线与抛物线
【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.
【反馈练习】
1．【2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）理科】已知过椭圆的右焦点的直线，斜率存在且与椭圆交于，两点，若的垂直平分线与轴交于点，则点横坐标的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
当的斜率k=0时，可解得点的横坐标；当的斜率时，可表示出直线的方程，与椭圆联立，可求得中点坐标，即可表示出的垂直平分线，令，即可求得点横坐标，结合k的范围，即可得答案.
【详解】
若直线的斜率k=0时，即为轴，则垂直平分线为轴，所以，；
若直线的斜率 时，又斜率存在，则设直线方程为，
联立，得，
由韦达定理得，，
设为线段的中点，
所以，代入直线方程可得，
则的垂直平分线的方程为，
当时，，
因为，所以，
综上所述，.
故选：C
2．【黑龙江省哈尔滨九中2020届高三高考数学（文科）三模】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
首先设，，的中点，将，代入椭圆方程再相减得到，从而得到，即可得到答案.
【详解】
设，，的中点，
则，.
因为，两点在椭圆上，所以，.
两式相减得：，
，
，，
即，解得.
故选：B
3．【2020届山西省太原五中高三3月模拟数学（文）】若过椭圆内一点P（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）
A．8x+9y﹣25＝0B．3x﹣4y﹣5＝0C．4x+3y﹣15＝0D．4x﹣3y﹣9＝0
【答案】A
【分析】
设出A、B坐标，利用平方差法，求直线的斜率，然后求直线方程．
【详解】
设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），P为AB中点，
因为A，B在椭圆上，
所以，，
两式相减得：，
因为x1+x2＝4，y1+y2＝2，
可得：，
则k，且过点P（2，1），
所以y﹣1（x﹣2），
整理得8x+9y﹣25＝0．
故选：A．
4．【宁夏中卫市2020届高三下学期高考第三次模拟考试数学（文）】已知椭圆，作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，线段的中点M，O为坐标原点，与的夹角为，且，则____________
【答案】
【分析】
设，首先由点差法可得，设直线的倾斜角为，则或，然后结合条件可建立方程求解.
【详解】
设，
则，，
两式相减，得．
两点直线的倾斜角为，，
，即，
设直线的倾斜角为，则或
所以，因为，
所以，解得，即
故答案为：
5．【2020届江西省南昌市第二中学高三第一次模拟测试卷理科】已知为椭圆内一定点，经过引一条弦，使此弦被点平分，则此弦所在的直线方程为________________．
【答案】
【分析】
设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，利用点差法可求得直线的斜率，进而可求得直线的点斜式方程，化为一般式即可.
【详解】
设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，
由于点为弦的中点，则，得，
由题意得，两式相减得，
所以，直线的斜率为，
所以，弦所在的直线方程为，即.
故答案为：.
6．【2020届广西玉林、柳州市高三上学期第二次模拟考试】已知椭圆C：的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于M，N两点，如果△BMN的重心恰好为椭圆的左焦点F，则直线方程为___________
【答案】
【分析】
利用椭圆的离心率以及经过的点，求出，得到椭圆方程，设出，利用重心坐标结合平方差法，转化求解直线的斜率，然后求解直线方程．
【详解】
解：由题意得，
又，解得．
椭圆的方程为．
椭圆左焦点的坐标为，
设线段的中点为，，
由三角形重心的性质知，从而，，，
解得，，
所以点的坐标为．
设，，，，则，，且，
以上两式相减得，
，
故直线的方程为，即．
故答案为：．
【点睛】
弦中点问题的解决方法：
（1）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
①设点设出弦的两端点坐标；
②代入代入圆锥曲线方程；
③作差两式相减，再用平方差公式把上式展开；
④整理转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．
（2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
7．【陕西省西安市高新一中2019-2020学年高三上学期期末文科】已知椭圆，点，直线与椭圆C交于不同的两点M，N.
（1）当时，求的面积；
（2）设直线PM与椭圆C的另一个交点为Q，当M为线段PQ的中点时，求k的值.
【答案】（1）6 （2）
【分析】
（1）将直线与椭圆方程联立，消元得到，求出的坐标，即可求出面积；
（2），根据中点坐标关系得，将两点坐标代入椭圆方程，相减，求出点坐标，即可求出结论.
【详解】
解：（1）
，所以；
（2）设，则，
分别代入椭圆方程可得：
，
两式相减得，
即，
所以.
8．【江苏省南京师大附属苏州实验学校2020届高三下学期5月阶段测试】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆的一条弦（不经过原点），直线经过弦的中点，与椭圆交于、两点，设直线的斜率为.
（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；
（2）求证：为定值；
（3）过作轴的垂线，垂足为，若直线和直线倾斜角互补，且的面积为，求椭圆的方程.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，由此可求得椭圆的方程；
（2）设点、，利用点差法可得出，再利用可求得的值；
（3）设点，根据直线和的倾斜角互补和面积公式计算出点的坐标，进而可求得椭圆的方程.
【详解】
（1）由已知条件得，解得，因此，椭圆的方程为；
（2）设点、，则线段的中点坐标为，
，.
由题意可得，，，
由于点、都在椭圆上，则，
两式作差得，（定值）；
（3）设点，则、，，
直线与直线的倾斜角互补，，
又，且，则，解得.
的面积为且，解得，，即点.
，解得，因此，椭圆的标准方程为.
9．【江苏省南京市秦淮中学2020届高三下学期最后一练】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，且线段的长为，为椭圆异于顶点，的点，过点，分别作，，直线，交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：当在椭圆上运动时，点恒在一定椭圆上；
（3）已知直线过点，且与（2）中的椭圆交于不同的两点，，若为线段的中点，求原点到直线距离的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据离心率为，左、右顶点分别为、，且线段的长为，由求解.
（2）设 ， ，根据，，分别写出，的直线方程联立，求得，代入即可.
（3）设，根据直线过点，且与椭圆交于不同的两点，，为线段的中点，利用点差法由，得到 ，然后由，令，利用基本不等式求解.
【详解】
（1）因为离心率为，左、右顶点分别为、，且线段的长为，
所以
解得
椭圆的方程是；
（2）设 ， ，
因为，所以的直线方程为，
同理的直线方程为 ，
联立方程组，解得 ，
因为点P在椭圆上，
所以 ，所以，
即 ，
代入得：，
所以当在椭圆上运动时，点恒在一定椭圆上；
（3）设，
因为直线过点，且与椭圆交于不同的两点，，为线段的中点，
则，两式相减得：，
所以，
所以原点到直线距离：，
令，因为，所以，
所以，当且仅当，即时取得等号，
所以原点到直线距离的最小值为．
10．【江苏省南京师范大附中2020届高三下学期6月高考模拟（1）】在平面直角坐标系中，已知椭圆，直线．
（1）若椭圆C的一条准线方程为，且焦距为2，求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左焦点为F，上顶点为A，直线l过点F，且与FA垂直，交椭圆C于M，N（M在x轴上方），若，求椭圆C的离心率；
（3）在（1）的条件下，若椭圆C上存在相异两点P，Q关于直线l对称，求的取值范围（用k表示）．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用准线、焦距以及列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.
（2）求得直线的方程并与椭圆方程联立，写出根与系数关系，结合得到关于的方程，由此求得椭圆的离心率.
（3）设，，PQ的中点，利用点差法求得，根据点在椭圆C的内部列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
（1）设椭圆C的半焦距为c，
因为椭圆C的一条准线方程为，且焦距为2，
所以，
解得，椭圆C的方程为．
（2）如图，因为，，
所以，
因为直线l过点F，且与FA垂直，
所以直线l的方程为，
与椭圆C的方程联立得，
因为l过左焦点F，
所以恒成立，
设，，则（*），
因为，
所以，
代入（*）得，
消去并化简得，
因为，
所以，
即，
因为，
所以，解得，
所以．
（3）如图，设，，PQ的中点，
则，两式相减并化简得
，即，
因为，
所以，
又，
所以，
因为点在椭圆C的内部，
所以，化简得．
故的取值范围为．
11．【湖南省衡阳市2020届高三下学期三模】已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，斜率为的直线过且与椭圆相交于，两点，的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设线段的中垂线交轴于，在以，为邻边的平行四边形中，顶点恰好在椭圆上，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据椭圆定义和离心率定义即可求出椭圆标准方程；
（2）先设出直线方程及，点坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得到，点坐标之间的关系.再利用中垂线性质及平行四边形中的向量等式得到点坐标，最后把点坐标代入椭圆方程求出斜率得到直线方程.
【详解】
解：（1）由的周长为，则有，所以，
又椭圆的离心率，
则，，故椭圆的标准方程为：.
（2）由题意可知，直线的斜率，设直线：，，
由可得
显然，，
则中点，中垂线方程为：.
所以，由四边形为平行四边形，则，
即
所以，
由在椭圆上，则，解得，即.故直线的方程为.
12．【四川省仁寿第二中学2020届高三第三次高考模拟数学（文）】已知抛物线：（）的焦点是椭圆：（）的右焦点，且两条曲线相交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右顶点的两条直线，分别与抛物线相交于点A，C和点B，D，且，设M是的中点，N是的中点，证明：直线恒过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由抛物线过点可求得出椭圆焦点求出，利用椭圆过点联立方程即可求解；
（2）设直线：，直线：，联立椭圆方程，根据根与系数的关系及中点坐标公式可求出中点的坐标，利用斜率公式写出直线的斜率，写出直线的方程，根据即可求解.
【详解】
（1）∵在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线的焦点坐标为，
则① 易知②，
∴由①②可得，
∴椭圆的方程为．
（2）设直线：，直线：，
由，得，
设，，则，
∴，
则，即，同理得，
∴直线的斜率，
则直线的方程为，
即，
∵，
∴，即，
∴直线的方程为，
即直线恒过定点．
万能模板
内 容
使用场景
圆锥曲线中存在点关于直线对称问题
解题模板
第一步 假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程；
第二步 联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标；
第三步 把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式；
第四步 利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.
万能模板
内 容
使用场景
圆锥曲线中存在点关于直线对称问题
解题模板
第一步 设出两点和中点坐标（x，y）；
第二步 用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式；
第三步 联立直线方程，求出交点，即中点；
第四步 由中点位置及对应范围求出参数取值范围.
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