2022-2023学年江西省南昌市青云谱区象湖实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省南昌市青云谱区象湖实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在根式① x2+1；② x5；③ x2−xy；④ 27mn中，最简二次根式有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.下列命题是假命题的是( )
A. 四个角相等的四边形是矩形B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 对角线垂直的四边形是菱形D. 对角线垂直的平行四边形是菱形
3.计算( 2+ 3)2+2 2( 2− 3)结果是( )
A. 9B. −9C. 6D. −6
4.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是( )
A. a=3，b=4，c=5B. a2=b2−c2
C. ∠A：∠B：∠C=1：1：2D. ∠A+∠B=80°
5.已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A. OA=OCB. AB=BC
C. AC=BDD. ∠ABD=∠CBD
6.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，点D是AC的中点，ED⊥AC交AB于点E，连接CE，已知：AC=2a，DE=b，则BC的长为( )
A. 4a2+b2
B. a2+b2
C. 4a2−b2
D. a2−b2
7.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，
③AC=BD，④AC⊥BD中，再选两个做为补充，使▱ABCD变为正方形．下面四种组
合，错误的是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
8.如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP=CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为( )
A. 22
B. 24
C. 25
D. 26
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
9.使 2x−4有意义的x取值范围是______．
10.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，已知：AB=15，AD=12，AC=13，CD=5，则BC的长为______．
11.在平面直角坐标系中，若▱ABCD的三个顶点坐标分别是A(m,−n)、B(2,3)、C(−m,n)，则点D的坐标是______．
12.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A的坐标为(−6,3)，点C的坐标为(−2,0)，则点B的坐标为______．
三、计算题：本大题共3小题，共18分。
13.计算：
(1)3 3− 8+ 2− 27
(2)(5 2+2 5)(5 2−2 5)+( 3−1)2
14.已知a=12+ 3，求a2−4a+2− a2−2a+1a2−a的值．
15.如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分线，DE/​/BC．
(1)求∠EDB的度数；
(2)求DE的长．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
若a，b是一等腰三角形的两边的长，且满足等式2 a−3+ 6−2a=b−5，求等腰三角形的周长．
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BC=20，AC=15，BD=16.求AB的长．
18.(本小题9分)
如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE=AB，连接DE，EC，DE，交BC于点O．
(1)求证：△ABD≌△BEC；
(2)连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
19.(本小题9分)
如图，把一块直角三角形(△ABC,∠ACB=90°)土地划出一个三角形(△ADC)后，测得CD=3米，AD=4米，BC=12米，AB=13米．
(1)求证：∠ADC=90°；
(2)求图中阴影部分土地的面积．
20.(本小题10分)
如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，过点O的直线交AD，BC于P，Q两点，交BA，DC的延长线于M，N两点．
(1)求证：AP=CQ；
(2)连接DM，BN，求证：四边形BNDM是平行四边形．
21.(本小题10分)
阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 2=(1+ 2)2，善于思考的小明进行了以下探索：
若设a+b 2=(m+n 2)2=m2+2n2+2mn 2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a=m2+2n2，b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b 2的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若a+b 7=(m+n 7)2，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
(2)若a+6 3=(m+n 3)2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简下列格式：
① 5+2 6
② 7−2 10
③ 4− 10+2 5+ 4+ 10+2 5．
22.(本小题14分)
如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，在线段BD，AC上各取一点F，E使得DF=AE，连接AF并延长交BE于点M．

(1)试猜想BE与AF的位置关系和数量关系，并说明理由．
(2)若AB=2 2，OE=1，求AM的长．
(3)如图2，在线段DB，AC的延长线上各取一点F，E，使得DF=AE，连接EB并延长交AF于点M.请问：(1)中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解： x5的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，
27mn的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，
所以最简二次根式有 x2+1， x2−xy，共2个，
故选：B．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
2.【答案】C
【解析】解：A、四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；
D、对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．
故选：C．
根据矩形的判定方法对A、B进行判断；根据菱形的判定方法对C、D进行判断．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理；还需要掌握矩形与菱形的判定方法．
3.【答案】A
【解析】解：( 2+ 3)2+2 2( 2− 3)
=2+2 6+3+4−2 6
=9，
故选：A．
先用完全平方公式和乘法分配律展开，再合并即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
4.【答案】D
【解析】解：A、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、由a2=b2−c2可得：a2+c2=b2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、根据∠A：∠B：∠C=1：1：2，可得：∠C=21+1+2×180°=90°，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∠A+∠B=80°，可得∠C=100°，不能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
5.【答案】A
【解析】解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；
平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定相等，C错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意．
故选：A．
根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．
本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵D是AC的中点，ED⊥AC交AB于点E，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴CE=AE，
∴∠A=∠ECA=36°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=72°，
∴∠BCE=36°，
∴∠CEB=180°−∠B−BCE
=180°−72°−36°
=72°，
∴∠B=∠CEB，
∴CE=BC，
∵D是AC的中点，
∴CD=a，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
CE= DE2+CD2= a2+b2，
∴BC= a2+b2，
故选：B．
根据题意知DE是AC的垂直平分线，得CE=AE，再通过角度可证明∠B=∠CEB，得CE=BC，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出CE即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，证明CE=BC是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据要判定四边形是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形进而分别分析得出即可．
本题考查了正方形的判定方法：先判定四边形是菱形，再判定四边形是矩形；或先判定四边形是矩形，再判定四边形是菱形；那么四边形一定是正方形；熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD//BC，AD=BC=10，
∵AP=CQ，
∴AD−AP=BC−CQ，
∴DP=QB，DP//BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB/​/DQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=12，连接PE，
则BE=2AB=24，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∴CE= BE2+BC2= 242+102=26，
∴PC+PB的最小值为26，
即PC+QD的最小值为26，
故选：D．
连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=12，连接PE、CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．
本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE是解题的关键．
9.【答案】x>4
【解析】解：依题意得：2x−4≥0且x−4≠0，
解得：x>4．
故答案为：x>4．
根据二次根式的被开方数是非负数和分式的分母不等于零进行解答．
本题考查了二次根式的概念和分式有意义的条件，掌握式子 a(a≥0)叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，分式中的分母要不等于0是关键．
10.【答案】14
【解析】解：∵AD=12，AC=13，CD=5，
∴AC2=169，AD2+CD2=144+25=169，
即AD2+CD2=AC2，
∴△ADC为直角三角形，且∠ADC=90°，
∴∠ADB=90°，
∵AB=15，AD=12，
∴BD= AB2−AD2= 152−122=9，
∴BC=BD+CD=9+5=14．
故答案为：14．
在△ADC中，由三边长，利用勾股定理的逆定理判断出△ADC为直角三角形，可得出AD与BC垂直，在直角三角形ABD中，由勾股定理求出BD，再根据线段的和差关系即可求解．
此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
11.【答案】(−2,−3)
【解析】解：∵A(m,−n)，C(−m,n)，
∴点A和点C关于原点对称，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D和B关于原点对称，
∵B(2,3)，
∴点D的坐标是(−2,−3)．
故答案为(−2,−3)
由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标．
本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，得出D和B关于原点对称是解决问题的关键．
12.【答案】(1,4)
【解析】解：作AD⊥x轴于点D，作BE⊥x轴于点E，如右图所示，
则∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=CB，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE，DC=EB，
∵点A的坐标为(−6,3)，点C的坐标为(−2,0)，
∴OD=6，AD=3，OC=2，
∴CE=3，BE=OD−OC=6−2=4，
∴OE=CE−OC=3−2=1，
∴点B的坐标为(1,4)，
故答案为：(1,4)．
先证明△ACD≌△CBE，然后即可得到AD=CE，DC=EB，然后再根据点A的坐标为(−6,3)，点C的坐标为(−2,0)，即可得到点B的坐标．
本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13.【答案】解：(1)原式=3 3−2 2+ 2−3 3
=− 2；
(2)原式=50−20+3−2 3+1
=34−2 3．
【解析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
14.【答案】解：∵a=12+ 3，
∴a=2− 3，1a=2+ 3，1>a>0，
a2−4a+2− a2−2a+1a2−a
=(a−2)(a+2)a+2− (a−1)2a(a−1)
=(a−2)−1−aa(a−1)
=a−2+1a
=2− 3−2+(2+ 3)
=2− 3−2+2+ 3
=2．
【解析】先化简，代入求值．
本题考查了二次根式化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质，分母有理化，分式的化简．
15.【答案】解：(1)∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，
∵DE/​/BC，
∴∠EDB=∠DBC=12∠ABC=40°．
(2)∵AB=BC，BD是∠ABC的平分线，
∴D为AC的中点，
∵DE/​/BC，
∴E为AB的中点，
∴DE=12BC=6cm．
【解析】本题考查的是平行线，角平分线，及三角形中位线的判定与性质，需同学们熟练掌握．
(1)根据平行线及角平分线的性质可求出∠EDB的度数；
(2)根据三角形中位线定理可求出DE的长．
16.【答案】解：由题意，得a−3≥06−2a≥0得a≥3a≤3，
∴a=3，b=5.
当腰长为3，底边长为5时，三角形的周长是11；
当腰长为5，底边长为3时，三角形的周长是13．
∴等腰三角形的周长为11或13．
【解析】本题考查了二次根式有意义的条件、三角形三边关系以及等腰三角形的性质；根据题意确定a、b的值是解题的关键．
首先由a的取值范围求出a的值，得出b的值，再根据三边关系即可求出周长．
17.【答案】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∴CD= BC2−BD2= 202−162=12，
∴AD= AC2−CD2= 152−122=9，
∴AB=AD+BD=9+16=25．
【解析】利用勾股定理求出CD，AD即可解决问题．
本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
18.【答案】证明：(1)在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB/​/CD，则BE/​/CD．
又∵AB=BE，
∴BE=DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD=EC．
∴在△ABD与△BEC中，
AB=BEBD=ECAD=BC，
∴△ABD≌△BEC(SSS)；
(2)由(1)知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．
又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OC=OD，
∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
【解析】(1)由平行四边形ABCD，易得四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可；
(2)由(1)，易证得BC=ED，即可证得四边形BECD是矩形．
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定以及三角形的外角性质等知识．注意证得四边形BECD为平行四边形是关键．
19.【答案】(1)证明：因为∠ACB=90°，BC=12米，AB=13米，
所以AC= AB2−BC2= 132−122=5(米)，
因为CD=3米，AD=4米，
所以AD2+CD2=AC2=25，
所以∠ADC=90°；
(2)解：图中阴影部分土地的面积=12AC×BC−12AD×CD=12×5×12−12×4×3=24(平方米)．
【解析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
(1)先由勾股定理求出AC=5米，再由勾股定理的逆定理证出∠ADC=90°即可；
(2)由三角形面积公式求解即可．
20.【答案】证明：(1)如图，连接AC，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，AB/​/CD，AD//BC，
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，OA=OC，
∴∠M=∠N，
在△AOM和△CON中，
∠M=∠N∠AOM=∠CONOA=OC，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OO=ON，AM=CN，
∵AB/​/CD，
∴∠B=∠NCQ，
∵AD/​/BC，
∴∠B=∠MAP，
∴∠MAP=∠NCQ，
在△PAM与△QCN中，
∠M=∠NAM=CN∠MAP=∠NCQ，
∴△PAM≌△QCN(ASA)，
∴AP=CQ；
(2)连接DM，BN，

∵AB/​/CD，AB=CD，AM=CN，
∴BM=DN，
∴四边形BNDM是平行四边形．
【解析】(1)连接AC，根据平行四边形的性质证明△AOE≌△COF(AAS)，可得OO=ON，AM=CN，然后证明△PAM≌△QCN即可解决问题；
(2)结合(1)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△AOE≌△COF．
21.【答案】m2+7n2 ，2mn；见解析；见解析
【解析】解：(1)设a+b=(m+n)2=m2+7n2+2 7mn(其中a、b、m、n均为整数)，
则有a=m2+7n2，b=2mn；
故答案为：m2+7n2，2mn；
(2)∵6=2mn，
∴mn=3，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=3或m=3，n=1，
当m=1，n=3时，a=m2+3n2=12+3×32=28；
当m=3，n=1时，a=m2+3n2=32+3×12=12；
即a的值为12或28；
(3)① 5+2 6= 3+2+2 3× 2
=( 3+ 2)2
= 3+ 2；
② 7−2 10
= 5+2−2 5× 2
=( 5− 2)2
= 5− 2；
③设 4− 10+2 5+ 4+ 10+2 5=t，
则t2=4− 10+2 5+4+ 10+2 5+2 16−(10+2 5)
=8+2 6−2 5
=8+2 ( 5−1)2
=8+2( 5−1)
=6+2 5
=( 5+1)2，
∴t= 5+1．
(1)利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；
(2)利用(1)中结论得到6=2mn，利用a、m、n均为正整数得到m=1，n=3或m=3，n=1，然后利用a=m2+3n2计算对应a的值；
(3)设 4− 10+2 5+ 4+ 10+2 5=t，两边平方得到t2=4− 10+2 5+4+ 10+2 5+2 16−(10+2 5)，然后利用(1)中的结论化简得到t2=6+2 5，最后把6+2 5写成完全平方形式可得到t的值．
本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
22.【答案】解：(1)BE⊥AF，BE=AF，理由如下：
∵正方形ABCD中，DA=AB，∠ADO=∠BAO=45°，
在△DAF和△ABE，
DA=AB∠ADF=∠EABDF=AE，
∴△DAF≌△ABE(SAS)，
∴∠DAF=∠ABE，BE=AF，
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AMB=90°，
∴BE⊥AF；
(2)在Rt△AOB中，AO=BO，AB=2 2，
∴AO2+BO2=AB2=8，
∴AO=BO=2，
∴AE=AO+OE=3，
在Rt△BOE中，BE= BO2+OE2= 5，
∵S△ABE=12AE⋅BO=12BE⋅AM，
∴AM=AE⋅BOBE=6 55；
(3)成立，理由如下：
在△ABE和△DAF中，
AB=DA∠EAB=∠FDA=45°AE=DF，
∴△ABE≌△DAF(SAS)，
∴∠AEB=∠DFA，BE=AF，
∵∠AOF=90°，
∴∠DFA+∠FAO=90°，
∴∠AEB+∠FAE=90°，
∴∠AME=90°，
∴BE⊥AF．
【解析】(1)先证明△DAF≌△ABE，可得∠DAF=∠ABE，BE=AF，从而得到∠ABE+∠BAF=90°，即可求解；
(2)根据勾股定理可得AO=BO=2，从而得到AE=AO+OE=3，再由勾股定理可得BE= 5，再由S△ABE=12AE⋅BO=12BE⋅AM，即可求解；
(3)先证明△ABE≌△DAF，可得∠AEB=∠DFA，BE=AF，从而得到∠AEB+∠FAE=90°，即可求解．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．