2023-2024学年甘肃省武威二十二中八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省武威二十二中八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在平面直角坐标系中，点P(−2,3)关于y轴对称的点的坐标为( )
A. (2,−3)B. (−2,−3)C. (3,−2)D. (2,3)
2.下列四个图案中，不是轴对称图案的是( )
A. B. C. D.
3.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A=∠B+∠CB. a：b：c=5：12：13
C. a2=(b+c)(b−c)D. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
4.若一个等腰三角形的顶角为110∘，则它的一个底角的度数为( )
A. 70∘B. 45∘C. 35∘D. 25∘
5.如图，AB//DE，点B，C，D在同一直线上，若∠BCE=55∘，∠E=25∘，则∠B的度数是( )
A. 55∘B. 30∘C. 25∘D. 20∘
6.若从n边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则n的值是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
7.如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是( )
A. AB=ACB. DB=DCC. ∠ADB=∠ADCD. ∠B=∠C
8.如图，△ABC≌△DEF，若∠A=130∘，∠FED=15∘，则∠C等于( )
A. 15∘B. 25∘C. 35∘D. 45∘
9.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是( )
A. (a+2)(a−2)=a2−4B. x2+x−1=(x−1)(x+2)+1
C. ax+bx+c=x(a+b)+cD. a2b−ab2=ab(a−b)
10.某校举办以“晋魂”为主题的综合实践活动，组织八年级学生去距离学校20km的山西博物院参观.其中一名老师带学生乘坐大巴车先走，过了10min，另一名老师乘坐小轿车出发，结果他们同时到达.已知小轿车的速度是大巴车速度的1.5倍，求大巴车的速度.若设大巴车的速度为xkm/h，则可列方程为( )
A. 201.5x−20x=10B. 20x−201.5x=10C. 20x−201.5x=16D. 201.5x−20x=16
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.要使分式x+1x−2有意义，则x应满足的条件是______.
12.一个多边形的内角和是1080∘，这个多边形的边数是______.
13.如图，已知△ABC≌△BAD，∠C=30∘，∠DBA=100∘，则∠BAD的度数为______.
14.三角形两条边分别是2cm和7cm，当周长为偶数时，第三边为______cm.
15.如图，在△ABC中，BC=9cm，CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC于点E，DE=2cm.则△BCD的面积为______cm2.
16.已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为12，若AB=5，BC=4，AC=______.
17.若am=4，an=3，则a2m+n的值为______.
18.若分式x−12x−4的值为0，则x的值为______.
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
分解因式：
(1)3x2−12；
(2)x2y−2xy+y.
20.(本小题8分)
解方程：
(1)2x+13−x=−1；
(2)2x2−1−1x2+x=0.
21.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,2)，B(2,0)，C(5,3).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)试说明△ABC是直角三角形；
(3)已知点P在x轴上，若S△PBC=12S△ABC，求点P的坐标.
22.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，∠C=36∘，DE⊥AC于点D，且DE=BE，求∠BAE的度数.
23.(本小题6分)
先化简、再求值：mm2−9÷(1+3m−3)，其中其中m= 5−3.
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M.
(1)求证：△CDM是等腰三角形；
(2)若AB=10，AC=8，求CM的长度.
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF//BC交AB于点F.
(1)若∠C=38∘，求∠BAD的度数；
(2)求证：FB=FE.
26.(本小题8分)
某学校打算购买甲、乙两种不同类型的笔记本.已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样.求甲、乙两种类型笔记本的单价.
27.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD.
(1)求证：△AEB≌△CFD；
(2)若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：点P(−2,3)关于y轴对称的点的坐标为(2,3).
故选：D.
根据点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(−x,y)易得到点P(−2,3)关于y轴对称的点的坐标为(2,3).
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标：点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,−y)，关于y轴对称的点的坐标为(−x,y).
2.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D能找到一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项C不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：C.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】D
【解析】解：A、∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180∘，
∴∠A=90∘.
∴△ABC为直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵a：b：c=5：12：13
∴设a=5x，b=12x，c=13x，
∵(5x)2+(12x)2=(13x)2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵a2=(b+c)(b−c)，即a2=b2−c2，
∴b2=a2+c2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5
∴设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，
3x+4x+5x=180∘，
解得：x=15∘，
最大角=5x=75∘，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D.
本题考查了三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误．
4.【答案】C
【解析】解：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=110∘，∠A+∠B+∠C=180∘，
∴∠B=∠C=35∘，
故选：C.
根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，能根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C是解此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵∠BCE=55∘，∠E=25∘，∠BCE=∠E+∠D，
∴∠D=∠BCE−∠E=55∘−25∘=30∘，
∵AB//DE，
∴∠B=∠D，
∴∠B=30∘，
故选：B.
根据三角形外角和内角的关系，可以得到∠D的度数，再根据平行线的性质，可以得到∠D=∠B，从而可以得到∠B的度数．
本题考查平行线的性质、三角形外角和内角的关系，解答本题的关键是求出∠D的度数．
6.【答案】D
【解析】解：设多边形有n条边，
则n−3=4，
解得n=7，
故选：D.
根据n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线，可得n−3=5，求出n的值．
本题考查了多边形的对角线，熟记n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中选项B，DB=DC与∠1=∠2、AD=AD组成了SSA是不能判定三角形全等的.
【解答】
解：∵AB=AC，∴在△ABD和△ACD中，AB=AC∠1=∠2AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，故A选项正确.
当DB=DC时，AD=AD，∠1=∠2，此时两对应边相等，但夹角不对应相等，故B选项错误.
∵∠ADB=∠ADC， ∴在△ABD和△ACD中，∠1=∠2AD=AD∠ADB=∠ADC，
∴△ABD≌△ACD(ASA)，故C选项正确.
∵∠B=∠C， ∴在△ABD和△ACD中，∠B=∠C∠1=∠2AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，故D选项正确.
故选B.
8.【答案】C
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，∠FED=15∘，
∴∠B=∠DEF=15∘，
∴∠C=180∘−∠B−∠A=180∘−15∘−130∘=35∘，
故选：C.
根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：A、(a+2)(a−2)=a2−4，从左到右的变形是整式的乘法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、x2+x−1=(x−1)(x+2)+1，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、ax+bx+c=x(a+b)+c，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、a2b−ab2=ab(a−b)，从左到右的变形，是因式分解，故此选项符合题意．
故选：D.
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，直接利用因式分解的定义分析得出答案．
考查了因式分解，正确把握因式分解的定义是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵小轿车的速度是大巴车速度的1.5倍，且大巴车的速度为xkm/h，
∴小轿车的速度为1.5xkm/h.
根据题意得：20x−201.5x=1060，
即20x−201.5x=16.
故选：C.
根据小轿车及大巴车速度间的关系，可得出小轿车的速度为1.5xkm/h，利用时间=路程÷速度，结合大巴车比小轿车多用10min，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11.【答案】x≠2
【解析】解：依题意得：x−2≠0，
解得x≠2；
故答案为：x≠2.
分母不为零即可．
本题考查分式有意义的条件，掌握分母不等于零是解题的关键．
12.【答案】8
【解析】【分析】
此题主要考查了多边形内角和公式．
根据多边形内角和公式列方程，再解方程即可．
【解答】
解：设多边形边数为n，由题意得：
180∘⋅(n−2)=1080∘，
解得：n=8，
故答案为：8.
13.【答案】50∘
【解析】解：∵△ABC≌△BAD，∠C=30∘，
∴∠D=∠C=30∘，
∵∠DBA=100∘，
∴∠BAD=180∘−∠D−∠DBA=180∘−30∘−100∘=50∘，
故答案为：50∘.
根据全等三角形的性质得出∠D=∠C=30∘，再根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的对应角相等是解此题的关键．
14.【答案】7
【解析】【分析】
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边.根据三角形的三边关系定理可得第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．进而得到c的取值范围，再根据题目要求确定出具体数值即可.
【解答】
解：根据三角形的三边关系定理可得：7−2即5当周长为偶数时，第三边长为7cm，
故答案为7.
15.【答案】9
【解析】解：作DF⊥BC于F，
∵CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC，
∴DF=DE=2cm，
∴△BCD的面积=12BC⋅DF=12×9×2=9(cm2).
故答案为：9.
作DF⊥CB于F，应用角平分线的性质求出DF的长，由三角形的面积公式即可求解．
本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是作DF⊥BC于F，应用角平分线的性质．
16.【答案】3
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12，
∴△ABC的周长为12，又AB=5，BC=4，
∴AC=3，
故答案为：3.
根据全等三角形的周长相等求出△ABC的周长，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的周长相等，面积相等是解题的关键．
17.【答案】48
【解析】解：∵am=4，an=3，
∴a2m+n=a2m⋅an=(am)2⋅an=42×3=48，
故答案为：48.
直接利用同底数幂的乘法以及幂的乘方的运算将原式变形为(am)2⋅an，代入数值进行计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方的运算，熟练掌握相关运算法则是解此题的关键．
18.【答案】1
【解析】解：∵分式x−12x−4的值为0，
∴x−1=0且2x−4≠0，
解得x=1，
故答案为：1.
直接利用分式的值为零的条件：分子为零，而分母不为零，即可得出结论．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的定义是解题的关键．
19.【答案】解：(1)3x2−12
=3(x2−4)
=3(x+2)(x−2)；
(2)x2y−2xy+y
=y(x2−2x+1)
=y(x−1)2.
【解析】(1)先提公因式，然后再用平方差公式分解因式；
(2)先提公因式，然后再用完全平方公式分解因式．
本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．
20.【答案】解：(1)2x+13−x=−1，
方程两边同时乘以(3−x)，得：
2x+1=−3+x，
解得：x=−4，
检验：当x=−4时，3−x≠0，
∴原方程的解是x=−4；
(2)2x2−1−1x2+x=0，
方程两边同时乘以x(x+1)(x−1)，得：
2x−(x−1)=0，
解得x=−1，
检验：当x=−1时，x(x+1)(x−1)=0，
∴x=−1是原方程的增根，
∴原方程无解．
【解析】(1)按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答；
(2)按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须要检验．
21.【答案】解：(1)如图；△A1B1C1为所求，
(2)∵AB2=22+22=8，AC2=(3−2)2+52=26，BC2=(5−2)2+32=18，
∴AB2+BC2=8+18=26=AC2，
∴△ABC是直角三角形；
(3)S△ABC=3×5−12×2×2−12×(5−2)×3−12×(3−2)×5=6，
设P点坐标为(t,0)，
∵S△PBC=12S△ABC，
∴12×3×|t−2|=12×6=3，
∴t−2=±2，
∴t=0或t=4，
∴P点坐标为(0,0)或(4,0).
【解析】(1)根据平面直角坐标系中关于坐标轴为对称点的特点可直接得到结果；
(2)根据勾股定理求出AB2，AC2，BC2，再根据勾股定理的逆定理即可证得结论；
(3)先求出S△ABC=6，设P点坐标为(t,0)，根据三角形面积公式得到12×5×|t−2|=12×6=3，然后求出t的值，则可得到P点坐标．
本题主要考查了平面直角坐标系，勾股定理及逆定理，三角形的面积公式，能够利用点的坐标求线段的长是解决问题的关键．
22.【答案】解：∵∠B=90∘，∠C=36∘
∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=180∘−90∘−36∘=54∘，
又∵DE⊥AC且DE=BE，
∴AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=12×54∘=27∘.
【解析】先由∠B=90∘，∠C=36∘根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由DE⊥AC且DE=BE得出AE平分∠BAC，即可求得答案．
本题主要考查角平分线性质的逆定理，解题的关键是掌握相关运算．
23.【答案】解：原式=m(m+3)(m−3)÷m−3+3m−3
=m(m+3)(m−3)⋅m−3m
=1m+3，
当m= 5−3时，
原式=1 5−3+3=1 5= 55.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵∠ACB=90∘，CE⊥AB，
∴∠CBD+∠CDB=90∘，∠ABD+∠BME=90∘，
∵∠BME=∠CMD，
∴∠ABD+∠CMD=90∘，
∴∠CDB=∠CMD，
∴CM=CD，
∴△CDM是等腰三角形；
(2)解：作DF⊥AB于点F，如图所示，
∵∠DCB=90∘，BD平分∠ABC，
∴DC=DF，
∵∠ACB=90∘，AB=10，AC=8，
∴BC= AB2−AC2= 102−82=6，
∵S△ABC=S△BCD+S△ADB，
∴AC⋅BC2=BC⋅CD2+AB⋅DF2，
即8×62=6CD2+10DF2，
解得CD=DF=3，
由(1)知：CM=CD，
∴CM=3，
即CM的长度为3.
【解析】(1)根据题意和图形，可以求得∠CDM=∠CMD，然后即可证明结论成立；
(2)根据勾股定理可以求得BC的长，再根据等面积法和等腰三角形的性质，即可求得CM的长．
本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25.【答案】解：(1)∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=38∘，
∵D为BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90∘，
∴∠BAD=90∘−∠ABC=90∘−38∘=52∘.
(2)∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF=∠EBC，
∵EF//BC，
∴∠EBC=∠BEF，
∴∠EBF=∠FEB，
∴BF=EF.
【解析】(1)利用等腰三角形三线合一的性质即可得到∠ADB=90∘，再利用等腰三角形的性质即可求出∠ABC的度数．
(2)只要利用角平分线的定义和平行线的性质证明∠FBE=∠FEB，即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
26.【答案】解：设甲类型笔记本的单价为x元，则乙类型笔记本的单价为(x+1)元，
由题意得：110x=120x+1，
解得：x=11，
经检验，x=11是原方程的解，且符合题意，
∴x+1=11+1=12，
答：甲类型笔记本的单价为11元，乙类型笔记本的单价为12元．
【解析】设甲类型笔记本的单价为x元，则乙类型笔记本的单价为(x+1)元，根据用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．列出分式方程，解方程即可．
本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
27.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，AB=CD.
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=12AD，FC=12BC.
∴AE=CF.
在△AEB与△CFD中，
AE=CF∠A=∠CAB=CD，
∴△AEB≌△CFD(SAS)；
(2)解：∵四边形EBFD是菱形，
∴BE=DE.
∴∠EBD=∠EDB.
∵AE=DE，
∴BE=AE.
∴∠A=∠ABE.
∵∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE=180∘，
∴∠ABD=∠ABE+∠EBD=12×180∘=90∘.
【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的性质、三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度中等．
(1)根据平行四边形的性质和已知条件证明即可；
(2)由题意易得BE=DE=AE，因为∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE=180∘，所以∠ABD=∠ABE+∠EBD=12×180∘=90∘，问题得解．