新高考数学二轮复习 专题2 第2讲　数列通项与求和（练） 【新教材·新高考】

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高考数学一轮靠老师勤奋、学生努力；高考数学二轮主要看老师的把握水平(课标、考纲)，研究水平(选题、集体备课)，辅导水平(课堂辅导，课后个辅)。
二、高考数学二轮复习要注意明确两个做法：抓审题，抓个辅
抓审题：让学生说出来，让思维呈现出来。充分调动学生审题、变题能力;
抓个辅：教师要有个辅学生问题清单，让辅导有针对性;个辅全程性，个辅不只在课后，课堂个辅也是关键。
三、高考数学二轮复习要注意坚持三个过关：必须记忆过关;必须限时过关;必须心理过关
1、高考数学每节课必须花5分钟过关记忆性知识。
2、学生训练最大的状态就是能限时过关，应试能力也是数学解题能力，极大限度地减少题海战术。
3、学生最大的障碍就是就是心理问题。
四、高三数学二轮复习要注意避免四个重复：
重复一轮复习老路；重复成套试题训练；重复迷信名校资料；重复个人喜好方向。

第2讲 数列通项与求和（练·教师版）
一、单选题
1．（2021·江苏徐州铜山启星中学模拟）数列中，，其前项和是，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以
.故选D.
2．（2021·陕西西安中学高三月考（理））数列满足，，若，且数列的前项和为，则（ ）
A．64B．80C．D．
【答案】C
【解析】数列满足，，则，
可得数列是首项为1、公差为1的等差数列，
即有，即为，
则，
则
.故选C.
3．（2021·四川宜宾市高三二模（理））已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．543B．546C．1013D．1022
【答案】A
【解析】∵，∴，
两式相减得，即，，
又当时，有，可得，
∴数列是首项为1，公比为的等比数列，
∴，，∴，
∴.故选A.
4．（2021·陕西汉中市高三月考（理））设数列的前n项和为，且，则使得成立的最大正整数n的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】由题意，得，
①，则
②，
①-②，得
所以，
当时，，
当时，，
所以要使成立的最大正整数为.故选B.
5．定义在[0，＋∞)上的函数f(x)满足：当0≤x<2时，f(x)＝2x－x2；当x≥2时，f(x)＝3f(x－2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次为a1，a2，…，an，…，并记相应的极大值依次为b1，b2，…，bn，…，则S20＝a1b1＋a2b2＋…＋a20b20的值为( )
A．19×320＋1 B．19×319＋1
C．20×319＋1 D．20×320＋1
【答案】 A
【解析】 当0≤x<2时，f(x)＝2x－x2＝1－(x－1)2，可得a1＝1，b1＝1；当2≤x<4时，有0≤x－2<2，可得f(x)＝3f(x－2)＝3[1－(x－3)2]，可得a2＝3，b2＝3；当4≤x<6时，有0≤x－4<2，可得f(x)＝9f(x－4)＝9[1－(x－5)2]，可得a3＝5，b3＝9；…；a20＝39，b20＝319；….故S20＝a1b1＋a2b2＋…＋a20b20＝1×1＋3×3＋5×9＋…＋39×319，3S20＝1×3＋3×9＋5×27＋…＋39×320，两式相减可得－2S20＝1＋2(3＋9＋27＋…＋319)－39×320＝1＋2×eq \f(3×1－319,1－3)－39×320，化简可得S20＝1＋19×320.故选A.
6．（2021·浙江高三月考）已知数列满足，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，可得出，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，，即，
所以，数列为单调递增数列，故，A错；
在等式的两边同时除以可得，其中且，
所以，，，，，
累加得，所以，，则，故.
故D错误；
对于，
所以，，，，
累加得，可得，则，
所以，，故.故选B.
二、多选题
7．（2021·江苏高三模拟）在数列中，若，则称为“和等比数列”．设为数列的前项和，且，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】因为，所以，两式相减得，所以，故A正确，B错误.
，故C正确，D错误.故选AC．
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论错误的是( )
A．Sn＝2Tn B．Tn＝2bn＋1
C．Tn>an D．Tn【答案】ABC
【解析】由题意可得Sn＋3＝3×2n，Sn＝3×2n－3，an＝Sn－Sn－1＝3×2n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝S1＝3×21－3＝3，满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝3×2n－1(n∈N*)．设等比数列{bn}的公比为q，则b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1，解得b1＝1，q＝2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1(n∈N*)，由等比数列的求和公式有Tn＝2n－1.则有Sn＝3Tn，Tn＝2bn－1，Tn9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，eq \f(a1,d)≤1.记b1＝S2，bn＋1＝S2n＋2－S2n，n∈N*，下列等式可能成立的是( )
A．2a4＝a2＋a6 B．2b4＝b2＋b6
C．aeq \\al(2,4)＝a2a8 D．beq \\al(2,4)＝b2b8
【答案】ABC
【解析】由题意，知b1＝S2＝a1＋a2，
bn＋1＝S2n＋2－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2，
可得bn＝a2n－1＋a2n(n>1，n∈N*)．
由{an}为等差数列，可知{bn}为等差数列．
选项A中，由a4为a2，a6的等差中项，得2a4＝a2＋a6，成立．
选项B中，由b4为b2，b6的等差中项，得2b4＝b2＋b6，成立．
选项C中，a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，a8＝a1＋7d.
由aeq \\al(2,4)＝a2a8，可得(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，
化简得a1d＝d2，
又由d≠0，可得a1＝d，符合eq \f(a1,d)≤1，成立．
选项D中，b2＝a3＋a4＝2a1＋5d，b4＝a7＋a8＝2a1＋13d，
b8＝a15＋a16＝2a1＋29d.
由beq \\al(2,4)＝b2b8，知(2a1＋13d)2＝(2a1＋5d)(2a1＋29d)，
化简得2a1d＝3d2，
又由d≠0，可得eq \f(a1,d)＝eq \f(3,2).
这与已知条件eq \f(a1,d)≤1矛盾．
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且有(a1＋a2＋…＋an)an＝(a1＋a2＋…＋an－1)an＋1(n≥2，n∈N*)，a1＝a2＝1.数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,lg2Sn＋1·lg2Sn＋2)))的前n项和为Tn，则以下结论正确的是 ( )
A．an＝1 B．Sn＝2n－1
C．Tn＝eq \f(n＋1,n＋3) D．{Tn}为增数列
【答案】BD.
【解析】由(a1＋a2＋…＋an)an＝(a1＋a2＋…＋an－1)an＋1，得Sn(Sn－Sn－1)＝Sn－1(Sn＋1－Sn)，化简得Seq \\al(2,n)＝Sn－1Sn＋1，根据等比数列的性质得数列{Sn}是等比数列．易知S1＝1，S2＝2，故{Sn}的公比为2，则Sn＝2n－1，Sn＋1＝2n，Sn＋2＝2n＋1，eq \f(1,lg2Sn＋1·lg2Sn＋2)＝eq \f(1,n（n＋1）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).由裂项相消法得Tn＝1－eq \f(1,n＋1)＝eq \f(n,n＋1).故B正确，C错误，D正确．根据Sn＝2n－1知A选项错误，故答案为BD.
三、填空题
11．（2021·贵州毕节市高三三模（文））已知数列的前n项和满足，且，则的值为_________．
【答案】486
【解析】，
两式作差得
又，
则，当时，，满足通项，故
故.
12．已知等差数列，对任意都有成立，则数列的前项和__________．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，则，因为，
所以
，
所以，所以对恒成立，
所以，，所以等差数列的通项公式，
所以，
所以数列的前项和．
13．在数列{an}中，a1＋eq \f(a2,2)＋eq \f(a3,3)＋…＋eq \f(an,n)＝2n－1(n∈N*)，且a1＝1，若存在n∈N*使得an≤n(n＋1)λ成立，则实数λ的最小值为________．
【答案】 eq \f(1,2)
【解析】 依题意得，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))的前n项和为2n－1，当n≥2时，eq \f(an,n)＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，且eq \f(a1,1)＝21－1＝21－1，因此eq \f(an,n)＝2n－1(n∈N*)，eq \f(an,nn＋1)＝eq \f(2n－1,n＋1)，记bn＝eq \f(2n－1,n＋1)，则bn>0，eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(2n＋1,n＋2)＝eq \f(n＋2＋n,n＋2)>eq \f(n＋2,n＋2)＝1，bn＋1>bn，数列{bn}是递增数列，数列{bn}的最小项是b1＝eq \f(1,2).依题意得，存在n∈N*使得λ≥eq \f(an,nn＋1)＝bn成立，即有λ≥b1＝eq \f(1,2)，λ的最小值是eq \f(1,2).
14．（2021·山西太原市高三一模（理））已知数列满足，，且．则数列的通项公式为________．若，则数列的前项和为________．
【答案】，
【解析】，，可得，，
又，
则，
上式对也成立，
所以，；
由，可得，
则数列的前项和为
．
四、解答题
15．（2021·山东济宁市高三一模）在①；②；③，，．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
问题：已知数列满足______（），若，求数列的前项和．
【解析】若选①：因为，①
所以当时，，②
①②得：，
即，
所以数列为等比数列，
当时，，
解得，
所以．
所以，
所以，③
，④
③④得：
，
所以．
若选②：因为，①，
所以当时，，
当时，，②
①②得：，
因为符合上式，
所以对一切都成立．
所以，
所以，③
，④
③④得：
，
所以．
若选③：由，
，知数列是等比数列，
设数列的公比为，
则，即，
所以，
解得，
所以．
所以，
所以，①
，②
①②得：
，
所以．
16．（2021·浙江绍兴市二模）设正项数列前项和为，满足，等比数列满足，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设前项和为，记，证明：.
【解析】（1）解：∵，
∴当时，，∴
当，∴① ，②
①-②得
∴，∴
∵，∴，
∴数列是首项为2公差为2的等差数列，∴
∵，，
∴公比，∴.
（2）证明：由（1）得.
∴
令，③
则，④
③-④得，
∴，
∴.