高考物理一轮复习4.3曲线运动-圆周运动-(原卷版+解析)

这是一份高考物理一轮复习4.3曲线运动-圆周运动-(原卷版+解析)，共87页。试卷主要包含了描述圆周运动的物理量，圆周运动的分类等内容，欢迎下载使用。

考向一匀速圆周与变速圆周运动的理解
考向二 传动问题和多解问题
考向三 动力学问题--水平面内圆周运动的问题
考向四 动力学问题--竖直面内圆周运动的问题
匀速圆周与变速圆周运动的理解
一、描述圆周运动的物理量
1.线速度（v）：①定义式：
②线速度是矢量，某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上。
2.角速度（ω）：①大小： (φ是t时间内半径转过的圆心角)
②单位：弧度每秒（rad/s）
3．周期T，频率f：做圆周运动物体一周所用的时间叫周期．
做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速．
4．各物理量之间的关系：
注意：计算时，均采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。
5．向心加速度
（1）物理意义：描述线速度方向改变的快慢
（2）大小：a=v2/r=ω2r=4π2fr=4π2r/T2=ωv，
（3）方向：总是指向圆心，方向时刻在变化．不论a的大小是否变化，a都是个变加速度．
6．对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比；当ω一定时，v与r成正比；当v一定时，ω与r成反比。
7．对a＝eq \f(v2,r)＝ω2r的理解
当v一定时，a与r成反比；当ω一定时，a与r成正比。
8．向心力
（1）作用：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小．
（2）大小： F＝ma＝mv2/r＝mω2 r=m4π2fr=m4π2r/T2=mωv
（3）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化．即向心力是个变力．
说明: 向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，因此，向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，要根据物体受力的实际情况判定．
二、圆周运动的分类：
1.匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在任意相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动.
(2))性质：是加速度大小不变而方向时刻改变的变加速曲线运动．
(3)条件：合外力等于向心力
（4）特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的．
2、变速圆周运动
变速圆周运动的物体，不仅线速度大小、方向时刻在改变，而且加速度的大小、方向也时刻在改变，是变加速曲线运动（注：匀速圆周运动也是变加速运动）．
变速圆周运动的合力一般不指向圆心，变速圆周运动所受的合外力产生两个效果．
①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度，Ft＝mat，它只改变速度的大小；
②合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，Fn＝man，它只改变速度的方向。
三.离心运动、近心运动
1.离心运动定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力情况下，就做远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。
近心运动定义：当提供向心力的合力大于做圆周运动所需向心力，即F＞mω2r时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。
2.受力特点
(1)当物体受到的合外力F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
(2)当F＝0时，物体沿切线方向飞出；物体逐渐远离圆心；物体做离心运动
(3)当物体受到的合外力Fmrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动.
3、本质：
①离心现象是物体惯性的表现。
②离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。
③离心运动并不是受到什么离心力，根本就没有这个离心力，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力.
【典例1】（2022四川省成都市高三第二次联考）如图，有一走时准时的时钟，己知时针、分针、秒针的转动半径分别为3cm、4cm、5cm。下列说法正确的是（ ）
A. 时针的转动周期为24h
B. 分针针尖的线速度大小为10-4m/s
C. 秒针的角速度为rad/s
D. 秒针与分针的角速度之比为1：60
【答案】B
【解析】A．时针转动的周期为A错误；
B．分针转动的周期为
分针针尖的线速度大小为B正确；
C．秒针转动的周期为
秒针转动的角速度为C错误；
D．分针转动的角速度为
因此，秒针与分针的角速度之比为D错误。
故选B。
【典例2】(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则( )
A．角速度为0.5 rad/s B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为eq \f(4,π) m D．加速度大小为4π m/s2
【答案】BCD
【解析】角速度为ω＝eq \f(2π,T)＝π rad/s，A错误；转速为n＝eq \f(ω,2π)＝0.5 r/s，B正确；半径r＝eq \f(v,ω)＝eq \f(4,π) m，C正确；向心加速度大小为an＝eq \f(v2,r)＝4π m/s2，D正确。
传动问题和多解问题
一、常见的三类传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图丙、丁所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
(3)同轴传动：如图戊、己所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，即ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。
【典例3】(多选)(2022·山东泰安市4月多校联考)如图6所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图。已知质量为60 kg的学员在A点位置，质量为70 kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5.0 m，B点的转弯半径为4.0 m，则学员和教练员(均可视为质点)( )
A.线速度大小之比为5∶4
B.周期之比为5∶4
C.向心加速度大小之比为4∶5
D.受到的合力大小之比为15∶14
【答案】AD
【解析】学员和教练员一起做圆周运动的角速度相等，根据v＝rω，知半径之比为5∶4，则线速度之比为5∶4，A正确；根据T＝eq \f(2π,ω)，学员和教练员周期相等，B错误；根据a＝rω2，半径之比为5∶4，则学员和教练员向心加速度大小之比为5∶4，C错误；根据F＝ma，向心加速度之比为5∶4，质量之比为6∶7，则受到的合力大小之比为15∶14，D正确。
【典例4】有一半径为R的圆台在水平面上绕竖直轴匀速转动，圆台边缘上有A，B两个圆孔且在一条直线上，在圆心O点正上方R高处以一定的初速度水平抛出一小球，抛出那一时刻速度正好沿着OA方向，为了让小球能准确地掉入孔中，小球的初速度和圆台转动的角速度分别应满足（重力加速度为g）（ ）
A.，2kπ（k＝1，2，3…） B.，kπ（k＝1，2，3…）
C.，kπ（k＝1，2，3…） D.，2kπ（k＝1，2，3…）
【答案】B
【解析】小球抛出后做平抛运动，设运动时间为t，则R＝gt2，R＝v0t，t＝，要使小球落入孔中，在t时间内，圆台转过的角度为kπ，k为正整数，即：ωt＝kπ，ω＝＝kπ，k＝1，2，3，…，v0＝＝R＝，选项B正确.
练习1、如图所示的旋转脱水拖把，拖把杆内有一段长度为35 cm的螺杆通过拖把杆下段与拖把头接在一起，螺杆的螺距(相邻螺纹之间的距离)d＝5 cm，拖把头的半径为10 cm，拖把杆上段相对螺杆向下运动时拖把头就会旋转，把拖把头上的水甩出去。某次脱水时，拖把杆上段1 s内匀速下压了35 cm，该过程中拖把头匀速转动，下列说法正确的是( )
A.拖把头边缘的线速度为1.4π m/s
B．拖把杆向下运动的速度为0.1π m/s
C．拖把头转动的角速度为7π rad/s
D．拖把头的转速为1 r/s
【答案】A
【解析】由题意知拖把头转动的周期T＝ eq \f(1,7) s，则拖把头转动的角速度ω＝ eq \f(2π,T) ＝14π rad/s，故C错误；拖把头边缘的线速度v1＝ eq \f(2πR,T) ＝1.4π m/s，故A正确；拖把杆向下运动的速度v2＝ eq \f(l,t) ＝0.35 m/s，故B错误；拖把头的转速n＝ eq \f(1,T) ＝7 r/s，故D错误。
练习2.(多选)如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动．一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，重力加速度为g，则( )
A．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝deq \r(\f(g,2h))
B．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2deq \r(\f(g,2h))
C．圆筒转动的角速度可能为ω＝πeq \r(\f(g,2h))
D．圆筒转动的角速度可能为ω＝3πeq \r(\f(g,2h))
【答案】ACD
【解析】子弹在圆筒中运动的时间与自由下落高度h的时间相同，即t＝eq \r(\f(2h,g))，则v0＝eq \f(d,t)＝deq \r(\f(g,2h))，故A正确，B错误；在此段时间内圆筒转过的圈数为半圈的奇数倍，即ωt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…)，所以ω＝eq \f(2n＋1π,t)＝(2n＋1)πeq \r(\f(g,2h))(n＝0,1,2，…)，故C、D正确．
(1)确定属于哪类传动方式，抓住传动装置的特点。
①同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同；②皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：皮带(或齿轮)传动和不打滑的摩擦传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。
(2)结合公式v＝ωr，v一定时ω与r成反比，ω一定时v与r成正比，判定各点v、ω的比例关系，若判定向心加速度a的比例，巧用a＝ωv这一规律。
【巧学妙记】
动力学问题--水平面内圆周运动的问题
水平面内的圆周运动
1．运动实例
圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周运动等。
2．运动模型
3．匀速圆周运动问题特点
(1)运动轨迹是水平面内的圆。
(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零。
4.水平面内的圆周运动一水平转盘上运动物体的临界问题
（1）如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝eq \f(mv2,r)，方向指向圆心。
(2如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．
(3）运动实例
【典例5】(多选)如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝eq \r(\f(kg,2l))是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝eq \r(\f(2kg,3l))时，a所受摩擦力的大小为kmg
【答案】AC
【解析】因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得f＝mω2R，由于小木块b的轨道半径大于小木块a的轨道半径，故小木块b做圆周运动需要的向心力较大，B错误；因为两小木块的最大静摩擦力相等，故b一定比a先开始滑动，A正确；当b开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mωeq \\al(2,b)·2l，可得ωb＝eq \r(\f(kg,2l))，C正确；当a开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mωeq \\al(2,a)l，可得ωa＝eq \r(\f(kg,l))，而转盘的角速度 eq \r(\f(2kg,3l))< eq \r(\f(kg,l))，小木块a未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力来提供，由牛顿第二定律可得
f＝mω2l＝eq \f(2,3)kmg，D错误。
【典例6】(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是( )
A.当ω＞eq \r(\f(2Kg,3L))时，A、B相对于转盘会滑动
B.当ω＞eq \r(\f(Kg,2L))，绳子一定有弹力
C.ω在eq \r(\f(Kg,2L))＜ω＜eq \r(\f(2Kg,3L))范围内增大时，B所受摩擦力变大
D.ω在0＜ω＜eq \r(\f(2Kg,3L))范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
【答案】ABD
【解析】当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，则有Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得ω＝eq \r(\f(2Kg,3L))，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即有Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝eq \r(\f(Kg,2L))，可知当ω＞eq \r(\f(Kg,2L))时，绳子有弹力，B项正确；当ω＞eq \r(\f(Kg,2L))时，B已达到最大静摩擦力，则ω在eq \r(\f(Kg,2L))＜ω＜eq \r(\f(2Kg,3L))范围内增大时，B受到的摩擦力不变，C项错误；ω在0＜ω＜eq \r(\f(2Kg,3L))范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以由f－FT＝mLω2可知，当ω增大时，静摩擦力也增大，D项正确。
【典例7】 (多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连的物体A和B，A和B质量都为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为RA＝r，RB＝2r，A、B与盘间的动摩擦因数相同且均为μ。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是( )
A.绳子的张力为FT＝3μmg
B．圆盘的角速度为ω＝ eq \r(\f(2μg,r))
C．A所受摩擦力方向沿绳指向圆外
D．烧断绳子，物体A、B仍将随盘一块转动
【答案】ABC
【解析】两物体A和B随着圆盘转动时，合力提供向心力，有F合＝mω2R，B的轨道半径比A的轨道半径大，所以B所需向心力大，绳子拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B所受的最大静摩擦力方向沿绳指向圆心，A所受的最大静摩擦力方向沿绳指向圆外。以B为研究对象，有FT＋μmg＝2mrω2，以A为研究对象，有FT－μmg＝mrω2，联立解得FT＝3μmg，ω＝ eq \r(\f(2μg,r)) ，故选项A、B、C正确；烧断绳子，对A分析，若A恰好未发生相对滑动，有μmg＝mrωA2，解得ωA＝ eq \r(\f(μg,r)) FAP，随ω的增大FBP、FAP都变大，B、C对，D错。
水平面内的圆周运动三-圆锥筒问题
水平面内的圆周运动四--圆碗问题
水平面内的圆周运动五--火车转弯问题
特别注意：转弯的向心力是水平的
在倾斜轨道上转弯：
①设计时速v：mgtanθ=mv2/R得：。因为θ角很小，所以tanθ=sinθ=h/l，则
②若火车经过弯道时的速度 ，外轨将受到挤压。
③若火车经过弯道时的速度 ，内轨将受到挤压。
水平路面转弯问题
（1）汽车在水平路面上转弯时，不能靠车身倾斜来实现。它所需要的向心力只能来自轮胎与路面之间的侧向摩擦力。
（2）最大安全转弯速度vm：最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，根据μmg=mvm2/r，得 vm=。
（3）当速度小于vm时：侧向静摩擦力提供向心力，f=mvm2/r。
方法技巧：求解圆周运动问题必须进行的三类分析,
几何分析
目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析
目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析
目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力
【巧学妙记】
动力学问题--竖直面内圆周运动的问题
竖直平面内的圆周运动
图(c)的球沿球面运动，轨道对小球只能支撑，而不能产生拉力。在最高点的v临界=。时，过最高点后直接脱离圆周作平抛运动
G
F
时，过最高点后先沿圆周运动一段距离，然后脱离圆周作斜抛运动
2． 过拱形桥问题
2．两类模型对比
【典例10】(多选)“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为细绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型，如图13所示，已知绳长为l，重力加速度为g，则( )
A．小球运动到最低点Q时，处于失重状态
B．小球初速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大
C．当v0>eq \r(6gl)时，小球一定能通过最高点P
D．当v0eq \r(6gl)时小球一定能通过最高点P，选项C正确；当v0＝eq \r(gl)时，由eq \f(1,2)mv02＝mgh得小球能上升的高度h＝eq \f(1,2)l，即小球不能越过与悬点等高的位置，故当v0b，杆对小球的弹力方向向下，根据牛顿第三定律，小球对杆的弹力方向向上，故C错误；当v2＝2b时，mg＋F弹＝meq \f(v2,R)＝meq \f(2b,R)，又g＝eq \f(b,R)，F弹＝meq \f(2b,R)－mg＝mg，故D正确。
【典例12】在粗糙水平木板上放一个物块，沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径。在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止。下列说法正确的是( )
A.物块始终受到三个力的作用
B.只有在a、b、c、d四点，物块受到的合外力才指向圆心
C.物块在a点受摩擦力方向向左
D.物块在c点处于超重状态
【解析】物块在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，靠合力提供向心力，在c点和d点，摩擦力为零，物体只受重力和支持力，由重力和支持力的合力提供向心力，故A错误；物块做匀速圆周运动，由合力提供向心力，则物块受到的合外力始终指向圆心，故B错误；物块在a点时，摩擦力提供向心力，则此时受摩擦力方向向左，选项C正确；物块在c点加速度方向向下，处于失重状态，选项D错误。
答案 C
练习3.在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，如图所示，为了使电动机不会从地面上跳起，电动机飞轮的转动的角速度不能超过( )
A.eq \f(M＋m,mr)g B.eq \r(\f(M＋m,mr)g)
C.eq \r(\f(M－m,mr)g) D.eq \r(\f(Mg,mr))
【答案】B
【解析】当重物运动到飞轮的最高点电动机要跳起时，重物对飞轮的作用力F恰好等于电动机的重力Mg，即F＝Mg，以重物为研究对象，由牛顿第二定律得Mg＋mg＝mω2r，解得ω＝eq \r(\f(M＋m,mr)g)，故B正确．
练习4.(2022·四川绵阳市诊断)如图7所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g，则球B在最高点时( )
A．球B的速度为零
B．球A的速度大小为eq \r(2gL)
C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg
【答案】 C
【解析】
球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有mg＝meq \f(v\\al(B2),2L)，解得vB＝eq \r(2gL)，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小vA＝eq \f(1,2)eq \r(2gL)，故B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝meq \f(v\\al(A2),L)，解得：F＝1.5mg，根据牛顿第三定律可知，C正确，D错误．
练习5.如图所示，一质量为M的人，站在台秤上，一个长为R的悬线一端系一个质量为m的小球，手拿悬线另一端，小球绕悬线另一端点在竖直平面内做圆周运动，且小球恰好能通过圆轨道最高点，则下列说法正确的是( )
A．小球运动到最低点时，台秤的示数最大且为(M＋6m)g
B．小球运动到最高点时，台秤的示数最小且为Mg
C．小球在a、b、c三个位置时，台秤的示数相同
D．小球从最高点运动到最低点的过程中台秤的示数增大，人处于超重状态
【答案】AC
【解析】小球恰能通过圆轨道最高点时，绳子拉力为0，此时对人受力分析，得出台秤对人的支持力F＝Mg，同理，对人分析得出a、c处台秤对人的支持力F＝Mg，B项错误，C项正确．小球在ac水平线以上时，人受到绳子斜向上的拉力，人对台秤的压力小于Mg，在ac水平线以下时，人受到绳子斜向下的拉力，人对台秤的压力大于Mg，D项错误．在最低点，对球：mg·2R＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，在最高点时有mg＝meq \f(v\\al(2,0),R)，则最低点速度v2＝5gR；设绳拉力为FT，对球在最低点应用牛顿第二定律，FT－mg＝meq \f(v2,R)，解得FT＝6mg.再取人为研究对象可知人对台秤的压力为(M＋6m)g，A项正确．
练习6．如图所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝eq \r(2gR)的速度通过轨道最高点B，并以v2＝eq \r(3)v1的速度通过最低点A。则在A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差( )
A．3mg B．4mgC．5mg D．6mg
【答案】D
【解析】由题意可知，在B点，有FB＋mg＝meq \f(veq \\al(2,1),R)，解之得FB＝mg，在A点，有FA－mg＝meq \f(veq \\al(2,2),R)，解之得FA＝7mg，所以A、B两点轨道对车的压力大小相差6mg。故选项D正确。
竖直面内圆周运动类问题的解题技巧
(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同。
(2)确定临界点：抓住绳模型中最高点v≥eq \r(gR)及杆模型中v≥0这两个临界条件。
(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。
(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合＝F向。
(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。
【巧学妙记】
1. 图为一种“滚轮——平盘无级变速器”的示意图，它由固定于主动轴上的平盘和可随从动轴移动的圆柱形滚轮组成．由于摩擦的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动，如果认为滚轮不会打滑，那么主动轴转速n1、 图从动轴转速n2、滚轮半径r以及滚轮距离主动轴中心的距离x之间的关系是( )
A．n2＝n1eq \f(x,r) B．n2＝n1eq \f(r,x)
C．n2＝n1eq \f(x2,r2) D．n2＝n1eq \r(\f(x,r))
2.(多选)随着交通的发展，旅游才真正变成一件赏心乐事，各种“休闲游”“享乐游”纷纷打起了宣传的招牌。某次旅游中游客乘坐列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道过程中，游客发现车厢顶部悬挂玩具小熊的细线稳定后与车厢侧壁平行，同时观察放在桌面(与车厢底板平行)上水杯内的水面，已知此弯道路面的倾角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是( )
A．列车转弯过程中的向心加速度为gtan θ，方向与水平面的夹角为θ
B．列车的轮缘与轨道无侧向挤压作用
C．水杯与桌面间无摩擦
D．水杯内水面与桌面不平行
3. (2022·辽宁六校联考)四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动．如图甲所示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B球的绳较长)；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同(连接D球的绳较长)，则下列说法错误的是( )
A．小球A、B角速度相等
B．小球A、B线速度大小相同
C．小球C、D向心加速度大小相同
D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
4.如图所示，质量相等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动，甲在乙的上方．则( )
A．球甲的角速度一定大于球乙的角速度
B．球甲的线速度一定大于球乙的线速度
C．球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期
D．球甲对筒壁的压力一定大于球乙对筒壁的压力
5.如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．a、b 两小球都是所受合外力充当向心力
B．a、b两小球圆周运动的半径之比为tan θ
C．b小球受到的绳子拉力为eq \f(mg,cs θ)
D．a小球运动到最高点时受到的绳子拉力为eq \f(mg,sin θ)
6.(多选)如图所示，在水平转台上放置有轻绳相连的质量相同的滑块1和滑块2，转台绕转轴OO′以角速度ω匀速转动过程中，轻绳始终处于水平状态，两滑块始终相对转台静止，且与转台之间的动摩擦因数相同，滑块1到转轴的距离小于滑块2到转轴的距离．关于滑块1和滑块2受到的摩擦力f1和f2与ω2的关系图线，可能正确的是( )
7.(多选)如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO′转动．三个物体与圆盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．三个物体与轴O共线且OA＝OB＝BC＝r，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力．当圆盘从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，则对于这个过程，下列说法正确的是( )
A．A、B两个物体同时达到最大静摩擦力
B．B、C两个物体的静摩擦力先增大后不变，A物体所受的静摩擦力先增大后减小再增大
C．当ω2> eq \r(\f(μg,r))时整体会发生滑动
D．当 eq \r(\f(μg,2r))eq \r(6gl)时，小球一定能通过最高点P
D．当v0eq \r(6gl)时小球一定能通过最高点P，选项C正确；当v0＝eq \r(gl)时，由eq \f(1,2)mv02＝mgh得小球能上升的高度h＝eq \f(1,2)l，即小球不能越过与悬点等高的位置，故当v0b，杆对小球的弹力方向向下，根据牛顿第三定律，小球对杆的弹力方向向上，故C错误；当v2＝2b时，mg＋F弹＝meq \f(v2,R)＝meq \f(2b,R)，又g＝eq \f(b,R)，F弹＝meq \f(2b,R)－mg＝mg，故D正确。
【典例12】在粗糙水平木板上放一个物块，沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径。在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止。下列说法正确的是( )
A.物块始终受到三个力的作用
B.只有在a、b、c、d四点，物块受到的合外力才指向圆心
C.物块在a点受摩擦力方向向左
D.物块在c点处于超重状态
【解析】物块在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，靠合力提供向心力，在c点和d点，摩擦力为零，物体只受重力和支持力，由重力和支持力的合力提供向心力，故A错误；物块做匀速圆周运动，由合力提供向心力，则物块受到的合外力始终指向圆心，故B错误；物块在a点时，摩擦力提供向心力，则此时受摩擦力方向向左，选项C正确；物块在c点加速度方向向下，处于失重状态，选项D错误。
答案 C
练习3.在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，如图所示，为了使电动机不会从地面上跳起，电动机飞轮的转动的角速度不能超过( )
A.eq \f(M＋m,mr)g B.eq \r(\f(M＋m,mr)g)
C.eq \r(\f(M－m,mr)g) D.eq \r(\f(Mg,mr))
【答案】B
【解析】当重物运动到飞轮的最高点电动机要跳起时，重物对飞轮的作用力F恰好等于电动机的重力Mg，即F＝Mg，以重物为研究对象，由牛顿第二定律得Mg＋mg＝mω2r，解得ω＝eq \r(\f(M＋m,mr)g)，故B正确．
练习4.(2022·四川绵阳市诊断)如图7所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g，则球B在最高点时( )
A．球B的速度为零
B．球A的速度大小为eq \r(2gL)
C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg
【答案】 C
【解析】
球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有mg＝meq \f(v\\al(B2),2L)，解得vB＝eq \r(2gL)，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小vA＝eq \f(1,2)eq \r(2gL)，故B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝meq \f(v\\al(A2),L)，解得：F＝1.5mg，根据牛顿第三定律可知，C正确，D错误．
练习5.如图所示，一质量为M的人，站在台秤上，一个长为R的悬线一端系一个质量为m的小球，手拿悬线另一端，小球绕悬线另一端点在竖直平面内做圆周运动，且小球恰好能通过圆轨道最高点，则下列说法正确的是( )
A．小球运动到最低点时，台秤的示数最大且为(M＋6m)g
B．小球运动到最高点时，台秤的示数最小且为Mg
C．小球在a、b、c三个位置时，台秤的示数相同
D．小球从最高点运动到最低点的过程中台秤的示数增大，人处于超重状态
【答案】AC
【解析】小球恰能通过圆轨道最高点时，绳子拉力为0，此时对人受力分析，得出台秤对人的支持力F＝Mg，同理，对人分析得出a、c处台秤对人的支持力F＝Mg，B项错误，C项正确．小球在ac水平线以上时，人受到绳子斜向上的拉力，人对台秤的压力小于Mg，在ac水平线以下时，人受到绳子斜向下的拉力，人对台秤的压力大于Mg，D项错误．在最低点，对球：mg·2R＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，在最高点时有mg＝meq \f(v\\al(2,0),R)，则最低点速度v2＝5gR；设绳拉力为FT，对球在最低点应用牛顿第二定律，FT－mg＝meq \f(v2,R)，解得FT＝6mg.再取人为研究对象可知人对台秤的压力为(M＋6m)g，A项正确．
练习6．如图所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝eq \r(2gR)的速度通过轨道最高点B，并以v2＝eq \r(3)v1的速度通过最低点A。则在A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差( )
A．3mg B．4mgC．5mg D．6mg
【答案】D
【解析】由题意可知，在B点，有FB＋mg＝meq \f(veq \\al(2,1),R)，解之得FB＝mg，在A点，有FA－mg＝meq \f(veq \\al(2,2),R)，解之得FA＝7mg，所以A、B两点轨道对车的压力大小相差6mg。故选项D正确。
竖直面内圆周运动类问题的解题技巧
(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同。
(2)确定临界点：抓住绳模型中最高点v≥eq \r(gR)及杆模型中v≥0这两个临界条件。
(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。
(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合＝F向。
(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。
【巧学妙记】
1. 图为一种“滚轮——平盘无级变速器”的示意图，它由固定于主动轴上的平盘和可随从动轴移动的圆柱形滚轮组成．由于摩擦的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动，如果认为滚轮不会打滑，那么主动轴转速n1、 图从动轴转速n2、滚轮半径r以及滚轮距离主动轴中心的距离x之间的关系是( )
A．n2＝n1eq \f(x,r) B．n2＝n1eq \f(r,x)
C．n2＝n1eq \f(x2,r2) D．n2＝n1eq \r(\f(x,r))
【答案】 A
【解析】不打滑、线速度相同，即2πn1x＝2πn2r，所以n2＝n1eq \f(x,r)，A对．
2.(多选)随着交通的发展，旅游才真正变成一件赏心乐事，各种“休闲游”“享乐游”纷纷打起了宣传的招牌。某次旅游中游客乘坐列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道过程中，游客发现车厢顶部悬挂玩具小熊的细线稳定后与车厢侧壁平行，同时观察放在桌面(与车厢底板平行)上水杯内的水面，已知此弯道路面的倾角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是( )
A．列车转弯过程中的向心加速度为gtan θ，方向与水平面的夹角为θ
B．列车的轮缘与轨道无侧向挤压作用
C．水杯与桌面间无摩擦
D．水杯内水面与桌面不平行
【答案】 BC
【解析】设玩具小熊的质量为m，则玩具小熊受到的重力mg、细线的拉力FT的合力提供玩具小熊随列车做水平面内圆周运动的向心力F(如图)，
有mgtan θ＝ma，可知列车在转弯过程中的向心加速度大小为a＝gtan θ，方向与水平面平行，A错误；列车的向心加速度由列车的重力与轨道的支持力的合力提供，故列车的轮缘对轨道无侧向挤压作用，B正确；水杯的向心加速度由水杯的重力与桌面的支持力的合力提供，则水杯与桌面间的静摩擦力为零，C正确；水杯内水面取一微小质量元，此微元受到的重力与支持力的合力产生的加速度大小为a＝gtan θ，可知水杯内水面与水平方向的倾斜角等于θ，与桌面平行，D错误。
3. (2022·辽宁六校联考)四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动．如图甲所示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B球的绳较长)；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同(连接D球的绳较长)，则下列说法错误的是( )
A．小球A、B角速度相等
B．小球A、B线速度大小相同
C．小球C、D向心加速度大小相同
D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
【答案】 B
【解析】 对题图甲A、B分析：设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，小球A、B到悬点O的竖直距离为h，则mgtan θ＝mω2lsin θ，解得ω＝eq \r(\f(g,lcs θ))＝eq \r(\f(g,h))，所以小球A、B的角速度相等，线速度大小不相同，故A正确，B错误；对题图乙C、D分析：设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，绳长为L，绳上拉力为FT，则有mgtan θ＝ma，FTcs θ＝mg得a＝gtan θ，FT＝eq \f(mg,cs θ)，所以小球C、D向心加速度大小相同，小球C、D受到绳的拉力大小也相同，故C、D正确．
4.如图所示，质量相等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动，甲在乙的上方．则( )
A．球甲的角速度一定大于球乙的角速度
B．球甲的线速度一定大于球乙的线速度
C．球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期
D．球甲对筒壁的压力一定大于球乙对筒壁的压力
【答案】 B
【解析】 对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，设支持力与竖直方向夹角为θ，根据牛顿第二定律有mgtan θ＝meq \f(v2,R)＝mRω2，解得v＝eq \r(gRtan θ) ，ω＝eq \r(\f(gtan θ,R))，球甲的轨迹半径大，则球甲的角速度一定小于球乙的角速度，球甲的线速度一定大于球乙的线速度，故A错误，B正确；根据T＝eq \f(2π,ω)，因为球甲的角速度一定小于球乙的角速度，则球甲的运动周期一定大于球乙的运动周期，故C错误；因为支持力FN＝eq \f(mg,cs θ)，结合牛顿第三定律，球甲对筒壁的压力一定等于球乙对筒壁的压力，故D错误．
5.如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．a、b 两小球都是所受合外力充当向心力
B．a、b两小球圆周运动的半径之比为tan θ
C．b小球受到的绳子拉力为eq \f(mg,cs θ)
D．a小球运动到最高点时受到的绳子拉力为eq \f(mg,sin θ)
【答案】 C
【解析】 小球a速度变化，只有在最低点时所受合外力充当向心力，而小球b做匀速圆周运动，所受合外力充当向心力，故A错误；由几何关系可知，a、b两小球圆周运动的半径之比为eq \f(1,sin θ)，故B错误；根据矢量三角形可得Fbcs θ＝mg，即Fb＝eq \f(mg,cs θ)，故C正确；a小球到达最高点时速度为零，将重力正交分解有Fa＝mgcs θ，故D错误．
6.(多选)如图所示，在水平转台上放置有轻绳相连的质量相同的滑块1和滑块2，转台绕转轴OO′以角速度ω匀速转动过程中，轻绳始终处于水平状态，两滑块始终相对转台静止，且与转台之间的动摩擦因数相同，滑块1到转轴的距离小于滑块2到转轴的距离．关于滑块1和滑块2受到的摩擦力f1和f2与ω2的关系图线，可能正确的是( )
【答案】 AD
【解析】 两滑块的角速度相同，根据向心力公式F向＝mω2r，考虑到两滑块质量相同，滑块2的运动半径较大，受到的摩擦力较大，故滑块2先达到最大静摩擦力．再继续增大角速度，在增加同样的角速度的情况下，对滑块1、2分别有T＋f1＝mω2R1，T＋f2＝mω2R2，随着角速度ω的增大，绳子拉力T增大，由于R2>R1，故滑块2需要的向心力更大，故绳子拉力增大时滑块1的摩擦力反而减小，且与角速度的平方呈线性关系，故A、D正确．
7.(多选)如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO′转动．三个物体与圆盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．三个物体与轴O共线且OA＝OB＝BC＝r，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力．当圆盘从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，则对于这个过程，下列说法正确的是( )
A．A、B两个物体同时达到最大静摩擦力
B．B、C两个物体的静摩擦力先增大后不变，A物体所受的静摩擦力先增大后减小再增大
C．当ω2> eq \r(\f(μg,r))时整体会发生滑动
D．当 eq \r(\f(μg,2r)) eq \r(\f(μg,r))时整体会发生滑动，故A错误，B、C正确；当eq \r(\f(μg,2r))an＝30 m/s2>eq \r(30) m/s2，故A错误。小球从初始位置到最高点过程，根据动能定理，有：－mglsinα＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)；解得：v1＝eq \r(v\\al(2,0)－2glsin30°)＝eq \r(32－2×10×0.30×\f(1,2)) m/s＝eq \r(6) m/s；考虑临界情况，如果在最高点杆没有弹力，小球重力沿斜面的分力提供向心力，有：mgsinα＝meq \f(v\\al(2,2),l)，解得：v2＝eq \r(glsin30°)＝eq \f(\r(6),2)＜v1，说明小球达到最高点时杆对小球有拉力作用，即杆对小球的弹力沿斜面向下，故B错误。在最高点时，轻杆对小球的弹力是拉力，故F＋mgsinα＝meq \f(v\\al(2,最高),l)，如果初速度增大，则在最高点速度也增大，故拉力F一定增大，C正确，D错误。
12．半径为R的水平圆台可绕通过圆心O的竖直光滑细轴CC′转动，如图所示。圆台上沿相互垂直的两个半径方向刻有槽，质量为mA的物体A放在一个槽内，A与槽底间的动摩擦因数为μ0，质量为mB的物体B放在另一个槽内，此槽是光滑的，A、B间用一长为l(l