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![新高考数学二轮复习 专题1 第1讲 三角函数的图象与性质 【新教材·新高考】03](http://img-preview.51jiaoxi.com/3/3/15563779/0-1712016168301/2.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
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新高考数学二轮复习 专题1 第1讲 三角函数的图象与性质 【新教材·新高考】
展开高考数学一轮靠老师勤奋、学生努力;高考数学二轮主要看老师的把握水平(课标、考纲),研究水平(选题、集体备课),辅导水平(课堂辅导,课后个辅)。
二、高考数学二轮复习要注意明确两个做法:抓审题,抓个辅
抓审题:让学生说出来,让思维呈现出来。充分调动学生审题、变题能力;
抓个辅:教师要有个辅学生问题清单,让辅导有针对性;个辅全程性,个辅不只在课后,课堂个辅也是关键。
三、高考数学二轮复习要注意坚持三个过关:必须记忆过关;必须限时过关;必须心理过关
1、高考数学每节课必须花5分钟过关记忆性知识。
2、学生训练最大的状态就是能限时过关,应试能力也是数学解题能力,极大限度地减少题海战术。
3、学生最大的障碍就是就是心理问题。
四、高三数学二轮复习要注意避免四个重复:
重复一轮复习老路;重复成套试题训练;重复迷信名校资料;重复个人喜好方向。
第1讲 三角函数的图象与性质
(讲·学生版)
高考定位
三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查:
三角函数的图象,涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题,主要以选择题、填空题的形式考查;
利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以解答题的形式考查.
核心整合
常用的三种函数的图象与性质 (下表中k∈Z)
三角函数的常用结论
(1)y=Asin(ωx+φ), 当φ=————时为奇函数;当φ=————时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ+eq \f(π,2) (k∈Z)求得.
y=Acs(ωx+φ), 当φ=————时为奇函数;当φ=————时为偶函数;对称轴方程可由————求得.
y=Atan(ωx+φ),当φ=————时为奇函数.
三角函数的两种常见变换
(1)先相位变换再周期变换: y=sin xy=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
(2) 先周期变换再相位变换:y=sin xy=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
真题体验
(2021·全国(文))函数的最小正周期和最大值分别是( )
和 B.和2
C.和 D.和2
(2020·全国Ⅲ)已知2tan θ-taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ+\f(π,4)))=7,则tan θ等于
-2 B. -1
C.1 D. 2
3.(2021·全国(理))把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图象,则( )
A. B.
C. D.
4. (2019·全国Ⅱ卷)下列函数中,以eq \f(π,2)为周期且在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2)))单调递增的是( )
A.f(x)=|cs 2x| B.f(x)=|sin 2x|
C.f(x)=cs|x| D.f(x)=sin|x|
5.(2021·全国(文))已知函数的部分图象如图所示,则_______________.
(2020·北京卷)若函数f(x)=sin(x+φ)+cs x的最大值为2,则常数φ的一个取值为__________.
能力突破
考点一 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系及诱导公式
【例1】
1.(一题多解)(2020·高考全国卷Ⅱ)若α为第四象限角,则( )
A.cs 2α>0 B.cs 2α<0
C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
2.(一题多解)(2020·湖北八校第一次联考)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)-θ))=eq \f(3,5),则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)+2θ))=( )
A.-eq \f(24,25) B.eq \f(24,25)
C.-eq \f(7,25) D.eq \f(7,25)
【规律方法】
三角函数的定义
若角α的终边过点P(x,y),则sin α=eq \f(y,r),cs α=eq \f(x,r),
tan α=eq \f(y,x)(其中r=eq \r(x2+y2)).
利用诱导公式进行化简求值的步骤
利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐.特别注意函数名称和符号的确定.
[注意] “奇变偶不变,符号看象限”.
基本关系
sin2x+cs2x=1,tan x=eq \f(sin x,cs x).
[技能] 利用同角三角函数的基本关系求函数值时,要注意确定符号.
【对点训练1】
1.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边过点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),-\f(\r(3),2))),则cs 2α+sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,3)))的值为( )
A.-eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C.1 D.eq \f(3,2)
2.(多选题)已知θ∈(0,π),sinθ+csθ=eq \f(1,5),则下列结论正确的是( )
A.θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)) B.cs θ=-eq \f(3,5)
C.tan θ=-eq \f(3,4) D.sin θ-cs θ=eq \f(7,5)
考点二 三角函数的图象
命题角度1 图象识别
【例2-1】
(一题多解)(2020·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx+\f(π,6)))在[-π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为( )
A.eq \f(10π,9) B.eq \f(7π,6)
C.eq \f(4π,3) D.eq \f(3π,2)
2. (多选题)(2020·新高考卷Ⅰ)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=( )
A.sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,3))) B.sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-2x))
C.cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6))) D.cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)-2x))
【规律方法】
由“图”定“式”找“对应”的方法
(1)最值定A,B:根据给定的函数图象确定最值,设最大值为M,最小值为m,则M=A+B,m=-A+B,解得B=eq \f(M+m,2),A=eq \f(M-m,2).
(2)T定ω:由周期的求解公式T=eq \f(2π,ω),可得ω=eq \f(2π,T).
(3)点坐标定φ:一般运用代入法求解φ值,注意在确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口,即“峰点”“谷点”与三个“中心点”.
命题角度2 图象变换
【例2-2】
(一题多解)将函数f(x)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x-\f(π,6)))的图象,则f(x)=( )
A.sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x+\f(π,6))) B.sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x-\f(π,6)))
C.sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x+\f(π,3))) D.sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x+\f(π,3)))
2. 若ω>0,函数y=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx+\f(π,3)))的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度后与函数y=sin ωx的图象重合,则ω的最小值为________.
【规律方法】
关于三角函数的图象变换的方法
命题角度3 三角函数图象的应用
【例2-3】
已知函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|sin x|,sin x≥cs x,,|cs x|,sin x
②f(x)是以π为最小正周期的周期函数;
③f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π,\f(3π,2)))上单调递增;
④f(x)在[0,2π]上有2个零点.
【规律方法】
巧用图象解决三角方程或不等式问题
解决与三角函数相关的方程以及不等式问题,最基本的方法就是作出对应函数的图象,然后结合函数图象的特征确定方程的解或不等式的解集.准确作出对应函数的图象是解决问题的关键,尤其是作出函数在指定区间上的图象,需要准确把握函数图象的端点值以及最值.
【对点训练2】
1.(2020·福州市适应性考试)在同一平面直角坐标系中,画出三个函数f(x)=sin 2x+cs 2x,g(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,5))),h(x)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,7)))的部分图象如图所示,则( )
A.a为f(x)的图象,b为g(x)的图象,c为h(x)的图象
B.a为h(x)的图象,b为f(x)的图象,c为g(x)的图象
C.a为g(x)的图象,b为f(x)的图象,c为h(x)的图象
D.a为h(x)的图象,b为g(x)的图象,c为f(x)的图象
2.(多选题)(2020·济南历城区模拟)将函数f(x)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象.若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈[-2π,2π],则2x1-x2的可能取值为( )
A.-eq \f(59π,12) B.-eq \f(35π,6) C.eq \f(25π,6) D.eq \f(49π,12)
3.若关于x的方程(sin x+cs x)2+cs 2x=m在区间(0,π]上有两个不同的实数根x1,x2,且|x1-x2|≥eq \f(π,4),则实数m的取值范围是( )
A.[0,2) B.[0,2]
C.[1,eq \r(2)+1] D.[1,eq \r(2)+1)
考点三 三角函数的性质
命题角度1 三角函数的单调性
【例3—1】
1.已知函数f(x)=cs(x+θ)(0<θ<π)在x=eq \f(π,3)时取得最小值,则f(x)在[0,π]上的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3),π)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3),\f(2π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(2π,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,3),π))
2.已知函数f(x)=eq \r(3)cs 2x+sin 2x,当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))时,则函数f(x)的最大值为________,最小值为________.
【规律方法】
(1)求三角函数单调区间的方法
①代换法:求形如y=Asin(ωx+φ)(或y=Acs(ωx+φ))(A,ω,φ为常数, A≠0,ω>0)的单调区间时,令ωx+φ=z,则y=Asin z(或y=Acs z),然后由复合函数的单调性求得.
②图象法:画出三角函数的图象,结合图象求其单调区间.
(2)解三角函数最值与值域问题的策略
通过三角恒等变换将问题转化为函数y=Asin(ωx+φ)+B(或y=Acs(ωx+φ)+B)的最值或值域问题,再利用换元(令t=ωx+φ),并借助基本的三角函数y=sin t(或y=cs t)的最值或值域问题求解.
命题角度2 三角函数的奇偶性、周期性、对称性
【例3—2】 (1)(多选)已知函数f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6))),则下列四个命题正确的是( )
A.f(x)的最小正周期是π
B.f(x)=eq \f(1,2)是x=eq \f(π,2)的充分不必要条件
C.函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3),\f(5π,6)))上单调递增
D.函数y=|f(x)|的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度后所得图象的对称轴方程为x=eq \f(kπ,4)(k∈Z)
(2)(2020·高考全国卷Ⅲ)关于函数f(x)=sin x+eq \f(1,sin x)有如下四个命题:
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
③f(x)的图象关于直线x=eq \f(π,2)对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________.
【规律方法】
(1)判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点这一性质,通过检验f(x0)的值进行判断.
(2)函数具有奇偶性的充要条件
函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)是奇函数⇔φ=kπ(k∈Z);
函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)是偶函数⇔φ=kπ+eq \f(π,2)(k∈Z);
函数y=Acs(ωx+φ)(x∈R)是奇函数⇔φ=kπ+eq \f(π,2)(k∈Z);
函数y=Acs(ωx+φ)(x∈R)是偶函数⇔φ=kπ(k∈Z).
【对点训练3】
1.(多选题)(2020·济南质检)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<π),若将函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度后,得到图象关于y轴对称,则下列结论中正确的是( )
A.φ=eq \f(5π,6)
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12),0))是f(x)的图象的一个对称中心
C.f(φ)=-2
D.x=-eq \f(π,6)是f(x)图象的一条对称轴
2.(多选)(2020·武汉模拟)已知函数f(x)=|cs x|-|sin|x||,下列说法正确的是
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是周期为π的函数
C.f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π,\f(3π,2)))上单调递减
D.f(x)的最大值为eq \r(2)
3.(一题多解)若函数f(x)=3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,10)))-2在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2),a))上单调,则实数a的最大值是________.
函数
y=sin x
y=cs x
y=tan x
图象
递增
区间
————
————
————
递减
区间
————
————
奇偶性
————
————
————
对称
中心
————
————
————
对称轴
————
————
周期性
————
————
————
沿x轴
沿y轴
平移变换
由y=f(x)变为y=f(x+φ)时,“左加右减”,即φ>0,左移;φ<0,右移
由y=f(x)变为y=f(x)+k时,“上加下减”,即k>0,上移;k<0,下移
伸缩变换
由y=f(x)变为y=f(ωx)时,点的纵坐标不变,横坐标变为原来的eq \f(1,|ω|)倍
由y=f(x)变为y=Af(x)时,点的横坐标不变,纵坐标变为原来的|A|倍
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