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最新高考数学解题方法模板50讲 专题45 古典概型与几何概型的计算策略
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模
板
50
讲
专题45 古典概型与几何概型的计算策略
【高考地位】
古典概型与几何概型是高考中的常考知识点，对于古典概型，列举法仍是求解其概率的主要方法，而与排列、组合问题相结合的概率问题仍是命题的热点；对于几何概型除掌握其定义外，其题型的重点主要体现在两种常见的几何度量——长度、面积，难度不会太大，但题型可能较灵活，背景更新颖．在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.
类型一 古典概型的计算策略
例1.【2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）】在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.
【详解】
设三位同学分别为，他们的学号分别为，
用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如表示同学拿到号，同学拿到号，同学拿到号.
三人可能拿到的卡片结果为：，共6种，
其中满足题意的结果有，共3种，
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：
有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏．
(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
【变式演练1】端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】从10个中任意选取3个，共有，其中三种粽子各取到1个有，
故从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个的概率是，故选：C．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【变式演练2】【江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考】为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用组合计数原理计算出基本事件的总数以及事件“从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】
某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾.
某班按此四类由位同学组成四个宣传小组，
其中可回收物宣传小组有位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有位同学.
现从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动，基本事件总数，
每个宣传小组至少选派人包含的基本事件个数为，
则每个宣传小组至少选派人的概率为.
故选：D.
【变式演练3】【江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）】造纸术､印刷术､指南针､火药被称为中国古代四大发明，这四种发明对中国古代的政治､经济､文化的发展产生了巨大的推动作用；2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了“中国的新四大发明”：高铁､扫码支付､共享单车和网购．若从这8个发明中任取两个发明，则两个都是新四大发明的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
这是一个古典概型，先求得从8个发明中任取两个发明的基本事件数，再求得两个都是新四大发明基本事件数，代入公式求解.
【详解】
从8个发明中任取两个发明共有种，
两个都是新四大发明的有种，
∴所求概率为，
故选：C
类型二 几何概型的计算策略
例2在区间上随机取一个数,使得成立的概率为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：，所求概率测度为长度，即
考点：几何概型概率，绝对值不等式
【方法点睛】
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
例3. （2021·贵州省思南中学高三月考（理））在区间内随机取两个数分别记为，，则使得函数有极值点的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
对于函数求导得，根据给定条件可得有两个不等实根，进而得出a，b的关系，再利用几何意义并借助几何概型求解即得.
【详解】
由求导得：，因函数有极值点，
于是得方程有两个不等实根，即，满足的点表示以原点为圆心，为半径的圆外，
而，则点表示以原点为中心，各边垂直于坐标轴，边长为的正方形及内部，如图，
，为区间内任意两个数的试验的所有结果构成区域是边长为的正方形，面积为，
函数有极值点的事件为A，事件A所对区域是图中阴影区域，其面积为，
于是得，
所以函数有极值点的概率为.
故选：B
【变式演练4】把长为的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】.
【解析】
试题分析：设把长为的铁丝随机截成三段的长度分别为x,y,80-x-y，则由题意知：，所以包含事件每段铁丝长度都不小于所表示的面积为，而基本事件所表示的平面区域的面积为，所以由古典概型的计算公式即可得出每段铁丝长度都不小于的概率，故应选.
考点：几何概型.
【变式演练5】一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
考点：几何概型．
【变式演练6】【四川省阆中中学2020-2021学年高三9月月考】小华爱好玩飞镖，现有如图所示的由两个边长都为的正方形和构成的标靶图形，如果点正好是正方形的中心，而正方形可以绕点旋转，则小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先连OA,OB，设OR交BC于M,OP交AB于N，由四边形是正方形，得到，再由四边形为正方形，可证，从而可求出结果.
【详解】
先连OA,OB，设OR交BC于M,OP交AB于N,如图所示：
因为四边形是正方形，所以，
又四边形为正方形，所以，
所以，
所以，即它们重叠部分的面积为1，总面积是7，
故小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是.
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题（理））在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．
【详解】如图所示：
设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．
设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．
故选：B.
【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件对应的区域面积，即可顺利解出．
2．（2021·全国高考真题（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.
【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为.
故选：C.
3．【2020年高考全国Ⅰ卷文数4】设为正方形的中心，在中任取点，则取到的点共线的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路导引】列出从个点中任取个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可．
【解析】如图，从个点中任取个有，，共种不同取法，点共线只有与共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到点共线的概率为，故选A．
【专家解读】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题．
4．【2020年高考全国Ⅱ卷文理数4】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压份订单未配货，预计第二天的新订单超过份的概率为，志愿者每人每天能完成份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少需要志愿者（ ）
A．名B．名C．名D．名
【答案】B
【思路导引】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可．
【解析】由题意，第二天新增订单数为，故需要志愿者名，故选B．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了本题主要考查函数模型的简单应用，考查概率的意义，考查数学运算学科素养．
5. 【2020年高考山东卷5】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【思路导引】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果．
【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，则，，，所以，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为，故选：C．
【专家解读】本题考查了积事件的概率公式．
6．【2020年高考江苏卷4】将一颗质地均匀的正方体骰子先后掷次，观向上的点数，则点数和为的概率是 ．
【答案】
【思路导引】先求事件的总数，再求点数和为的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案．
【解析】总事件数为，点数和为含共个基本事件，故所求的概率为．
【专家解读】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，∴计算正确基本事件总数是解题的重要一环．在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”．
7. 【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
（A）EQ \F(1,3) （B）EQ \F(1,2) （C）EQ \F(2,3) （D）EQ \F(3,4)
【答案】B
【解析】
试题分析：如图所示,画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段中,而当他的到达时间落在线段或时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率．故选B．
考点：几何概型
【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度由：长度、面积、体积等.
8.【2016高考新课标2理数】从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】
试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为，所以.选C.
考点： 几何概型.
【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
9.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【答案】C
考点：概率统计分析.
【名师点睛】本题将小球与概率知识结合，创新味十足，是能力立意的好题.如果所求事件对应的基本事件有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)，从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用.
10.【2016高考山东理数】在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 .
【答案】
【解析】
试题分析：直线y=kx与圆相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即，解得，而，所以所求概率P=.
考点：1.直线与圆的位置关系；2. 几何概型.
【名师点睛】本题是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，几何概型概率的计算问题，涉及圆心距的计算，与弦长相关的问题，往往要关注“圆的特征直角三角形”，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
11.【2016高考新课标1文数】为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
考点：古典概型
【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.
12.【2017课标 = 2 \* ROMAN II，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数
总计有25种情况，满足条件的有10种
所以所求概率为
【考点】古典概型概率
【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
【反馈练习】
1．【江西省吉安市2021届高三大联考】给出一组样本数据：1，4，，3，它们出现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本数据的平均值为2.5，从1，4，，3中任取两个数，则这两个数的和为5的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据平均数公式解出，得到这组样本数据为1，4，2，3，从中任取两个且和为5，共有两种情况，即可得到概率.
【详解】
由题意得，样本平均值为，解得，
即这组样本数据为1，4，2，3，
从中任取两个有，，，，，共6种情况，
其中和为5的有，两种情况，
∴所求概率为，
故选：C.
2．【广东省高州市2021届高三上学期第一次模拟】已知正六边形的边长为，在这个顶点中任意取个不同的顶点，得到线段，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据六边形边长及对角线长度即可判断，并求出概率.
【详解】
由已知得，，，
在这个顶点中任意取个不同的顶点，，得到以下条线段：，，，，，，，，，，，，，，，
其中满足`的有以下条线段：，，，，，，
根据古典概型的计算公式得，的概率为，
故选：C．
3．【陕西省汉中市2020-2021学年高三上学期第一次模拟文科】五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用对立事件的概率关系进行求解.
【详解】
设从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，这个音序中宫和羽至少有一个为事件A，则表示这个音序中不含宫和羽这两个音序，
.
故选：B
4．【广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）】某小区从热爱跳广场舞的3对夫妻中随机抽取2人去参加社区组织的广场舞比赛，则抽取的2人恰好为1对夫妻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
运用列举法列出所有的基本事件，再运用古典概率公式可得选项.
【详解】
设第1，2，3对夫妻分别为，，，从中随机抽取2人，
所有等可能的结果为，，，，，，，，，，，，，，，共有15种，
其中抽取的2人恰好为1对夫妻的情况有，，，共3种，
所以抽取的2人恰好为1对夫妻的概率为．
故选：A.
5．【江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三第二次模拟考试】如果从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则这2个数的和能被3整除的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
从5个数中任取两个不同数，取法为，
列举和能被3整除的情况有4种，利用古典概型得解
【详解】
从中任取两个数，取法总数为
这2个数的和能被3整除的情况有：
∴这2个数的和能被3整除的概率为：
故选：A
6．【江西省南昌二中2020届高三（6月份）高考数学（理科）】如图，点在以为直径的圆上，且满足，圆内的弧线是以为圆心，为半径的圆的一部分.记三边所围成的区域（灰色部分）为Ⅰ，右侧月牙形区域（黑色部分）为Ⅱ.在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
本题首先可以设出圆的半径，然后计算出区域Ⅰ的面积以及区域Ⅱ的面积，再然后计算出圆的面积并通过几何概型的概率计算公式即可得出结果．
【详解】
设圆的半径为，则区域Ⅰ的面积为；
区域Ⅱ的面积1．
圆的面积为π×12＝π．所以．故选A．
7．【吉林省通化市梅河口五中2020届高三数学（文科）五模】为了求得椭圆的面积，把该椭圆放入一个矩形当中，恰好与矩形相切，向矩形内随机投入共n个不同的点，其中在椭圆内的点恰好有个.若矩形的面积是2，则可以估计椭圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据几何概型的概率公式计算可得；
【详解】
解：依题意，根据几何概型的概率公式，所以椭圆的面积为
故选：B
8．【贵州省贵阳市四校2021届高三上学期联合考试】在区间[-2，2]随机取一个数，则事件“，且”发生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件，求事件“，且”发生时的取值范围，代入几何概型计算公式，即可求出答案．
【详解】
事件“，且”
由题可知，该分段函数是一个增函数，
，此时，，
所以该事件发生的概率．
故选：D．
9．【安徽省名校学术联盟2020届高三下学期押题卷文科】如图，在边长为2的正方形内有一个边长为1的正三角形，则向正方形中随机投入一个点，其落在阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用几何概型概率公式即可求解.
【详解】
向正方形中随机投入一个点，其落在阴影部分正三角形内的概率为
.
故选: A.
10．【2020届重庆市高三三诊数学（文）】在平面直角坐标系中，设，F表示正切函数与单位圆围成的一个封闭区域（如图中阴影部分），那么向E中随机投一点，则所投点落在F中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
求出对应区域的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论.
【详解】
由题可得：E对应的区域为边长为4的正方形，其对应的面积为；
因为圆和正切函数都关于原点对称；
∴F对应的区域为半径为1的圆的一半，其面积为：；
故向E中随机投一点，则所投点落在F中的概率为.
故选：C.
11．（2021·河北高三月考）8个人排成两排，每排4人，则甲、乙不同排的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用排列组合知识及概率公式即得.
【详解】
因为8个人排成两排，每排4人，共种结果，
其中甲、乙不同排共种结果，
所以甲、乙不同排的概率为.
故选：B.
12．（2021·云南昆明市·（文））一个学习小组有5名同学，其中2名男生，3名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
写出5人取2人的所有事件，找出一男同学一女同学的取法，利用古典概型求解.
【详解】
5人小组中，设2男生分别为a,b，3名女生分别为A,B,C，
则任意选出2名同学，共有:10个基本事件，
其中选出的同学中既有男生又有女生共有6个基本事件，
所以,
故选：C
13．（2021·河北高三月考）十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据题意用根算筹组成的无重复数字三个数字组合为；；；，再由排列数计算总的基本事件的个数以及能被整除的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.
【详解】
用根算筹组成满足题意的无重复三个数字组合为；；；，
三位数有；；；这四种情况每一种情况三个数的全排列，有种，
能被整除的基本事件的个数为的全排列，有种，
所以这个三位数能被3整除的概率为，
故选：A.
14．（2021·嘉峪关市第一中学高三（理））为了援助湖北抗击疫情，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分别为1，2，3，4，5，6，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
总共的降落方法为6架飞机的全排列，然后相邻问题用“捆绑法”，再利用古典概型的求法，即可求解
【详解】
解：总共的降落方法有(种)，
1号与6号相邻降落的方法有：(种)
1号与6号相邻降落的概率为：，
故选:D
15．（2021·武功县普集高级中学高三开学考试（理））已知直线将圆分为，两部分，且部分的面积小于部分的面积，若在圆内任取一点，则该点落在部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由直线与圆相交（由几何法求得弦长，得小弧所对圆心角），求得中较小部分的面积，然后由概率公式计算．
【详解】
解析：设直线与圆交于，两点，由圆可知，圆心的坐标为，半径为.圆面积为．
因为圆心到直线的距离为，
所以，又，
所以，从而扇形的面积为，
所以部分的面积为，
故在圆内任取一点，则该点落在部分的概率.
故选：B．
16．（2021·甘肃高三开学考试（理））从区间和内分别选取一个实数，，得到一个实数对，称为完成一次试验．若独立重复做次试验，则的次数的数学期望为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先根据几何概型求出一次试验中发生的概率，再由二项分布的期望公式即可求数学期望.
【详解】
从区间和内分别选取一个实数，，
则表示的可行域为矩形区域（不含边界），如图所示，
表示的可行域为图中的阴影部分（不含边界）．
因为的面积为，矩形的面积为，
所以由几何概型可知，每次试验发生的概率．
依题意可得，则，
故选：D.
17．（2021·云南民族中学高三月考（文））七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形､一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分以外的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先设大正方形的边长为4，则阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为，另外一部分为梯形，上底为，下底为，高，然后分别求出面积，即可求出阴影部分以外的面积，根据与面积有关的几何概率公式可求．
【详解】
解：设大正方形的边长为4，则面积，
阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为，面积，
另外一部分为梯形，上底为，下底为，高，面积，
故阴影部分以外的面积为16-4-3=9，
所以此点取自阴影部分以外的概率为．
故选：C．
18．（多选）（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）已知甲袋中有5个大小相同的球，4个红球，1个黑球；乙袋中有6个大小相同的球，4个红球，2个黑球，则（ ）
A．从甲袋中随机摸出一个球是红球的概率为
B．从乙袋中随机摸出一个球是黑球的概率为
C．从甲袋中随机摸出2个球，则2个球都是红球的概率为
D．从甲、乙袋中各随机模出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率为
【答案】ACD
【分析】
A.根据红球数与甲袋中总球数的比求得结果；B.根据黑球数与乙袋中总球数的比求得结果；C.先利用组合数计算出摸出个球的总的取法数，再分析摸出个球都是红球的取法数，根古典概型的概率计算公式求得结果；D.利用概率的乘法公式求得结果即可.
【详解】
对选项A，从甲袋中随机摸一个球是红球的概率为，故A对；
对选项B，从乙袋中随机摸一个球是黑球的概率为，故B错；
对选项C，从甲袋中随机摸2个球，则2个球都是红球的概率，故C对；
对选项D，从甲、乙袋中各随机摸出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率；
故选：ACD.
19．（多选）（2021·湖南高三）根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代诸侯的等级自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分处（为正整数），按这种分法，下列结论正确的是（ ）
A．为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是
B．为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是
C．为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1
D．为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是
【答案】ACD
【分析】
由题意可知，五位诸侯分得的领地成等差数列，利用等差数列前项和公式得到的首项和公差，再分类讨论分别求出每种情况中男、子、伯、侯、公五个等级分到的领地数，再利用概率对四个选项逐一分析，即可得正确选项.
【详解】
由题意可知，五位诸侯分得的领地成等差数列，设其前项和为，
则，得．因为，均为正整数，所以有如下几种情况：
，，，共4种情况，每种情况各位诸侯分到领地的处数如下表所列：
由表中数据可知：为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是；故选项A正确；
为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是；故选项B不正确；
为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是；故选项C正确；
为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是，故选项D正确；
故选：ACD．
20．（2021·浙江金华·高三月考）袋中原有3个白球和2个黑球．每次从中任取2个球，然后放回2个黑球．设第一次取到白球的个数为，则_______，第二次取到1个白球1个黑球的概率为_________．
【答案】
【分析】
由题意得的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出，由相互独立事件概率乘法公式能求出第二次取到1个白球1个黑球的概率．
【详解】
由题意得的可能取值为0，1，2，
，
，
，
，
第二次取到1个白球1个黑球的概率为：
．
故答案为：，．
21．（2021·全国高三）一只口袋内装有个白球，个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，则第次摸出的是白球的概率为________．
【答案】
【分析】
利用排列数求出基本事件的总数以及第个球是白球的排法数，利用古典概率公式即可求解.
【详解】
将个白球和个黑球都看作是不同的，并将球一一摸出依次排成一排，
每一种不同的排法看作一个基本事件，那么基本事项的总数为，
其中第个球是白球的排法数为，
故所求概率为，
故答案为：
22．（2021·山东高三）2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的，，三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A城市恰好只有医生甲去支援的概率为______.
【答案】
【分析】
由排列组合的知识可确定四名医生分配到三个城市，每个城市至少一名医生和城市A恰好只有医生甲去支援的情况种数，由古典概型概率公式可求得结果.
【详解】
分两步，第一步，把5名医生分成三组，有1，1，3和1，2，2两种分法，
当分成1，1，3时，有种情况，当分成1，2，2时，有种情况；
第二步，把这三组分到三个城市.则共有种情况.
城市恰好只有医生甲去支援，即将剩下的4名医生分配到2个城市.
则共有（种），
因此所求概率.
故答案为：
万能模板
内 容
使用场景
求古典概型的概率
解题模板
第一步 判断试验是否是等可能的，其基本事件的个数是否是有限个；
第二步 分别计算事件A包含的基本事件的个数和基本事件的总数；
第三步 运用古典概型的计算公式计算即可得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
求几何概型的概率
解题模板
第一步 判断试验是否是等可能的，其基本事件的个数是否是无限个；
第二步 分别计算事件A和基本事件所包含的区域长度、面积或体积等；
第三步 运用几何概型的计算公式计算即可得出结论.
男
子
伯
侯
公
，
8
9
10
11
12
，
6
8
10
12
14
，
4
7
10
13
16
，
2
6
10
14
18
模
板
50
讲
专题45 古典概型与几何概型的计算策略
【高考地位】
古典概型与几何概型是高考中的常考知识点，对于古典概型，列举法仍是求解其概率的主要方法，而与排列、组合问题相结合的概率问题仍是命题的热点；对于几何概型除掌握其定义外，其题型的重点主要体现在两种常见的几何度量——长度、面积，难度不会太大，但题型可能较灵活，背景更新颖．在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.
类型一 古典概型的计算策略
例1.【2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）】在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.
【详解】
设三位同学分别为，他们的学号分别为，
用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如表示同学拿到号，同学拿到号，同学拿到号.
三人可能拿到的卡片结果为：，共6种，
其中满足题意的结果有，共3种，
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：
有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏．
(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
【变式演练1】端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】从10个中任意选取3个，共有，其中三种粽子各取到1个有，
故从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个的概率是，故选：C．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【变式演练2】【江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考】为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用组合计数原理计算出基本事件的总数以及事件“从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】
某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾.
某班按此四类由位同学组成四个宣传小组，
其中可回收物宣传小组有位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有位同学.
现从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动，基本事件总数，
每个宣传小组至少选派人包含的基本事件个数为，
则每个宣传小组至少选派人的概率为.
故选：D.
【变式演练3】【江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）】造纸术､印刷术､指南针､火药被称为中国古代四大发明，这四种发明对中国古代的政治､经济､文化的发展产生了巨大的推动作用；2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了“中国的新四大发明”：高铁､扫码支付､共享单车和网购．若从这8个发明中任取两个发明，则两个都是新四大发明的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
这是一个古典概型，先求得从8个发明中任取两个发明的基本事件数，再求得两个都是新四大发明基本事件数，代入公式求解.
【详解】
从8个发明中任取两个发明共有种，
两个都是新四大发明的有种，
∴所求概率为，
故选：C
类型二 几何概型的计算策略
例2在区间上随机取一个数,使得成立的概率为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：，所求概率测度为长度，即
考点：几何概型概率，绝对值不等式
【方法点睛】
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
例3. （2021·贵州省思南中学高三月考（理））在区间内随机取两个数分别记为，，则使得函数有极值点的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
对于函数求导得，根据给定条件可得有两个不等实根，进而得出a，b的关系，再利用几何意义并借助几何概型求解即得.
【详解】
由求导得：，因函数有极值点，
于是得方程有两个不等实根，即，满足的点表示以原点为圆心，为半径的圆外，
而，则点表示以原点为中心，各边垂直于坐标轴，边长为的正方形及内部，如图，
，为区间内任意两个数的试验的所有结果构成区域是边长为的正方形，面积为，
函数有极值点的事件为A，事件A所对区域是图中阴影区域，其面积为，
于是得，
所以函数有极值点的概率为.
故选：B
【变式演练4】把长为的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】.
【解析】
试题分析：设把长为的铁丝随机截成三段的长度分别为x,y,80-x-y，则由题意知：，所以包含事件每段铁丝长度都不小于所表示的面积为，而基本事件所表示的平面区域的面积为，所以由古典概型的计算公式即可得出每段铁丝长度都不小于的概率，故应选.
考点：几何概型.
【变式演练5】一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
考点：几何概型．
【变式演练6】【四川省阆中中学2020-2021学年高三9月月考】小华爱好玩飞镖，现有如图所示的由两个边长都为的正方形和构成的标靶图形，如果点正好是正方形的中心，而正方形可以绕点旋转，则小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先连OA,OB，设OR交BC于M,OP交AB于N，由四边形是正方形，得到，再由四边形为正方形，可证，从而可求出结果.
【详解】
先连OA,OB，设OR交BC于M,OP交AB于N,如图所示：
因为四边形是正方形，所以，
又四边形为正方形，所以，
所以，
所以，即它们重叠部分的面积为1，总面积是7，
故小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是.
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题（理））在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．
【详解】如图所示：
设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．
设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．
故选：B.
【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件对应的区域面积，即可顺利解出．
2．（2021·全国高考真题（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.
【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为.
故选：C.
3．【2020年高考全国Ⅰ卷文数4】设为正方形的中心，在中任取点，则取到的点共线的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路导引】列出从个点中任取个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可．
【解析】如图，从个点中任取个有，，共种不同取法，点共线只有与共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到点共线的概率为，故选A．
【专家解读】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题．
4．【2020年高考全国Ⅱ卷文理数4】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压份订单未配货，预计第二天的新订单超过份的概率为，志愿者每人每天能完成份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少需要志愿者（ ）
A．名B．名C．名D．名
【答案】B
【思路导引】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可．
【解析】由题意，第二天新增订单数为，故需要志愿者名，故选B．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了本题主要考查函数模型的简单应用，考查概率的意义，考查数学运算学科素养．
5. 【2020年高考山东卷5】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【思路导引】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果．
【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，则，，，所以，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为，故选：C．
【专家解读】本题考查了积事件的概率公式．
6．【2020年高考江苏卷4】将一颗质地均匀的正方体骰子先后掷次，观向上的点数，则点数和为的概率是 ．
【答案】
【思路导引】先求事件的总数，再求点数和为的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案．
【解析】总事件数为，点数和为含共个基本事件，故所求的概率为．
【专家解读】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，∴计算正确基本事件总数是解题的重要一环．在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”．
7. 【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
（A）EQ \F(1,3) （B）EQ \F(1,2) （C）EQ \F(2,3) （D）EQ \F(3,4)
【答案】B
【解析】
试题分析：如图所示,画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段中,而当他的到达时间落在线段或时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率．故选B．
考点：几何概型
【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度由：长度、面积、体积等.
8.【2016高考新课标2理数】从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】
试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为，所以.选C.
考点： 几何概型.
【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
9.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【答案】C
考点：概率统计分析.
【名师点睛】本题将小球与概率知识结合，创新味十足，是能力立意的好题.如果所求事件对应的基本事件有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)，从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用.
10.【2016高考山东理数】在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 .
【答案】
【解析】
试题分析：直线y=kx与圆相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即，解得，而，所以所求概率P=.
考点：1.直线与圆的位置关系；2. 几何概型.
【名师点睛】本题是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，几何概型概率的计算问题，涉及圆心距的计算，与弦长相关的问题，往往要关注“圆的特征直角三角形”，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
11.【2016高考新课标1文数】为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
考点：古典概型
【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.
12.【2017课标 = 2 \* ROMAN II，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数
总计有25种情况，满足条件的有10种
所以所求概率为
【考点】古典概型概率
【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
【反馈练习】
1．【江西省吉安市2021届高三大联考】给出一组样本数据：1，4，，3，它们出现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本数据的平均值为2.5，从1，4，，3中任取两个数，则这两个数的和为5的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据平均数公式解出，得到这组样本数据为1，4，2，3，从中任取两个且和为5，共有两种情况，即可得到概率.
【详解】
由题意得，样本平均值为，解得，
即这组样本数据为1，4，2，3，
从中任取两个有，，，，，共6种情况，
其中和为5的有，两种情况，
∴所求概率为，
故选：C.
2．【广东省高州市2021届高三上学期第一次模拟】已知正六边形的边长为，在这个顶点中任意取个不同的顶点，得到线段，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据六边形边长及对角线长度即可判断，并求出概率.
【详解】
由已知得，，，
在这个顶点中任意取个不同的顶点，，得到以下条线段：，，，，，，，，，，，，，，，
其中满足`的有以下条线段：，，，，，，
根据古典概型的计算公式得，的概率为，
故选：C．
3．【陕西省汉中市2020-2021学年高三上学期第一次模拟文科】五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用对立事件的概率关系进行求解.
【详解】
设从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，这个音序中宫和羽至少有一个为事件A，则表示这个音序中不含宫和羽这两个音序，
.
故选：B
4．【广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）】某小区从热爱跳广场舞的3对夫妻中随机抽取2人去参加社区组织的广场舞比赛，则抽取的2人恰好为1对夫妻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
运用列举法列出所有的基本事件，再运用古典概率公式可得选项.
【详解】
设第1，2，3对夫妻分别为，，，从中随机抽取2人，
所有等可能的结果为，，，，，，，，，，，，，，，共有15种，
其中抽取的2人恰好为1对夫妻的情况有，，，共3种，
所以抽取的2人恰好为1对夫妻的概率为．
故选：A.
5．【江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三第二次模拟考试】如果从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则这2个数的和能被3整除的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
从5个数中任取两个不同数，取法为，
列举和能被3整除的情况有4种，利用古典概型得解
【详解】
从中任取两个数，取法总数为
这2个数的和能被3整除的情况有：
∴这2个数的和能被3整除的概率为：
故选：A
6．【江西省南昌二中2020届高三（6月份）高考数学（理科）】如图，点在以为直径的圆上，且满足，圆内的弧线是以为圆心，为半径的圆的一部分.记三边所围成的区域（灰色部分）为Ⅰ，右侧月牙形区域（黑色部分）为Ⅱ.在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
本题首先可以设出圆的半径，然后计算出区域Ⅰ的面积以及区域Ⅱ的面积，再然后计算出圆的面积并通过几何概型的概率计算公式即可得出结果．
【详解】
设圆的半径为，则区域Ⅰ的面积为；
区域Ⅱ的面积1．
圆的面积为π×12＝π．所以．故选A．
7．【吉林省通化市梅河口五中2020届高三数学（文科）五模】为了求得椭圆的面积，把该椭圆放入一个矩形当中，恰好与矩形相切，向矩形内随机投入共n个不同的点，其中在椭圆内的点恰好有个.若矩形的面积是2，则可以估计椭圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据几何概型的概率公式计算可得；
【详解】
解：依题意，根据几何概型的概率公式，所以椭圆的面积为
故选：B
8．【贵州省贵阳市四校2021届高三上学期联合考试】在区间[-2，2]随机取一个数，则事件“，且”发生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件，求事件“，且”发生时的取值范围，代入几何概型计算公式，即可求出答案．
【详解】
事件“，且”
由题可知，该分段函数是一个增函数，
，此时，，
所以该事件发生的概率．
故选：D．
9．【安徽省名校学术联盟2020届高三下学期押题卷文科】如图，在边长为2的正方形内有一个边长为1的正三角形，则向正方形中随机投入一个点，其落在阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用几何概型概率公式即可求解.
【详解】
向正方形中随机投入一个点，其落在阴影部分正三角形内的概率为
.
故选: A.
10．【2020届重庆市高三三诊数学（文）】在平面直角坐标系中，设，F表示正切函数与单位圆围成的一个封闭区域（如图中阴影部分），那么向E中随机投一点，则所投点落在F中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
求出对应区域的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论.
【详解】
由题可得：E对应的区域为边长为4的正方形，其对应的面积为；
因为圆和正切函数都关于原点对称；
∴F对应的区域为半径为1的圆的一半，其面积为：；
故向E中随机投一点，则所投点落在F中的概率为.
故选：C.
11．（2021·河北高三月考）8个人排成两排，每排4人，则甲、乙不同排的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用排列组合知识及概率公式即得.
【详解】
因为8个人排成两排，每排4人，共种结果，
其中甲、乙不同排共种结果，
所以甲、乙不同排的概率为.
故选：B.
12．（2021·云南昆明市·（文））一个学习小组有5名同学，其中2名男生，3名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
写出5人取2人的所有事件，找出一男同学一女同学的取法，利用古典概型求解.
【详解】
5人小组中，设2男生分别为a,b，3名女生分别为A,B,C，
则任意选出2名同学，共有:10个基本事件，
其中选出的同学中既有男生又有女生共有6个基本事件，
所以,
故选：C
13．（2021·河北高三月考）十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据题意用根算筹组成的无重复数字三个数字组合为；；；，再由排列数计算总的基本事件的个数以及能被整除的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.
【详解】
用根算筹组成满足题意的无重复三个数字组合为；；；，
三位数有；；；这四种情况每一种情况三个数的全排列，有种，
能被整除的基本事件的个数为的全排列，有种，
所以这个三位数能被3整除的概率为，
故选：A.
14．（2021·嘉峪关市第一中学高三（理））为了援助湖北抗击疫情，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分别为1，2，3，4，5，6，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
总共的降落方法为6架飞机的全排列，然后相邻问题用“捆绑法”，再利用古典概型的求法，即可求解
【详解】
解：总共的降落方法有(种)，
1号与6号相邻降落的方法有：(种)
1号与6号相邻降落的概率为：，
故选:D
15．（2021·武功县普集高级中学高三开学考试（理））已知直线将圆分为，两部分，且部分的面积小于部分的面积，若在圆内任取一点，则该点落在部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由直线与圆相交（由几何法求得弦长，得小弧所对圆心角），求得中较小部分的面积，然后由概率公式计算．
【详解】
解析：设直线与圆交于，两点，由圆可知，圆心的坐标为，半径为.圆面积为．
因为圆心到直线的距离为，
所以，又，
所以，从而扇形的面积为，
所以部分的面积为，
故在圆内任取一点，则该点落在部分的概率.
故选：B．
16．（2021·甘肃高三开学考试（理））从区间和内分别选取一个实数，，得到一个实数对，称为完成一次试验．若独立重复做次试验，则的次数的数学期望为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先根据几何概型求出一次试验中发生的概率，再由二项分布的期望公式即可求数学期望.
【详解】
从区间和内分别选取一个实数，，
则表示的可行域为矩形区域（不含边界），如图所示，
表示的可行域为图中的阴影部分（不含边界）．
因为的面积为，矩形的面积为，
所以由几何概型可知，每次试验发生的概率．
依题意可得，则，
故选：D.
17．（2021·云南民族中学高三月考（文））七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形､一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分以外的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先设大正方形的边长为4，则阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为，另外一部分为梯形，上底为，下底为，高，然后分别求出面积，即可求出阴影部分以外的面积，根据与面积有关的几何概率公式可求．
【详解】
解：设大正方形的边长为4，则面积，
阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为，面积，
另外一部分为梯形，上底为，下底为，高，面积，
故阴影部分以外的面积为16-4-3=9，
所以此点取自阴影部分以外的概率为．
故选：C．
18．（多选）（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）已知甲袋中有5个大小相同的球，4个红球，1个黑球；乙袋中有6个大小相同的球，4个红球，2个黑球，则（ ）
A．从甲袋中随机摸出一个球是红球的概率为
B．从乙袋中随机摸出一个球是黑球的概率为
C．从甲袋中随机摸出2个球，则2个球都是红球的概率为
D．从甲、乙袋中各随机模出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率为
【答案】ACD
【分析】
A.根据红球数与甲袋中总球数的比求得结果；B.根据黑球数与乙袋中总球数的比求得结果；C.先利用组合数计算出摸出个球的总的取法数，再分析摸出个球都是红球的取法数，根古典概型的概率计算公式求得结果；D.利用概率的乘法公式求得结果即可.
【详解】
对选项A，从甲袋中随机摸一个球是红球的概率为，故A对；
对选项B，从乙袋中随机摸一个球是黑球的概率为，故B错；
对选项C，从甲袋中随机摸2个球，则2个球都是红球的概率，故C对；
对选项D，从甲、乙袋中各随机摸出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率；
故选：ACD.
19．（多选）（2021·湖南高三）根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代诸侯的等级自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分处（为正整数），按这种分法，下列结论正确的是（ ）
A．为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是
B．为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是
C．为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1
D．为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是
【答案】ACD
【分析】
由题意可知，五位诸侯分得的领地成等差数列，利用等差数列前项和公式得到的首项和公差，再分类讨论分别求出每种情况中男、子、伯、侯、公五个等级分到的领地数，再利用概率对四个选项逐一分析，即可得正确选项.
【详解】
由题意可知，五位诸侯分得的领地成等差数列，设其前项和为，
则，得．因为，均为正整数，所以有如下几种情况：
，，，共4种情况，每种情况各位诸侯分到领地的处数如下表所列：
由表中数据可知：为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是；故选项A正确；
为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是；故选项B不正确；
为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是；故选项C正确；
为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是，故选项D正确；
故选：ACD．
20．（2021·浙江金华·高三月考）袋中原有3个白球和2个黑球．每次从中任取2个球，然后放回2个黑球．设第一次取到白球的个数为，则_______，第二次取到1个白球1个黑球的概率为_________．
【答案】
【分析】
由题意得的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出，由相互独立事件概率乘法公式能求出第二次取到1个白球1个黑球的概率．
【详解】
由题意得的可能取值为0，1，2，
，
，
，
，
第二次取到1个白球1个黑球的概率为：
．
故答案为：，．
21．（2021·全国高三）一只口袋内装有个白球，个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，则第次摸出的是白球的概率为________．
【答案】
【分析】
利用排列数求出基本事件的总数以及第个球是白球的排法数，利用古典概率公式即可求解.
【详解】
将个白球和个黑球都看作是不同的，并将球一一摸出依次排成一排，
每一种不同的排法看作一个基本事件，那么基本事项的总数为，
其中第个球是白球的排法数为，
故所求概率为，
故答案为：
22．（2021·山东高三）2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的，，三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A城市恰好只有医生甲去支援的概率为______.
【答案】
【分析】
由排列组合的知识可确定四名医生分配到三个城市，每个城市至少一名医生和城市A恰好只有医生甲去支援的情况种数，由古典概型概率公式可求得结果.
【详解】
分两步，第一步，把5名医生分成三组，有1，1，3和1，2，2两种分法，
当分成1，1，3时，有种情况，当分成1，2，2时，有种情况；
第二步，把这三组分到三个城市.则共有种情况.
城市恰好只有医生甲去支援，即将剩下的4名医生分配到2个城市.
则共有（种），
因此所求概率.
故答案为：
万能模板
内 容
使用场景
求古典概型的概率
解题模板
第一步 判断试验是否是等可能的，其基本事件的个数是否是有限个；
第二步 分别计算事件A包含的基本事件的个数和基本事件的总数；
第三步 运用古典概型的计算公式计算即可得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
求几何概型的概率
解题模板
第一步 判断试验是否是等可能的，其基本事件的个数是否是无限个；
第二步 分别计算事件A和基本事件所包含的区域长度、面积或体积等；
第三步 运用几何概型的计算公式计算即可得出结论.
男
子
伯
侯
公
，
8
9
10
11
12
，
6
8
10
12
14
，
4
7
10
13
16
，
2
6
10
14
18
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