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最新高考数学解题方法模板50讲 专题44 巧求圆锥曲线中的最值和范围问题
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板
50
讲
专题44 巧求圆锥曲线中的最值和范围问题
【高考地位】
最值问题是高考的热点，而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会在选择题或填空题中进行考察，在综合题中也往往将其设计为试题考查的核心.
方法一 圆锥曲线的定义转化法
例1.已知点是双曲线的左焦点，定点是双曲线右支上动点，则的最小值为 .
【变式演练1】抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为（ ）
A. B. C. D.
方法二 切线法
例2.求椭圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.
【变式演练2】如图，设椭圆的左右焦点为，上顶点为，点关于对称，且
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知是过三点的圆上的点，若的面积为，求点到直线距离的最大值．
方法三 参数法
例3.在平面直角坐标系中，是椭圆上动点，则的最大值是________.
【变式演练3】设，求的最大值和最小值，并求取得最值时的值.
方法四 基本不等式法
例4. 【江苏省南通市如皋中学2020届高三（创新班）下学期6月高考模拟】已知是椭圆上一动点，，，则的最大值为________.
【变式演练4】（2020·山西大同·高三月考（理））已知P为椭圆上任意一点，，是椭圆的两个焦点.则的最小值为________.
【变式演练5】已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.
(Ⅰ)求的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.
方法五 函数法
例5. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点.
（1）若，求直线的斜率；
（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值.
【变式演练6】【湖南省五市十校2020-2021学年高三上学期第二次大联考】已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，为坐标原点，、是椭圆上两点，且的中点在线段（不含端点、）上，求面积的取值范围.
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
2．（2021·全国高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
3．（2021·北京高考真题）已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
4．（2021·浙江高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
5．（2021·全国高考真题（理））已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
6.【2020年高考全国Ⅱ卷文数9】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
7．【2020年高考江苏卷14】在平面直角坐标系中，已知，是圆：上的两个动点，满足，则面积的最大值是________．
8. 【2020年高考江苏卷18】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点
在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点．
（1）求的周长；
（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；
（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标．
9．【2020年高考浙江卷21】如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【反馈练习】
1．【湖南省长郡中学、湖南师大附中、长沙市一中联合体2020-2021学年高三上学期12月联考】已知､分别为椭圆：的左､右顶点，为椭圆上一动点，，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．【安徽省名校学术联盟2020届高三下学期押题卷】如图，已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期开学考试】已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，若点的横坐标为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）【湖北省十一校考试联盟2020-2021学年高三上学期12月联考】已知是椭圆的右焦点，为左焦点，为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点，，，，…组成公差为的等差数列，则（ ）
A．的面积最大时，
B．的最大值为8
C．的值可以为
D．椭圆上存在点，使
5．（2021·四川省资阳中学高三月考）已知，是椭圆的左､右焦点，是上在第一象限内一点，关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，则的最大值为（ ）
A．B．5C．D．4
6．（2021·长沙市湖南师大第二附属中学有限公司高三开学考试）为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则
的取值范围是
A．B．C．D．
7．（2021·江苏盐城·高三）设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·湖北汉阳一中高三）设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·浙江高三）设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于、两点，过、分别作、的垂线交于点.若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2021·河南高三开学考试（文））已知过的直线与抛物线交于，两点，为弦的中点，为坐标原点，直线与抛物线的另一个交点为，则两点、纵坐标的比值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．(多选)（2021·沙坪坝·重庆八中高三月考）已知抛物线与圆的公共点为A，B，点P为圆C的劣弧上不同于A，B的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线l交抛物线E于点N，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．点P纵坐标的取值范围是
C．点N到圆心C距离的最小值为1
D．若l不经过原点，则周长的取值范围是
12．【四川省绵阳市绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期11月月考】已知为抛物线：的焦点，过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，过与中点的直线与曲线交于点，则的取值范围是______.
13．（2021·宾县第一中学（文））以，为焦点作椭圆，椭圆上一点到，的距离之和为 ，求的最大值______
14．（2021·河南高三月考（理））在平面直角坐标系中，椭圆，双曲线，，分别为，上的动点，且，则的最小值为______．
15．（2021·山东德州·高三）已知，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的取值范围是______．
16．【山西省2021届高三上学期八校联考】已知椭圆经过点，且两个焦点为，．
（1）求C的方程；
（2）设圆，若直线l与椭圆C，圆D都相切，切点分别为A和B，求的最大值．
17．【江西省名校2021届高三上学期第二次联考】已知椭圆的离心率为，且过点，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）圆的一条切线与椭圆相交于、两点，求：
①的值；
②的取值范围.
18．【湖南师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左､右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆C交于P，Q两点，若的周长为8.
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线交椭圆于，两点，交轴于点．点是关于的对称点，的半径为．设为的中点，，与分别相切于点，，求的最小值.
19．【贵州省贵阳市第一中学2021届高考适应性月考卷（三）】已知椭圆椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，且△MNF2的周长为8，椭圆的离心率为
（1）求椭圆的方程
（2）设点A为椭圆上任意一点，直线AF2(斜率存在)与椭圆C交于另一点B.是否存在点P(0，m)，使?若存在，求出m的取值范围：若不存在，请说明理由
20．【2020届山西省太原市高三下学期模拟测试 （三）】已知椭圆的焦距为2，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知是椭圆的内接三角形，若坐标原点为的重心，求点到直线距离的最小值.
21．（2021·河西·天津市新华中学高三月考）已知、分别是椭圆的左、右顶点，且，点是椭圆上位于轴上方的动点，点与点关于轴对称，且线段的长度最大为2，直线，与轴分别交于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求线段的长度的最小值．
22．（2021·武冈市第二中学高三）已知椭圆，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限．
（1）若，证明：直线和的斜率之积为定值；
（2）若，求四边形的面积的最大值．
23．（2021·陕西西安中学高三月考（理））已知抛物线的焦点为，若过点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，满足.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点且斜率为1的直线被抛物线截得的弦为，若点在以为直径的圆内，求的取值范围.
24．（2021·广东深圳·高三月考）已知抛物线，点是的焦点，为坐标原点，过点的直线与相交于两点.
（1）求向量与的数量积；
（2）设，若，求在轴上截距的取值范围.
万能模板
内 容
使用场景
圆锥曲线中的最值和范围问题
解题模板
第一步 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间
的距离等；
第二步 利用两点间线段最短，或垂线段最短，或三角形的三边性质等找到取得最值的
临界条件，进而求出最值.
万能模板
内 容
使用场景
当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时
解题模板
第一步 设出与这条直线平行的圆锥曲线的切线，
第二步 切线方程与曲线方程联立，消元得到一个一元二次方程，且，
求出 的值，即可求出切线方程；
第三步 两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点.
万能模板
内 容
使用场景
圆锥曲线中的最值和范围问题
解题模板
第一步 根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标；
第二步 将目标函数表示成关于参数的函数；
第三步 把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法.
万能模板
内 容
使用场景
圆锥曲线中的最值和范围问题
解题模板
第一步 将所求最值的量用变量表示出来，
第二步 用基本不等式求这个表达式的最值，并且使用基本不等式求出最值.
万能模板
内 容
使用场景
圆锥曲线中的最值和范围问题
解题模板
第一步 把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数；
第二步 通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.
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讲
专题44 巧求圆锥曲线中的最值和范围问题
【高考地位】
最值问题是高考的热点，而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会在选择题或填空题中进行考察，在综合题中也往往将其设计为试题考查的核心.
方法一 圆锥曲线的定义转化法
例1.已知点是双曲线的左焦点，定点是双曲线右支上动点，则的最小值为 .
【变式演练1】抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为（ ）
A. B. C. D.
方法二 切线法
例2.求椭圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.
【变式演练2】如图，设椭圆的左右焦点为，上顶点为，点关于对称，且
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知是过三点的圆上的点，若的面积为，求点到直线距离的最大值．
方法三 参数法
例3.在平面直角坐标系中，是椭圆上动点，则的最大值是________.
【变式演练3】设，求的最大值和最小值，并求取得最值时的值.
方法四 基本不等式法
例4. 【江苏省南通市如皋中学2020届高三（创新班）下学期6月高考模拟】已知是椭圆上一动点，，，则的最大值为________.
【变式演练4】（2020·山西大同·高三月考（理））已知P为椭圆上任意一点，，是椭圆的两个焦点.则的最小值为________.
【变式演练5】已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.
(Ⅰ)求的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.
方法五 函数法
例5. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点.
（1）若，求直线的斜率；
（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值.
【变式演练6】【湖南省五市十校2020-2021学年高三上学期第二次大联考】已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，为坐标原点，、是椭圆上两点，且的中点在线段（不含端点、）上，求面积的取值范围.
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
2．（2021·全国高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
3．（2021·北京高考真题）已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
4．（2021·浙江高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
5．（2021·全国高考真题（理））已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
6.【2020年高考全国Ⅱ卷文数9】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
7．【2020年高考江苏卷14】在平面直角坐标系中，已知，是圆：上的两个动点，满足，则面积的最大值是________．
8. 【2020年高考江苏卷18】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点
在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点．
（1）求的周长；
（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；
（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标．
9．【2020年高考浙江卷21】如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【反馈练习】
1．【湖南省长郡中学、湖南师大附中、长沙市一中联合体2020-2021学年高三上学期12月联考】已知､分别为椭圆：的左､右顶点，为椭圆上一动点，，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．【安徽省名校学术联盟2020届高三下学期押题卷】如图，已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期开学考试】已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，若点的横坐标为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）【湖北省十一校考试联盟2020-2021学年高三上学期12月联考】已知是椭圆的右焦点，为左焦点，为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点，，，，…组成公差为的等差数列，则（ ）
A．的面积最大时，
B．的最大值为8
C．的值可以为
D．椭圆上存在点，使
5．（2021·四川省资阳中学高三月考）已知，是椭圆的左､右焦点，是上在第一象限内一点，关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，则的最大值为（ ）
A．B．5C．D．4
6．（2021·长沙市湖南师大第二附属中学有限公司高三开学考试）为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则
的取值范围是
A．B．C．D．
7．（2021·江苏盐城·高三）设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·湖北汉阳一中高三）设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·浙江高三）设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于、两点，过、分别作、的垂线交于点.若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2021·河南高三开学考试（文））已知过的直线与抛物线交于，两点，为弦的中点，为坐标原点，直线与抛物线的另一个交点为，则两点、纵坐标的比值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．(多选)（2021·沙坪坝·重庆八中高三月考）已知抛物线与圆的公共点为A，B，点P为圆C的劣弧上不同于A，B的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线l交抛物线E于点N，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．点P纵坐标的取值范围是
C．点N到圆心C距离的最小值为1
D．若l不经过原点，则周长的取值范围是
12．【四川省绵阳市绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期11月月考】已知为抛物线：的焦点，过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，过与中点的直线与曲线交于点，则的取值范围是______.
13．（2021·宾县第一中学（文））以，为焦点作椭圆，椭圆上一点到，的距离之和为 ，求的最大值______
14．（2021·河南高三月考（理））在平面直角坐标系中，椭圆，双曲线，，分别为，上的动点，且，则的最小值为______．
15．（2021·山东德州·高三）已知，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的取值范围是______．
16．【山西省2021届高三上学期八校联考】已知椭圆经过点，且两个焦点为，．
（1）求C的方程；
（2）设圆，若直线l与椭圆C，圆D都相切，切点分别为A和B，求的最大值．
17．【江西省名校2021届高三上学期第二次联考】已知椭圆的离心率为，且过点，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）圆的一条切线与椭圆相交于、两点，求：
①的值；
②的取值范围.
18．【湖南师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左､右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆C交于P，Q两点，若的周长为8.
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线交椭圆于，两点，交轴于点．点是关于的对称点，的半径为．设为的中点，，与分别相切于点，，求的最小值.
19．【贵州省贵阳市第一中学2021届高考适应性月考卷（三）】已知椭圆椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，且△MNF2的周长为8，椭圆的离心率为
（1）求椭圆的方程
（2）设点A为椭圆上任意一点，直线AF2(斜率存在)与椭圆C交于另一点B.是否存在点P(0，m)，使?若存在，求出m的取值范围：若不存在，请说明理由
20．【2020届山西省太原市高三下学期模拟测试 （三）】已知椭圆的焦距为2，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知是椭圆的内接三角形，若坐标原点为的重心，求点到直线距离的最小值.
21．（2021·河西·天津市新华中学高三月考）已知、分别是椭圆的左、右顶点，且，点是椭圆上位于轴上方的动点，点与点关于轴对称，且线段的长度最大为2，直线，与轴分别交于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求线段的长度的最小值．
22．（2021·武冈市第二中学高三）已知椭圆，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限．
（1）若，证明：直线和的斜率之积为定值；
（2）若，求四边形的面积的最大值．
23．（2021·陕西西安中学高三月考（理））已知抛物线的焦点为，若过点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，满足.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点且斜率为1的直线被抛物线截得的弦为，若点在以为直径的圆内，求的取值范围.
24．（2021·广东深圳·高三月考）已知抛物线，点是的焦点，为坐标原点，过点的直线与相交于两点.
（1）求向量与的数量积；
（2）设，若，求在轴上截距的取值范围.
万能模板
内 容
使用场景
圆锥曲线中的最值和范围问题
解题模板
第一步 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间
的距离等；
第二步 利用两点间线段最短，或垂线段最短，或三角形的三边性质等找到取得最值的
临界条件，进而求出最值.
万能模板
内 容
使用场景
当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时
解题模板
第一步 设出与这条直线平行的圆锥曲线的切线，
第二步 切线方程与曲线方程联立，消元得到一个一元二次方程，且，
求出 的值，即可求出切线方程；
第三步 两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点.
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圆锥曲线中的最值和范围问题
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第一步 根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标；
第二步 将目标函数表示成关于参数的函数；
第三步 把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法.
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圆锥曲线中的最值和范围问题
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第一步 将所求最值的量用变量表示出来，
第二步 用基本不等式求这个表达式的最值，并且使用基本不等式求出最值.
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圆锥曲线中的最值和范围问题
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第一步 把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数；
第二步 通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.
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