新高考数学二轮复习 专题4 第2讲　统计与成对数据的分析（讲） 【新教材·新高考】

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高考数学一轮靠老师勤奋、学生努力；高考数学二轮主要看老师的把握水平(课标、考纲)，研究水平(选题、集体备课)，辅导水平(课堂辅导，课后个辅)。
二、高考数学二轮复习要注意明确两个做法：抓审题，抓个辅
抓审题：让学生说出来，让思维呈现出来。充分调动学生审题、变题能力;
抓个辅：教师要有个辅学生问题清单，让辅导有针对性;个辅全程性，个辅不只在课后，课堂个辅也是关键。
三、高考数学二轮复习要注意坚持三个过关：必须记忆过关;必须限时过关;必须心理过关
1、高考数学每节课必须花5分钟过关记忆性知识。
2、学生训练最大的状态就是能限时过关，应试能力也是数学解题能力，极大限度地减少题海战术。
3、学生最大的障碍就是就是心理问题。
四、高三数学二轮复习要注意避免四个重复：
重复一轮复习老路；重复成套试题训练；重复迷信名校资料；重复个人喜好方向。

第2讲 统计与成对数据的分析（讲·教师版）
高考定位
1.高考对本讲内容的考查往往以实际问题为背景，考查随机抽样、用样本估计总体以及变量的相关性，常以选择题、填空题中的形式呈现，难度较低．
2.回归分析、独立性检验问题常与概率、分布列、期望与方差综合考查，多以解答题形式出现，中等难度．
核心整合
1．直方图的两个结论
(1)小长方形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率．
(2)各小长方形的面积之和等于1.
2．统计中的四个数字特征
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．
(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．
(3)平均数：样本数据的算术平均数，即
eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
(4)方差与标准差
方差：s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]．
标准差：s＝eq \r(\f(1,n)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋xn－\x\t(x)2]).
3．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．
(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
(3)回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，其中eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\x\t(x) \x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
(4)相关系数
当r>0时，表明两个变量正相关；当r6.635，
故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关．
【规律方法】独立性检验的关键
(1)根据2×2列联表准确计算K2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．
(2)K2的观测值k越大，对应的假设H0成立的概率越小，H0不成立的概率越大．
【对点训练3】
1.（2021·河北枣强中学高三月考（文））为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查100名高一学生，得到列联表如下：由此得出的正确结论是
附：
A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别无关”
C．有的把握认为“选择物理与性别有关”
D．有的把握认为“选择物理与性别无关”
【答案】A
【解析】因为，
根据临界值表可知，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别有关”.故选A.
2.（2021·重庆市育才中学高三月考）随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数据情况为：
其中，时间变量对应的机动车纯增数据为，且通过数据分析得到时间变量与对应的机动车纯增数量（单位：万辆）具有线性相关关系.
（1）求机动车纯增数量（单位：万辆）关于时间变量的回归方程，并预测2025~2030年间该市机动车纯增数量的值；
附：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；.
（2）该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了200名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的列联表：
根据上面的列联表判断，能否有95%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车”有关.
附：，.
【解析】（1）由
所以，，
.
.
因为过点，所以，
，所以.
2025~2030年时，，所以，
所以2025~2030年间，机动车纯增数量的值约为34.8万辆.
（2）根据列联表，由得观测值为
，
，
所以没有95%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车有关”.
考点四 概率与统计的综合问题
【例4】（2021·甘肃高三模拟（理））随着移动网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中在购物时利用手机中的支付宝､微信等APP软件进行扫码支付也日渐流行开来.某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计，结果如下表：
（1）观察数据发现，使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式：，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性.设，利用与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的回归方程，并估计2021年该商场使用扫码支付的人次；
（2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200元可参加1次抽奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8个形状､大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有5个)，顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球，若摸到3个红球，则打7折；若摸出2个红球则打8折，其他情况不打折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.
（i）求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；
（ii）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：最小二乘法估计公式：经过点的回归直线为相关数据：(其中.
【解析】（1）计算知14.6，
所以=10，
，
所以所求的回归方程为，
当时，(万人次)，
估计2021年该商场使用移动支付的有23万人次；
（2）（i）若选择方案一，设付款金额为X元，则可能的取值为140，160，200，
，
，
故X的分布列为
所以(元)；
（ii）若选择方案二，记需支付的金额为Y元，
则Y的可能取值为160，180，190，
则其对应的概率分别为，
所以，
由（1）知，
故从概率角度看，小张选择方案二付款优惠力度更大.
【规律方法】
解决概率与统计综合问题的一般步骤
【对点训练3】
(2021·湖北武汉武昌区高三调研)某健身馆在2019年7，8两个月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估2020年7，8两个月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7，8两个月100名客户的消费金额(单位：元)，分组如下：[0，200)，[200，400)，[400，600)，…，[1 000，1 200]，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)请用抽样的数据预估2020年7，8两个月健身客户人均消费的金额(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)若把2019年7，8两个月健身消费金额不低于800元的客户称为“健身达人”．经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？
(3)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为eq \f(1,2)，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．
若某人打算购买1 000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种促销方案．
附：
K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).
【解析】 (1) 因为2019年7，8两个月这100名客户消费金额的平均值为(100×0.000 50＋300×0.000 75＋500×0.001 00＋700×0.001 25＋900×0.001 00＋1 100×0.000 50)×200＝620(元)，
所以预估2020年7，8两个月健身客户人均消费金额为620元．
(2)列联表如下：
因为K2＝eq \f(100×（10×30－20×40）2,50×50×30×70)≈4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“健身达人”与性别有关．
(3)若选择方案一，则需付款900元；
若选择方案二，设需付款X元，则X的可能取值为700，800，900，1 000，
P(X＝700)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,8)，
P(X＝800)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(3,8)，
P(X＝900)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(3,8)，
P(X＝1 000)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,8)，
所以E(X)＝700×eq \f(1,8)＋800×eq \f(3,8)＋900×eq \f(3,8)＋1 000×eq \f(1,8)＝850(元)．
因为850＜900，所以选择方案二更划算．
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
利润
65
25
－5
－75
频数
40
20
20
20
利润
70
30
0
－70
频数
28
17
34
21
y的分组
[－0.20，0)
[0，0.20)
[0.20，0.40)
[0.40，0.60)
[0.60，0.80)
企业数
2
24
53
14
7
月份代码
1
2
3
4
5
销售量(万辆)
0.5
0.6
1
1.4
1.5
月份
2020年6月
2020年7月
2020年8月
2020年9月
2020年10月
月份编号
1
2
3
4
5
销量/部
52
95
185
227
年份
1
2
3
4
5
羊只数量/万只
1.4
0.9
0.75
0.6
0.3
草地植被指数
1.1
4.3
15.6
31.3
49.7
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
人均纯收入（千元）
2.6
3.0
3.6
3.9
4.4
5.1
SO2
PM2.5
[0,50]
(50,150]
(150,475]
[0,35]
32
18
4
(35,75]
6
8
12
(75,115]
3
7
10
SO2
PM2.5
[0,150]
(150,475]
[0,75]
(75,115]
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
SO2
PM2.5
[0,150]
(150,475]
[0,75]
64
16
(75,115]
10
10
选择物理
不选择物理
总计
男
35
20
55
女
15
30
45
总计
50
50
100
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
年度周期
1995~2000
2000~2005
2005~2010
2010~2015
2015~2020
时间变量
1
2
3
4
5
纯增数量（单位：万辆）
3
6
9
15
27
赞同限行
不赞同限行
合计
没有私家车
85
15
100
有私家车
75
25
100
合计
160
40
200
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
年度周期
1
2
3
4
5
纯增数量（单位：万辆）
3
6
9
15
27
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
使用扫码支付的人次y(单位：万人)
5
12
16
19
21
140
160
200
健身达人
非健身达人
总计
男
10
女
30
总计
P(K2≥k)
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
k
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
健身达人
非健身达人
总计
男
10
40
50
女
20
30
50
总计
30
70
100