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新高考数学二轮复习 专题6 第1讲 函数的图象与性质（讲） 【新教材·新高考】
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这是一份新高考数学二轮复习 专题6 第1讲 函数的图象与性质（讲） 【新教材·新高考】，文件包含第1讲函数的图象与性质讲·教师版docx、第1讲函数的图象与性质讲·学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
高考数学一轮靠老师勤奋、学生努力；高考数学二轮主要看老师的把握水平(课标、考纲)，研究水平(选题、集体备课)，辅导水平(课堂辅导，课后个辅)。
二、高考数学二轮复习要注意明确两个做法：抓审题，抓个辅
抓审题：让学生说出来，让思维呈现出来。充分调动学生审题、变题能力;
抓个辅：教师要有个辅学生问题清单，让辅导有针对性;个辅全程性，个辅不只在课后，课堂个辅也是关键。
三、高考数学二轮复习要注意坚持三个过关：必须记忆过关;必须限时过关;必须心理过关
1、高考数学每节课必须花5分钟过关记忆性知识。
2、学生训练最大的状态就是能限时过关，应试能力也是数学解题能力，极大限度地减少题海战术。
3、学生最大的障碍就是就是心理问题。
四、高三数学二轮复习要注意避免四个重复：
重复一轮复习老路；重复成套试题训练；重复迷信名校资料；重复个人喜好方向。
第1讲 函数的图象与性质（讲·教师版）
高考定位
1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．
2．此部分内容有时也出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大．
核心整合
1.复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．
2.分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
3.函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．
4.判断函数单调性的一般规律
对于选择、填空题，若能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．
5.记住几个周期性结论
(1)若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．
(2)若函数f(x)满足f(x＋a)＝(a>0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．
6.函数图象的对称中心或对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
真题体验
1．（2021•全国高考甲卷文科）下列函数中是增函数的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意.故选D.
2.（2021•全国新高考II卷）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.故选B.
3．（2021•北京高考）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选A.
4.（2021•新高考全国Ⅰ卷）已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【解析】因为，故，
因为为偶函数，故，时，整理得到，故.
5.（2021•浙江高考）已知，函数若，则___________.
【答案】2
【解析】，故.
能力突破
考点一 函数的概念及其表示
【例1】 1．（2021·山西怀仁市高三期中（理））函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】 ，故，解得：.故选B.
2．(一题多解) 若函数f(x)满足f(1－ln x)＝eq \f(1,x)，则f(2)＝( )
A.eq \f(1,2) B．e
C.eq \f(1,e) D．－1
【答案】B
【解析】方法一：令1－ln x＝t，则x＝e1－t，
于是f(t)＝eq \f(1,e1－t)，即f(x)＝eq \f(1,e1－x)，故f(2)＝e.
方法二：由1－ln x＝2，得x＝eq \f(1,e)，这时eq \f(1,x)＝eq \f(1,\f(1,e))＝e，
即f(2)＝e.
3．(多选题) (2021·海南临高中学期中)已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤－1，,x2，－1＜x＜2，,2x，x≥2，))若f(x)＝1，则x的值是( )
A．－1 B．eq \f(1,2)
C．－eq \r(3) D．1
【答案】AD
【解析】分3种情况讨论：①当x≤－1时，x＋2＝1，解得x＝－1；②当－1＜x＜2时，x2＝1，解得x＝－1(舍去)，x＝1；③当x≥2时，2x＝1，解得x＝eq \f(1,2)(舍去)．综上可得，x＝1或x＝－1.故选AD.
【规律方法】
(1)函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
(2)分段函数问题的5种常见类型及解题策略
【对点训练1】
1.（2021·湖南高三月考）已知函数满足，则（ ）
A．的最小值为2B．，
C．的最大值为2D．，
【答案】D
【解析】因为（i），
所以用代换得（ii）.
（i）×2（ii）得，
即，
从而只有最小值，没有最大值，且最小值为1.
，
.故选D.
2.(多选题)（2021·陕西西安中学高三期中）已知，则满足的关系有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】因为，
所以==，即不满足A选项；
==，=，即满足B选项，不满足C选项，
，，即满足D选项．故选BD.
3.（2021·福建泉州科技中学高三月考）已知函数，则_________，不等式的解集为________.
【答案】
【解析】因为，
所以,
;
由得；
由得；
所以不等式的解集为．
故答案为；.
考点二 函数的图象及应用
命题角度1 函数图象的识别
【例2—1】1. (一题多解)(2021·贵阳市四校联考)函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))ln|x|的图象的大致形状为( )
【答案】D
【解析】方法一：当x＞0时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))ln x，当0＜x＜1时，x＋eq \f(1,x)＞0，ln x＜0，f(x)＜0，故排除B，C；当x＜0时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))ln(－x)，当－1＜x＜0时，x＋eq \f(1,x)＜0，ln(－x)＜0，f(x)＞0，故排除A.故选D.
方法二：因为f(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(1,－x)))ln|－x|＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))ln|x|＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，故排除A，B；又当x＝2时，f(2)＝eq \f(5,2)ln 2＞0，故排除C.故选D.
2.如图所示的函数图象对应的函数解析式可能是( )
A．y＝2x－x2－1 B．y＝2xsin x
C．y＝eq \f(x,ln x) D．y＝(x2－2x)ex
【答案】D
【解析】根据函数图象可知，当x→－∞时，y→0，故A不符合；根据函数图象可知，该函数为非奇非偶函数，故B不符合；根据函数图象可知，该函数的定义域为R，故C不符合；对于y＝(x2－2x)ex，y′＝ex(x2－2)，令y′＝0得x＝±eq \r(2)，可得该函数在(－eq \r(2)，eq \r(2))上单调递减，在(－∞，－eq \r(2))和(eq \r(2)，＋∞)上单调递增，当y＝0时，x＝0或x＝2，当x→＋∞时，y→＋∞，当x→－∞时，y→0，故D符合．
3.(多选题) 下列可能是函数f(x)＝eq \f(ax＋b,（x＋c）2)(其中a，b，c∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，0，1)))的图象的是( )
【答案】ABC
【解析】法一：A选项中的图象关于y轴对称，并结合函数的定义域、单调性，猜想a＝0，b＝1，c＝0，符合条件；B选项中的图象关于原点对称，并结合函数的定义域、单调性，猜想a＝1，b＝0，c＝0，符合条件；观察C选项中的图象，由定义域猜想c＝1，由图象过原点得b＝0，猜想a＝1，符合条件；观察D选项中的图象知函数f(x)的零点在(0，1)内，但此种情况不可能存在．故选A、B、C.
法二：因为函数f(x)＝eq \f(ax＋b,（x＋c）2)(其中a，b，c∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，0，1)))的零点只能由ax＋b产生，所以函数f(x)可能没有零点，也可能零点是x＝0，但是不会产生在区间(0，1)内的零点，故选A、B、C.
【规律方法】
寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法
命题角度2 函数图象的变换及应用
【例2—2】 1.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
【答案】 C
【解析】 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
2.已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|A．有最小值－1，最大值1 B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值 D．有最大值－1，无最小值
【答案】C
【解析】
画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|＜g(x)，故h(x)＝－g(x)．
综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．
3.（一题多解）(2020·新高考全国卷Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3]
【答案】D
【解析】法一：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图①所示，则函数f(x－1)的大致图象如图②所示．
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]．
法二：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3].故选D.
【规律方法】
函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，再观察．
【对点训练2】
1.（2021·福建南平市高三二模）函数的图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，得
，
则函数是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B，C，
当时，排除A.故选D.
2.（2021·内蒙古呼和浩特市高三二模）函数在其定义域上的图象大致为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为.
因为，，所以是奇函数，图象关于原点对称，排除A,B；
当， ，排除C.故选D.
3．已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是( )
A．f(x)＝eq \f(1－ex,1＋ex)·sin x B．f(x)＝eq \f(ex－1,ex＋1)·sin x
C．f(x)＝eq \f(1－ex,1＋ex)·cs x D．f(x)＝eq \f(ex－1,ex＋1)·cs x
【答案】B
【解析】根据题意，由图象可得，该函数为偶函数，且在y轴右侧，先为正值，然后为负值．C，D选项中的函数均为奇函数，不符合题意；对于A选项，f(x)为偶函数，当x∈(0，π)时，
sin x>0，eq \f(1－ex,1＋ex)<0，则f(x)<0，不符合题意；对于B选项，f(x)为偶函数，当x∈(0，π)时，
sin x>0，eq \f(ex－1,ex＋1)>0，则f(x)>0，符合题意．
考点三 函数的性质及应用
命题角度1 三角函数的单调性与最值
【例3—1】1.（2021·天津南开中学高三月考）已知函数满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．(0，1)C．D．(0，3)
【答案】A
【解析】因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，
则函数在上是减函数，有，
函数在上是减函数，有，即，
并且满足：，即，解和，
综上得，
所以a的取值范围为.故选A.
2.(多选题) 若函数f(x)满足以下条件：
①对于定义域内任意不相等的实数a，b，恒有eq \f(f（a）－f（b）,a－b)>0；
②对于定义域内任意x1，x2，都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))≥eq \f(f（x1）＋f（x2）,2)成立．则称其为G函数．
下列函数为G函数的是( )
A．f(x)＝3x＋1 B．f(x)＝－2x－1
C．f(x)＝x2－2x＋3 D．f(x)＝－x2＋4x－3，x∈(－∞，1)
【答案】AD
【解析】①对于定义域内任意不相等的实数a，b，恒有eq \f(f（a）－f（b）,a－b)>0，则函数f(x)在定义域内为增函数；②对于定义域内任意x1，x2，都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))≥eq \f(f（x1）＋f（x2）,2)成立，则函数f(x)为“凸函数”．
A．f(x)＝3x＋1在R上为增函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＝eq \f(f（x1）＋f（x2）,2)，故满足条件①②；
B．f(x)＝－2x－1在R上为减函数，不满足条件①；
C．f(x)＝x2－2x＋3在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，不满足条件①；
D．f(x)＝－x2＋4x－3的对称轴为x＝2，故函数f(x)＝－x2＋4x－3在(－∞，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件①②.
综上，为G函数的是A、D.
3.已知函数对于任意、，总有，且当时，，若已知，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，
对任意的、，总有，则，
令，可得，可得，
令时，则由，即，
当时，，即，
任取、且，则，即，即，
所以，函数在上为增函数，且有，
由，可得，即，
所以，，所以，，解得.
因此，不等式的解集为.故选A.
【规律方法】
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．
(3)利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解．
(4)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
命题角度2 函数的奇偶性
【例3—2】 1.（2021•全国高考乙卷理科）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，
对于A，不奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选B
2.(多选题)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的为( )
A.f(b)－f(－a)g(a)－g(－b)
C.f(a)＋f(－b)g(b)－g(－a)
【答案】AC
【解析】由题意知，f(a)f(b)－f(－a)f(a)＋f(－b)3.（2021•浙江高考）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.故选D.
【规律方法】
1.具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f(x)＝f(|x|)；
2.判断函数奇偶性的3个技巧
①奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
②确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．
③对于偶函数而言，有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
命题角度3 三角函数的周期性与对称性
【例3—3】1.（一题多解）（2021•全国高考甲卷理科）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．故选D．
2.(多选题)已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为4
B．f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2
D．当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为－eq \f(1,2)
【答案】ABC
【解析】由f(x＋1)＝f(x－3)得，f(x)＝f[(x－1)＋1]＝f[(x－1)－3]＝f(x－4)，故函数f(x)的最小正周期为4，A正确；由f(1＋x)＝f(3－x)可得f(2＋x)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；作出函数f(x)在[0，8]上的大致图象如图所示，由图可知，当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为f(2)＝2，C正确；当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(1,4)，D错误．
3.(2021·西安五校联考)已知定义在R上的函数f(x)和g(x)，其中f(x)的图象关于直线x＝2对称，g(x)的图象关于点(2，－2)中心对称，且f(x)－g(x)＝3x＋x3＋3，则f(4)＝________．
【解析】由条件知f(0)－g(0)＝4 ①，f(4)－g(4)＝81＋64＋3＝148 ②，由函数f(x)，g(x)图象的对称性，可得对f(0)＝f(4)，g(0)＋g(4)＝－4，结合①知f(4)＋g(4)＋4＝f(0)－g(0)＝4，即f(4)＋g(4)＝0 ③，联立②③解得f(4)＝74.
【答案】74
【规律方法】
(1)若函数f(x)为偶函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则2a是函数f(x)的一个周期．
(2)若函数f(x)为奇函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则4a是函数f(x)的一个周期．
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，且f(b＋x)＝f(b－x)，则2(b－a)是函数f(x)的一个周期．
【对点训练3】
1．(2020·新高考全国Ⅰ卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
【答案】D
【解析】因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
2．(多选题)已知函数f(x)＝a－eq \f(2,ex＋1)(a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为( )
A．(－1，1) B．(－2，2)
C．(－3，3) D．(－4，4)
【答案】A
【解析】方法一：由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，所以a－eq \f(2,e－x＋1)＝－a＋eq \f(2,ex＋1)，得2a＝eq \f(2,ex＋1)＋eq \f(2,e－x＋1)＝2，所以a＝1，所以f(x)＝1－eq \f(2,ex＋1).因为ex＋1＞1，所以0＜eq \f(1,ex＋1)＜1，所以－1＜1－eq \f(2,ex＋1)＜1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．故选A.
方法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝1－eq \f(2,ex＋1).因为ex＋1＞1，所以0＜eq \f(1,ex＋1)＜1，所以－1＜1－eq \f(2,ex＋1)＜1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．故选A.
3．（2021·江苏南京市金陵中学高三开学考试）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，，
所以①，
所以②，
①②联立可得：，即的周期为4，
又，，
所以且，解得，，即
所以.故选B.
4.(2020·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝x3－eq \f(1,x3)，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
【答案】A
【解析】法一：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(－x)＝(－x)3－eq \f(1,（－x）3)＝－x3＋eq \f(1,x3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(1,x3)))＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C、D；因为函数y＝x3，y＝－eq \f(1,x3)在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)＝x3－eq \f(1,x3)在(0，＋∞)上为增函数，排除B，故选A.
法二：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(－x)＝(－x)3－eq \f(1,（－x）3)＝－x3＋eq \f(1,x3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(1,x3)))＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C、D；当x∈(0，＋∞)时，由f(x)＝x3－eq \f(1,x3)，得f′(x)＝3x2＋eq \f(3,x4)>0，所以f(x)＝x3－eq \f(1,x3)在(0，＋∞)上为增函数，排除B，故选A.
求函数值
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算
求函数最值
分别求出每个区间上的最值，然后比较大小
解不等式
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提
求参数
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程
利用函数性质求值
依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解
知式选图
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
④从函数的周期性，判断图象的循环往复
知图选式
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性
高考数学一轮靠老师勤奋、学生努力；高考数学二轮主要看老师的把握水平(课标、考纲)，研究水平(选题、集体备课)，辅导水平(课堂辅导，课后个辅)。
二、高考数学二轮复习要注意明确两个做法：抓审题，抓个辅
抓审题：让学生说出来，让思维呈现出来。充分调动学生审题、变题能力;
抓个辅：教师要有个辅学生问题清单，让辅导有针对性;个辅全程性，个辅不只在课后，课堂个辅也是关键。
三、高考数学二轮复习要注意坚持三个过关：必须记忆过关;必须限时过关;必须心理过关
1、高考数学每节课必须花5分钟过关记忆性知识。
2、学生训练最大的状态就是能限时过关，应试能力也是数学解题能力，极大限度地减少题海战术。
3、学生最大的障碍就是就是心理问题。
四、高三数学二轮复习要注意避免四个重复：
重复一轮复习老路；重复成套试题训练；重复迷信名校资料；重复个人喜好方向。
第1讲 函数的图象与性质（讲·教师版）
高考定位
1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．
2．此部分内容有时也出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大．
核心整合
1.复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．
2.分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
3.函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．
4.判断函数单调性的一般规律
对于选择、填空题，若能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．
5.记住几个周期性结论
(1)若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．
(2)若函数f(x)满足f(x＋a)＝(a>0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．
6.函数图象的对称中心或对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
真题体验
1．（2021•全国高考甲卷文科）下列函数中是增函数的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意.故选D.
2.（2021•全国新高考II卷）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.故选B.
3．（2021•北京高考）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选A.
4.（2021•新高考全国Ⅰ卷）已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【解析】因为，故，
因为为偶函数，故，时，整理得到，故.
5.（2021•浙江高考）已知，函数若，则___________.
【答案】2
【解析】，故.
能力突破
考点一 函数的概念及其表示
【例1】 1．（2021·山西怀仁市高三期中（理））函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】 ，故，解得：.故选B.
2．(一题多解) 若函数f(x)满足f(1－ln x)＝eq \f(1,x)，则f(2)＝( )
A.eq \f(1,2) B．e
C.eq \f(1,e) D．－1
【答案】B
【解析】方法一：令1－ln x＝t，则x＝e1－t，
于是f(t)＝eq \f(1,e1－t)，即f(x)＝eq \f(1,e1－x)，故f(2)＝e.
方法二：由1－ln x＝2，得x＝eq \f(1,e)，这时eq \f(1,x)＝eq \f(1,\f(1,e))＝e，
即f(2)＝e.
3．(多选题) (2021·海南临高中学期中)已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤－1，,x2，－1＜x＜2，,2x，x≥2，))若f(x)＝1，则x的值是( )
A．－1 B．eq \f(1,2)
C．－eq \r(3) D．1
【答案】AD
【解析】分3种情况讨论：①当x≤－1时，x＋2＝1，解得x＝－1；②当－1＜x＜2时，x2＝1，解得x＝－1(舍去)，x＝1；③当x≥2时，2x＝1，解得x＝eq \f(1,2)(舍去)．综上可得，x＝1或x＝－1.故选AD.
【规律方法】
(1)函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
(2)分段函数问题的5种常见类型及解题策略
【对点训练1】
1.（2021·湖南高三月考）已知函数满足，则（ ）
A．的最小值为2B．，
C．的最大值为2D．，
【答案】D
【解析】因为（i），
所以用代换得（ii）.
（i）×2（ii）得，
即，
从而只有最小值，没有最大值，且最小值为1.
，
.故选D.
2.(多选题)（2021·陕西西安中学高三期中）已知，则满足的关系有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】因为，
所以==，即不满足A选项；
==，=，即满足B选项，不满足C选项，
，，即满足D选项．故选BD.
3.（2021·福建泉州科技中学高三月考）已知函数，则_________，不等式的解集为________.
【答案】
【解析】因为，
所以,
;
由得；
由得；
所以不等式的解集为．
故答案为；.
考点二 函数的图象及应用
命题角度1 函数图象的识别
【例2—1】1. (一题多解)(2021·贵阳市四校联考)函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))ln|x|的图象的大致形状为( )
【答案】D
【解析】方法一：当x＞0时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))ln x，当0＜x＜1时，x＋eq \f(1,x)＞0，ln x＜0，f(x)＜0，故排除B，C；当x＜0时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))ln(－x)，当－1＜x＜0时，x＋eq \f(1,x)＜0，ln(－x)＜0，f(x)＞0，故排除A.故选D.
方法二：因为f(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(1,－x)))ln|－x|＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))ln|x|＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，故排除A，B；又当x＝2时，f(2)＝eq \f(5,2)ln 2＞0，故排除C.故选D.
2.如图所示的函数图象对应的函数解析式可能是( )
A．y＝2x－x2－1 B．y＝2xsin x
C．y＝eq \f(x,ln x) D．y＝(x2－2x)ex
【答案】D
【解析】根据函数图象可知，当x→－∞时，y→0，故A不符合；根据函数图象可知，该函数为非奇非偶函数，故B不符合；根据函数图象可知，该函数的定义域为R，故C不符合；对于y＝(x2－2x)ex，y′＝ex(x2－2)，令y′＝0得x＝±eq \r(2)，可得该函数在(－eq \r(2)，eq \r(2))上单调递减，在(－∞，－eq \r(2))和(eq \r(2)，＋∞)上单调递增，当y＝0时，x＝0或x＝2，当x→＋∞时，y→＋∞，当x→－∞时，y→0，故D符合．
3.(多选题) 下列可能是函数f(x)＝eq \f(ax＋b,（x＋c）2)(其中a，b，c∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，0，1)))的图象的是( )
【答案】ABC
【解析】法一：A选项中的图象关于y轴对称，并结合函数的定义域、单调性，猜想a＝0，b＝1，c＝0，符合条件；B选项中的图象关于原点对称，并结合函数的定义域、单调性，猜想a＝1，b＝0，c＝0，符合条件；观察C选项中的图象，由定义域猜想c＝1，由图象过原点得b＝0，猜想a＝1，符合条件；观察D选项中的图象知函数f(x)的零点在(0，1)内，但此种情况不可能存在．故选A、B、C.
法二：因为函数f(x)＝eq \f(ax＋b,（x＋c）2)(其中a，b，c∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，0，1)))的零点只能由ax＋b产生，所以函数f(x)可能没有零点，也可能零点是x＝0，但是不会产生在区间(0，1)内的零点，故选A、B、C.
【规律方法】
寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法
命题角度2 函数图象的变换及应用
【例2—2】 1.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
【答案】 C
【解析】 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
2.已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|
C．有最小值－1，无最大值 D．有最大值－1，无最小值
【答案】C
【解析】
画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|＜g(x)，故h(x)＝－g(x)．
综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．
3.（一题多解）(2020·新高考全国卷Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3]
【答案】D
【解析】法一：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图①所示，则函数f(x－1)的大致图象如图②所示．
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]．
法二：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3].故选D.
【规律方法】
函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，再观察．
【对点训练2】
1.（2021·福建南平市高三二模）函数的图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，得
，
则函数是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B，C，
当时，排除A.故选D.
2.（2021·内蒙古呼和浩特市高三二模）函数在其定义域上的图象大致为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为.
因为，，所以是奇函数，图象关于原点对称，排除A,B；
当， ，排除C.故选D.
3．已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是( )
A．f(x)＝eq \f(1－ex,1＋ex)·sin x B．f(x)＝eq \f(ex－1,ex＋1)·sin x
C．f(x)＝eq \f(1－ex,1＋ex)·cs x D．f(x)＝eq \f(ex－1,ex＋1)·cs x
【答案】B
【解析】根据题意，由图象可得，该函数为偶函数，且在y轴右侧，先为正值，然后为负值．C，D选项中的函数均为奇函数，不符合题意；对于A选项，f(x)为偶函数，当x∈(0，π)时，
sin x>0，eq \f(1－ex,1＋ex)<0，则f(x)<0，不符合题意；对于B选项，f(x)为偶函数，当x∈(0，π)时，
sin x>0，eq \f(ex－1,ex＋1)>0，则f(x)>0，符合题意．
考点三 函数的性质及应用
命题角度1 三角函数的单调性与最值
【例3—1】1.（2021·天津南开中学高三月考）已知函数满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．(0，1)C．D．(0，3)
【答案】A
【解析】因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1
则函数在上是减函数，有，
函数在上是减函数，有，即，
并且满足：，即，解和，
综上得，
所以a的取值范围为.故选A.
2.(多选题) 若函数f(x)满足以下条件：
①对于定义域内任意不相等的实数a，b，恒有eq \f(f（a）－f（b）,a－b)>0；
②对于定义域内任意x1，x2，都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))≥eq \f(f（x1）＋f（x2）,2)成立．则称其为G函数．
下列函数为G函数的是( )
A．f(x)＝3x＋1 B．f(x)＝－2x－1
C．f(x)＝x2－2x＋3 D．f(x)＝－x2＋4x－3，x∈(－∞，1)
【答案】AD
【解析】①对于定义域内任意不相等的实数a，b，恒有eq \f(f（a）－f（b）,a－b)>0，则函数f(x)在定义域内为增函数；②对于定义域内任意x1，x2，都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))≥eq \f(f（x1）＋f（x2）,2)成立，则函数f(x)为“凸函数”．
A．f(x)＝3x＋1在R上为增函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＝eq \f(f（x1）＋f（x2）,2)，故满足条件①②；
B．f(x)＝－2x－1在R上为减函数，不满足条件①；
C．f(x)＝x2－2x＋3在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，不满足条件①；
D．f(x)＝－x2＋4x－3的对称轴为x＝2，故函数f(x)＝－x2＋4x－3在(－∞，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件①②.
综上，为G函数的是A、D.
3.已知函数对于任意、，总有，且当时，，若已知，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，
对任意的、，总有，则，
令，可得，可得，
令时，则由，即，
当时，，即，
任取、且，则，即，即，
所以，函数在上为增函数，且有，
由，可得，即，
所以，，所以，，解得.
因此，不等式的解集为.故选A.
【规律方法】
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．
(3)利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解．
(4)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
命题角度2 函数的奇偶性
【例3—2】 1.（2021•全国高考乙卷理科）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，
对于A，不奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选B
2.(多选题)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的为( )
A.f(b)－f(－a)
C.f(a)＋f(－b)
【答案】AC
【解析】由题意知，f(a)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.故选D.
【规律方法】
1.具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f(x)＝f(|x|)；
2.判断函数奇偶性的3个技巧
①奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
②确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．
③对于偶函数而言，有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
命题角度3 三角函数的周期性与对称性
【例3—3】1.（一题多解）（2021•全国高考甲卷理科）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．故选D．
2.(多选题)已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为4
B．f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2
D．当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为－eq \f(1,2)
【答案】ABC
【解析】由f(x＋1)＝f(x－3)得，f(x)＝f[(x－1)＋1]＝f[(x－1)－3]＝f(x－4)，故函数f(x)的最小正周期为4，A正确；由f(1＋x)＝f(3－x)可得f(2＋x)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；作出函数f(x)在[0，8]上的大致图象如图所示，由图可知，当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为f(2)＝2，C正确；当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(1,4)，D错误．
3.(2021·西安五校联考)已知定义在R上的函数f(x)和g(x)，其中f(x)的图象关于直线x＝2对称，g(x)的图象关于点(2，－2)中心对称，且f(x)－g(x)＝3x＋x3＋3，则f(4)＝________．
【解析】由条件知f(0)－g(0)＝4 ①，f(4)－g(4)＝81＋64＋3＝148 ②，由函数f(x)，g(x)图象的对称性，可得对f(0)＝f(4)，g(0)＋g(4)＝－4，结合①知f(4)＋g(4)＋4＝f(0)－g(0)＝4，即f(4)＋g(4)＝0 ③，联立②③解得f(4)＝74.
【答案】74
【规律方法】
(1)若函数f(x)为偶函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则2a是函数f(x)的一个周期．
(2)若函数f(x)为奇函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则4a是函数f(x)的一个周期．
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，且f(b＋x)＝f(b－x)，则2(b－a)是函数f(x)的一个周期．
【对点训练3】
1．(2020·新高考全国Ⅰ卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
【答案】D
【解析】因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
2．(多选题)已知函数f(x)＝a－eq \f(2,ex＋1)(a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为( )
A．(－1，1) B．(－2，2)
C．(－3，3) D．(－4，4)
【答案】A
【解析】方法一：由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，所以a－eq \f(2,e－x＋1)＝－a＋eq \f(2,ex＋1)，得2a＝eq \f(2,ex＋1)＋eq \f(2,e－x＋1)＝2，所以a＝1，所以f(x)＝1－eq \f(2,ex＋1).因为ex＋1＞1，所以0＜eq \f(1,ex＋1)＜1，所以－1＜1－eq \f(2,ex＋1)＜1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．故选A.
方法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝1－eq \f(2,ex＋1).因为ex＋1＞1，所以0＜eq \f(1,ex＋1)＜1，所以－1＜1－eq \f(2,ex＋1)＜1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．故选A.
3．（2021·江苏南京市金陵中学高三开学考试）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，，
所以①，
所以②，
①②联立可得：，即的周期为4，
又，，
所以且，解得，，即
所以.故选B.
4.(2020·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝x3－eq \f(1,x3)，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
【答案】A
【解析】法一：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(－x)＝(－x)3－eq \f(1,（－x）3)＝－x3＋eq \f(1,x3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(1,x3)))＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C、D；因为函数y＝x3，y＝－eq \f(1,x3)在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)＝x3－eq \f(1,x3)在(0，＋∞)上为增函数，排除B，故选A.
法二：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(－x)＝(－x)3－eq \f(1,（－x）3)＝－x3＋eq \f(1,x3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(1,x3)))＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C、D；当x∈(0，＋∞)时，由f(x)＝x3－eq \f(1,x3)，得f′(x)＝3x2＋eq \f(3,x4)>0，所以f(x)＝x3－eq \f(1,x3)在(0，＋∞)上为增函数，排除B，故选A.
求函数值
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算
求函数最值
分别求出每个区间上的最值，然后比较大小
解不等式
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提
求参数
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程
利用函数性质求值
依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解
知式选图
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
④从函数的周期性，判断图象的循环往复
知图选式
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性
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