2023-2024学年内蒙古鄂尔多斯市伊金霍洛旗八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古鄂尔多斯市伊金霍洛旗八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2023年10月8日，第19届亚运会闭幕式在杭州奥体中心体育场举行，下面是四届亚运会的会徽，其中图案(除放射16道光芒的红日和文字外)是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为0.000052m.将数据0.000052用科学记数法表示为( )
A. 5.2×10−5B. 5.2×10−6C. 0.52×10−4D. 52×10−6
3.下列运算正确的是( )
A. 3a+2a=5a2B. −8a2÷4a=2aC. (−2a2)3=−8a6D. 4a3⋅3a2=12a6
4.若多项式9x2−mx+4是一个完全平方式，则m的值为( )
A. 12B. ±12C. 6D. ±6
5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于12DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG=1，AC=4，则△ACG的面积是( )
A. 1B. 32C. 2D. 52
6.如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36∘，∠C=76∘，则∠DAE的度数为( )
A. 40∘B. 20∘C. 18∘D. 38∘
7.如图，在△ABC中，AB=AC，点M在CA的延长线上，MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO=3，BO=4，则MC的长度为( )
A. 12
B. 9
C. 10
D. 11
8.某机床厂原计划在一定期限内生产240套机床，在实际生产中通过改进技术，结果每天比原计划多生产4套，并且提前5天完成任务．设原计划每天生产x套机床，根据题意，下列方程正确的是( )
A. 240x+5=240x+4B. 240x−5=240x+4C. 240x+5=240x−4D. 240x−5=240x−4
9.如图，在△ABC中，CP平分∠ACB，AP⊥CP于点P，已知△ABC的面积为12cm2，则阴影部分的面积为( )
A. 6cm2
B. 8cm2
C. 10cm2
D. 12cm2
10.如图，∠MON=30∘，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，依此类推，若OA1=1，则△A2016B2016A2017的边长为( )
A. 2016B. 4032C. 22016D. 22015
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若m⋅22=24，则m=______.
12.代数式x2−x+3的值为5，则代数式2x2−2x+4值为______.
13.若分式|x|−1x−1的值为0，则x=______.
14.一个正多边形的边长为2，每个内角为135∘，则这个多边形的周长是______.
15.如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，延长BC到点E，使CE=1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为______.
16.如图，已知△ABC是等边三角形，BD=CD，E是边AC上的点，DE//AB，与BC交于点F.下面四个结论：①连结AD，则AD垂直平分线段BC；②△CEF是等边三角形；③若AB=8，CE=2，则CF=4；④若∠CBD=40∘，则∠EDC=10∘，其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)解方程：1−13x−1=56x−2；
(2)先化简(x2x+3−x+3)÷x2−9x2+6x+9，再从−3，0，3中选择合适的x值代入求值.
18.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2,4).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)求△A1B1C1的面积；
(3)在x轴上找一点P，使PB+PC的和最小.(标出点P即可，不用求点P的坐标)
19.(本小题7分)
如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的方法拼成一个边长为(2a+2b)的正方形.
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积.
方法1：______；方法2：______.
(2)观察图②，直接写出(a+b)2，(a−b)2，ab三个代数式之间的等量关系；
(3)根据(2)中你发现的等量关系，解决如下问题：若m+2n=8，mn=72，求m−2n的值.
20.(本小题8分)
已知：如图，点D是△ABC的边AC上的一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，再过点D作DG//AB，交BC于点G，且DE=DF.
(1)求证：DG=BG；
(2)当D点是AC边的中点时，求证：BD⊥AC.
21.(本小题10分)
某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．
(1)甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
(2)商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？
22.(本小题11分)
(1)问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，分别连接BD，CE.求证：BD=CE.
(2)类比探究：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90∘，B，C，D在同一条直线上.请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由.
(3)问题解决：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90∘，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，若AE=7，BE=2，请直接写出四边形ABEC的面积.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B、C、D中的图形不是轴对称图形，故B、C、D不符合题意；
A中的图形是轴对称图形，故A符合题意．
故选：A.
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2.【答案】A
【解析】解：0.000052=5.2×10−5；
故选：A.
由科学记数法a×10n中a与n的意义即可得答案．
本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、3a+2a=5a，故此选项错误；
B、−8a2÷4a=−2a，故此选项错误；
C、(−2a2)3=−8a6，正确；
D、4a3⋅3a2=12a5，故此选项错误；
故选：C.
直接利用合并同类项法则以及幂的乘方和积的乘方运算法则、整式的乘除运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵9x2−mx+4是一个完全平方式，
∴−m=±12，
∴m=±12.
故选：B.
利用完全平方公式的结构特征解答即可．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了角平分线的性质．
利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
【解答】
解：由作法得AG平分∠BAC，
∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，
所以△ACG的面积=12×4×1=2.
故选：C.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质，△ABC中已知∠B=36∘，∠C=76∘，就可知道∠BAC的度数，则∠BAD就可求出；利用三角形外角性质求出∠ADE，∠DAE是直角三角形ADE的一个内角，则∠DAE=90∘−∠ADE.
【解答】
解：∵△ABC中已知∠B=36∘，∠C=76∘，
∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=68∘，
∵AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，
∴∠BAD=∠DAC=34∘，∠AED=90∘，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=70∘，
∴∠DAE=90∘−∠ADE=20∘.
故选B.
7.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵MN⊥BC，
∴∠MNC=∠MNB=90∘，
∴∠B+∠BON=90∘，∠C+∠M=90∘，
∴∠M=∠BON，
∵∠BON=∠MOA，
∴∠M=∠MOA，
∴AM=AO=3，
∵BO=4，
∴AB=AC=AO+BO=7，
∴MC=AM+AC=10，
故选：C.
根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再根据垂直定义可得∠MNC=∠MNB=90∘，从而可得∠B+∠BON=90∘，∠C+∠M=90∘，然后利用等角的余角相等可得∠M=∠BON，再根据对顶角相等可得∠BON=∠MOA，从而可得∠M=∠MOA，进而可得AM=AO=3，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：实际用的时间为：240x+4，
原计划用的时间为：240x，
则方程可表示为：240x−5=240x+4.
故选B.
关键描述语为：提前5天完成任务．等量关系为：原计划用的时间−5=实际用的时间．
找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．
9.【答案】A
【解析】解：延长AP交BC于D，
∵CP平分∠ACB，
∴∠ACP=∠DCP，
∵AP⊥CP，
∴∠APC=∠DPC=90∘，
在△ACP与△DCP中，
∠ACP=∠DCPCP=CP∠APC=∠DPC，
∴△ACP≌△DCP(ASA)，
∴AP=DP，
∴S△ABP=12S△ABD，S△ACP=12S△ACD，
∴阴影部分的面积=12S△ABC=12×12=6(cm2)，
故选：A.
延长AP交BC于D，根据角平分线的定义得到∠ACP=∠DCP，由垂直的定义得到∠APC=∠DPC=90∘，根据全等三角形的性质得到AP=DP，于是得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查等边三角形的性质和含30∘角的直角三角形的性质，根据条件找到等边三角形的边长和OA1的关系是解题的关键．根据等边三角形的性质和∠MON=30∘，可求得∠OB1A2=90∘，可求得OA2=2OA1=2，同理可求得OAn+1=2OAn=4OAn−1=…=2n−1OA2=2nOA1=2n，再结合含30∘角的直角三角形的性质可求得△AnBnAn+1的边长，于是可得出答案．
【解答】
解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2=60∘，
∵∠MON=30∘，
∴∠OB1A2=90∘，可求得OA2=2OA1=2，
同理可求得OAn+1=2OAn=4OAn−1=…=2n−1OA2=2nOA1=2n，
在△OBnAn+1中，∠O=30∘，∠BnAn+1O=60∘，
∴∠OBnAn+1=90∘，
∴BnAn+1=12OAn+1=12×2n=2n−1，
即△AnBnAn+1的边长为2n−1，
∴△A2016B2016A2017的边长为22016−1=22015，
故选D.
11.【答案】4
【解析】解：∵m⋅22=24，
∴m=22=4.
故答案为：4.
利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12.【答案】8
【解析】解：∵x2−x+3=5，
∴2x2−2x+4
=2(x2−x+3)−2
=2×5−2
=10−2
=8
故答案为：8.
首先把2x2−2x+4化成2(x2−x+3)−2，然后把x2−x+3=5代入，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
13.【答案】−1
【解析】解：∵分式|x|−1x−1的值为0，
∴|x|−1=0且x−1≠0，
解得：x=−1.
故答案为：−1.
直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
14.【答案】16
【解析】解：∵正多边形的每个内角为135∘，
∴每个外角是180∘−135∘=45∘，
∵多边形的边数为：360÷45=8，
则这个多边形是八边形，
∴这个多边形的周长=2×8=16，
故答案为：16.
一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，求得多边形的边数，即可得到结论．
本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为(n−2)×180∘；n边形的外角和为360∘.
15.【答案】2或7
【解析】分点P在AB和CD上两种情况讨论即可．
解：∵△DCE是直角三角形，
∴△PBC为直角三角形，
∴点P只能在AB上或者CD上，
①当点P在AB上时，△PBC≌△ECD，有BP=CE，
∴BP=CE=1，
∴AP=AB−BP=3−1=2，
∴t=2÷1=2，
②当点P在CD上时，△PBC≌△EDC，有CP=CE=1，
∴t=(3+3+1)÷1=7，
故答案为：2或7.
本题主要考查三角形全等的判定，关键是要考虑到点P的两种情况，牢记三角形全等的性质．
16.【答案】①②
【解析】解：如图，连接AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=∠ECF=60∘，
∵BD=CD，
∴点A、D都在线段BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分线段BC；故①正确；
∵DE//AB，
∴∠ABC=∠EFC=60∘，∠CEF=∠CAB=60∘，
∴△CEF是等边三角形，故②正确；
∵△CEF是等边三角形，CE=2，
∴CF=2，故③错误，
∵BD=CD，∠CBD=40∘，
∴∠DCB=∠DBC=40∘，
∵∠EFC=60∘，
∴∠CDE=∠EFC−∠DCB=60∘−40∘=20∘，故④错误；
故答案为：①②．
由等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质分别对各个结论进行判断即可．
本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、平行线的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)解方程：1−13x−1=56x−2，
1−13x−1=52(3x−1)，
2(3x−1)−2=5，
6x−2−2=5，
6x=9，
x=32.
检验：当x=32时，6x−2≠0，
所以，原分式方程的根为x=32；
(2)原式=(x2x+3−x2−9x+3)+((x+3)(x−3)(x+3)2
=9x+3×x+3x−3
=9x−3.
∵x=±3时，原分式无意义．
∴x只能为0，当x=0时，原式=−3.
【解析】(1)去分母转化为整式方程求解；
(2)先通分算括号内的，再算加法，化简后将有意义的x的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)△A1B1C1的面积=2×4−12×1×3−12×1×2−12×1×4=3.5；
(3)如图，点P即为所求．

【解析】(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)把三角形的面积考查矩形的面积截取周围的三个三角形面积即可；
(3)作点B关于x轴的对称点B′，连接CB′交x轴于点P，连接PB，点P即为所求．
本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
19.【答案】(a−b)2 (a+b)2−4ab
【解析】解：(1)方法一：由图可知，阴影部分是一个边长为(a−b)的正方形，则其面积为(a−b)2；
方法二：由图可知，阴影部分的面积可以看作是边长为a+b的正方形面积减去周围4个长方形的面积，
∴阴影部分面积为：(a+b)2−4ab；
故答案为：(a−b)2，(a+b)2−4ab；
(2)图②中两种方法表示的阴影部分面积相等，则(a−b)2=(a+b)2−4ab；
(3)由mn=72得：m⋅2n=7，
∴(m−2n)2=(m+2n)2−4m⋅2n=82−4x7=36
∴m−2n=±6.
(1)方法一：直接计算阴影部分面积；方法二：用大正方形面积减去四个长方形的面积；
(2)利用图②中两个阴暗部分面积相等即可得到三个代数式的等量关系；
(3)把mn=72变形为m⋅2n=7，则利用(2)中的等量关系即可求解．
本题考查了完全平方公式的几何背景，以及两个公式之间的关系，从整体与局部两种情况分析并写出面积的表达式是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：连接BD.
∵DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF，∴
∠ABD=∠DBC，
又∵DG//AB，
∴∠ABD=∠BDG，
∴∠BDG=∠DBC，
∴DG=BG；
(2)证明：由(1)∠ABD=∠DBC可知，∠EDB=∠FDB，
在△BDE与△BDF中，
∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，∠EDB=∠FDB，
∴△BDE≌△BDF，
∴BE=BF，DE=DF，
在△ADE与△CDF中，
∵AD=CD，ED=FD，∠AED=∠CFD=90∘，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=CF，
∴AB=CB，
又D为AC的中点，
∴BD垂直平分AC.
【解析】(1)连接BD，先根据DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF可知∠ABD=∠DBC，再根据DG//AB，即可得出∠ABD=∠BDG，进而可得出∠BDG=∠DBC，由等角对等边可知DG=BG；
(2)先根据(1)中∠ABD=∠DBC可知∠EDB=∠FDB，由全等三角形的判定定理可得出△BDE≌△BDF，再根据全等三角形的性质可得出BE=BF，DE=DF，同理证明△ADE≌△CDF，得出AE=CF，推出AB=CB，由等腰三角形三线合一即可得出．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定及性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
21.【答案】解：(1)设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，依题意有
78001.5x+30=6400x，
解得x=40，
经检验，x=40是原方程组的解，且符合题意，
1.5x=60.
答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件；
(2)6400x=160，
160−30=130(元)，
130×60%×60+160×60%×(40÷2)−160×[1−(1+60%)×0.5]×(40÷2)
=4680+1920−640
=5960(元)
答：售完这批T恤衫商店共获利5960元．
【解析】(1)可设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，根据甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，列出方程即可求解；
(2)先求出甲款型的利润，乙款型前面销售一半的利润，后面销售一半的亏损，再相加即可求解．
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE=∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)解：BD与CE的数量关系是BD=CE，位置关系是BD⊥CE；理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠ACE=∠ABC，
∵△ABC是等腰三角形且∠BAC=90∘，
∴∠ABC=∠ACB=45∘，
∴∠ACE=∠ABC=45∘，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45∘+45∘=90∘，
∴BD⊥CE；
(3)解：同(2)可得，△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE=2，
∵AE=7，
∴DE=AE−AD=7−2=5，
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME=12DE=52，
∵∠DCE=90∘，
∴DM=ME=CM=52，
∴AM=AD+DM=2+52=92，
∴AC= AM2+CM2= (92)2+(52)2= 1062=BC，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12× 1062× 1062=534，
∵S△BCE=S△ACD=12AD⋅CM=12×2×52=52，
∴S四边形ABEC=S△ABC+S△BCE=534+52=634，
∴四边形ABEC的面积为634.
【解析】(1)由∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，即可证△ABD≌△ACE(SAS)，从而BD=CE；
(2)由∠BAC=∠DAE=90∘，得∠BAD=∠CAE，即可证△ABD≌△ACE(SAS)，有BD=CE，∠ACE=∠ABC，而△ABC是等腰三角形且∠BAC=90∘，知∠ABC=∠ACB=45∘，故∠ACE=∠ABC=45∘，即可得∠BCE=∠ACB+∠ACE=45∘+45∘=90∘，BD⊥CE；
(3)同(2)得，△ACD≌△BCE(SAS)，故AD=BE=2，DE=AE−AD=7−2=5，因CM⊥DE，有DM=ME=CM=52，求出AM=AD+DM=2+52=92，AC= AM2+CM2= 1062=BC，即得S△ABC=12AC⋅BC=12× 1062× 1062=534，又S△BCE=S△ACD=12AD⋅CM=12×2×52=52，可得S四边形ABEC=S△ABC+S△BCE=534+52=634.
本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，三角形面积公式等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．