2023-2024学年四川省德阳市中江县八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年四川省德阳市中江县八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A. 2cm，3cm，5cmB. 5cm，6cm，11cmC. 1cm，1cm，3cmD. 3cm，7cm，9cm
2.下列安全图标不是轴对称图形的是( )
A. 注意安全B. 水深危险
C. 必须戴安全帽D. 注意通风
3.某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为6.7×10nmm(n为负整数)，则n的值为( )
A. −5B. −6C. −7D. −8
4.将一副分别含有30∘和45∘角的两个直角三角板如图所示叠放在一起，则∠BFD的度数是( )
A. 10∘
B. 15∘
C. 25∘
D. 30∘
5.若(x+y)2=19，(x−y)2=3，则xy的值为( )
A. 4B. 16C. 8D. 15
6.下列计算正确的是( )
A. (a2+ab)÷a=a+bB. a2⋅a=a2
C. (a+b)2=a2+b2D. (a3)4=a7
7.某班组织学生参加植树活动，第一组植树12棵，第二组比第一组多6人，植树36棵，结果两组平均每人植树的棵树相等.设第一组学生有x人，则可列方程为( )
A. 12x=36x−6B. 12x=36x+6C. 36x=12x+6D. 36x=12x−6
8.如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是( )
A. △ABD和△CDB的面积相等
B. △ABD和△CDB的周长相等
C. ∠A+∠ABD=∠C+∠CBD
D. AD//BC，且AD=BC
9.如图，将△ABC纸片沿DE折叠使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C=114∘，则∠1+∠2的大小为( )
A. 66∘
B. 48∘
C. 96∘
D. 132∘
10.如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB=140∘，则∠AIB的大小为( )
A. 160∘
B. 140∘
C. 130∘
D. 125∘
11.已知a=2023x+2022，b=2023x+2023，c=2023x+2024，则a2+b2+c2−ab−ac−bc的值是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
12.若关于x的不等式组3x+54≤x+32x+12>x+a2无解，且关于y的分式方程5−ay2−y−1=3y−2有整数解，则满足条件的所有整数a的和为( )
A. 10B. 12C. 16D. 14
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。
13.点P(−2,1)关于y轴的对称点P′的坐标是______.
14.已知等腰三角形的一个底角为70∘，则它的顶角度数为______.
15.若3x−y=1，则代数式8x÷2y÷2的值为______.
16.当x为______时，分式x2−9(2x+1)(x−3)的值为0.
17.如果(x−2)(x2+3mx−5)的乘积中不含x2项，则m=______.
18.如图，在∠AOB的边OA，OB上取点M，N，连接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN=2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是8，则△OMN的周长是______.
19.如图，△ABC中，∠BAC=90∘，AB=22，AC=28，点P以每秒1个单位的速度按B−A−C的路径运动，点Q以每秒2个单位的速度按C−A−B的路径运动，在运动过程中过点P作PF⊥l于点F，点Q作QG⊥l于点G，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动.设运动t秒时△PFA≌△AGQ，则t的值是______.
三、解答题：本题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题12分)
分解因式：
(1)x3−4x；
(2)(x−y)2+2(x−y)+1；
化简：
(3)−3a⋅(2a−5a2b)−2ab⋅4a2.
21.(本小题12分)
解下列方程：
(1)12x=2x+3；
(2)x+1x−1+41−x2=1.
22.(本小题12分)
如图：在正方形网格上有一个△ABC.
(1)画出△ABC关于直线MN的对称图形△A1B1C1；
(2)△ABC的形状是______三角形；
(3)若在MN上存在一点Q，使得QA+QC最小，请在图中画出点Q的位置；
(4)若网格上最小正方形的边长为1，求△ABC的面积.
23.(本小题12分)
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，∠ACB=∠DFE=90∘，AB=DE，顶点F在BC上，边DF经过点C，点A，E在BC同侧，DE⊥AB.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若AC=11，EF=6，CF=4，求BD的长．
24.(本小题12分)
昨年德阳市某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，销售一段时间后，果然供不应求.商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元.
(1)该商家购进的第二批衬衫是多少件？
(2)若两批衬衫按相同的标价销售，第二批中最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？
25.(本小题14分)
【问题发现】(1)如图1，△ABC与△CDE中，∠B=∠E=∠ACD=90∘，AC=CD，B、C、E三点在同一直线上，AB=3，ED=4，则BE=______.
【问题提出】(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BC=4，过点C作CD⊥AC，且CD=AC，求△BCD的面积．
【问题解决】(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45∘，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、2+3=5，不能组成三角形，故A不符合题意；
B、5+6=11，不能组成三角形，故B不符合题意；
C、1+19，能组成三角形，故D符合题意．
故选：D.
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
2.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C均能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项D找不出这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D.
根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．
本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称图形的概念．
3.【答案】C
【解析】解：∵0.00000067mm=6.7×10−7mm=6.7×10nmm，
∴n=−7.
故选：C.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|x+a2，得x≤1x>a−1，
∵不等式组无解，
∴a−1≥1，
∴a≥2，
分式方程5−ay2−y−1=3y−2，
方程的两边同时乘(y−2)，
得，ay−5−y+2=3，
整理得，(a−1)y=6，
∴y=6a−1，
∵方程有整数解，
∴a−1=±1或±2或±3或±6，
∴a=2或a=0或a=3或a=−1或a=4或a=−2或a=7或a=−5，
∵a≥2，y≠2，
∴a≠4，
∴a=2或a=3或a=7，
∴所有a的和为2+3+7=12，
故选：B.
先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进而解决此题．
本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式方程的解法．
13.【答案】(2,1)
【解析】解：点P(−2,1)关于y轴的对称点P′的坐标是(2,1).
故答案为：(2,1).
根据关于y轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，求解即可．
本题考查的是关于y轴对称的点的坐标特征，熟知关于y轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键．
14.【答案】40∘
【解析】【分析】
此题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理：三角形的内角和为180∘.利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握．已知给出了一个底角为70∘，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180∘即可解本题．
【解答】解：因为其底角为70∘，
所以其顶角=180∘−70∘×2=40∘.
故答案为40∘.
15.【答案】1
【解析】解：8x÷2y÷2
=(23)x÷2y÷2
=23x÷2y÷2
=23x−y÷2，
已知3x−y=1，
则原式=2÷2=1，
故答案为：1.
利用幂的乘方将原式变形后代入数值计算即可．
本题考查幂的乘方，将原式进行正确的变形是解题的关键．
16.【答案】−3
【解析】解：由题意得x2−9=0且(2x+1)(x−3)≠0，
解得：x=−3，
故答案为：−3.
根据分式的值为零的条件，及分子为零，分母不等于零，据此列得x2−9=0且(2x+1)(x−3)≠0，由此求出答案．
此题考查分式值为零的条件，熟记分式值为零的要求是解题的关键．
17.【答案】23
【解析】解：(x−2)(x2+3mx−5)
=x3+3mx2−5x−2x2−6mx+10
=x3+(3m−2)x2−(5+6m)x+10
∵乘积中不含x2项，
∴3m−2=0，
解得m=23，
故答案为：23.
先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意二次项的系数等于0列式求解即可．
本题主要考查多项式与多项式的乘法，解题的关键是掌握多项式的乘法法则．
18.【答案】12
【解析】解：过P作PH⊥MN与H，PK⊥OB于K，PL⊥AO于L，连接PO，
∵PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，
∴PL=PH，PK=PH，
∴PL=PK，
∵MN=2，△PMN的面积=12MN⋅PH=2，
∴PH=2，
∴PK=PL=2，
∵△POM的面积=12OM⋅PL，△PON的面积=12ON⋅PK，
∴△OMN的面积+△PMN的面积=△POM的面积+△PON的面积=12(OM+ON)⋅PK=8+2=10，
∴OM+ON=10，
∴△OMN的周长=OM+ON+MN=10+2=12.
故答案为：12.
过P作PH⊥MN与H，PK⊥OB于K，PL⊥AO于L，连接PO，由角平分线的性质得到PL=PH，PK=PH，因此PL=PK，由三角形面积公式求出PH=2，得到PK=PL=2，由△OMN的面积+△PMN的面积=△POM的面积+△PON的面积=12(OM+ON)⋅PK=10，求出OM+ON=10，即可得到△OMN的周长=OM+ON+MN=10+2=12.
本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到PK=PL=2，由三角形面积公式求出OM+ON=10.
19.【答案】6或503
【解析】解：当P在AB上，Q在AC上时，
∴AP=AB−PB=22−t，AQ=AC−CQ=28−2t，
∵△PFA≌△AGQ，
∴AP=AQ，
∴22−t=28−2t，
∴t=6，
当P在AC上，Q在AB上时，
∴AQ=2t−28，AP=t−22，
∵△PFA≌△AGQ，
∴AQ=AP，
∴2t−28=t−22，
∴t=6，不符合题意，舍去；
当P、Q在AB上重合时，
∴t+2t=22+28，
∴t=503，
∴t=6或503.
故答案为：6或503.
当P在AB上，Q在AC上时，由△PFA≌△AGQ，推出AP=AQ，得到22−t=28−2t，求出t=6，当P在AC上，Q在AB上时，由△PFA≌△AGQ，推出AQ=AP，得到2t−28=t−22，求出t=6，不符合题意，舍去；当P、Q在AB上重合时，得到t+2t=22+28，求出t=503，于是得到t=6或503.
本题考查全等三角形的性质，关键是要分情况讨论．
20.【答案】解：(1)x3−4x
=x(x2−4)
=x(x+2)(x−2)；
(2)(x−y)2+2(x−y)+1
=(x−y+1)2；
(3)−3a⋅(2a−5a2b)−2ab⋅4a2
=−6a2+15a3b−8a3b
=−6a2+7a3b.
【解析】(1)先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可；
(2)根据完全平方公式分解因式即可；
(3)先根据单项式乘多项式和单项式乘单项式进行计算，再合并同类项即可．
本题考查了分解因式和整式的混合运算，能选择适当的方法分解因式是解(1)(2)的关键，能正确根据整式的运算法则进行计算是解(3)的关键．
21.【答案】解：(1)12x=2x+3
去分母，得x+3=4x，
得x=1，
检验：当x=1时，2x(x+3)≠0
∴原分式方程的解是x=1；
(2)x+1x−1+41−x2=1
去分母，得(x+1)2−4=x2−1，
整理得2x+1−4=−1，
∴x=1，
检验：当x=1时，(x+1)(x−1)=0，
∴原分式方程无解．
【解析】(1)先去分母，解整式方程，再检验即可；
(2)先去分母，解整式方程，再检验即可．
此题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键．
22.【答案】等腰直角
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)∵AC= 12+32= 10，BC= 12+32= 10，AB= 22+42=2 5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90∘，
∴△ACB是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角；
(3)如图，点Q即为所求；
(4)△ABC的面积=12× 10× 10=5.
(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用勾股定理的逆定理判断即可；
(3)连接AC1交直线MN于点Q，连接CQ，点Q即为所求；
(4)利用三角形的面积公式求解．
本题考查作图-轴对称变换，勾股定理，勾股定理的逆定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】证明：(1)∵∠ACB=90∘，DE⊥AB，
∴∠A+∠B=90∘，∠D+∠B=90∘，
∴∠A=∠D，
∵∠ACB=∠DFE=90∘，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(AAS)；
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，BC=EF，
若AC=11，EF=6，
∴DF=11，BC=6，
∵CF=4，
∴DC=DF−CF=11−4=7，
∴BD=DC+BC=7+6=13.
【解析】(1)根据全等三角形的判定方法解答即可；
(2)根据全等三角形的性质解答即可．
本题主要考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，确定用AAS定理进行证明是关键．
24.【答案】解：(1)设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有，
13200x+10=288002x，
解得x=120，
经检验，x=120是原方程的解，且符合题意．
2x=2×120=240(件)，
答：该商家购进的第二批衬衫是240件．
(2)3x=3×120=360，
设每件衬衫的标价y元，依题意有，
(360−50)y+50×0.8y≥(13200+28800)×(1+25%)，
解得y≥150.
答：每件衬衫的标价至少是150元．
【解析】(1)可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；
(2)设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．
25.【答案】7
【解析】解：(1)∵∠ACD=∠E=90∘，
∴∠ACB=90∘−∠DCE=∠D，
在△ABC和△CED中，
∠B=∠E∠ACB=∠DAC=CD，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴AB=CE=3，BC=ED=4，
∴BE=BC+CE=7；
故答案为：7；
(2)过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图：
∵DE⊥BC，CD⊥AC，
∴∠E=∠ACD=90∘，
∴∠ACB=90∘−∠DCE=∠CDE，
在△ABC和△CED中，
∠ABC=∠E=90∘∠ACB=∠CDEAC=CD，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴BC=ED=4，
∴S△BCD=12BC⋅DE=8；
(3)过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图：
∵△ACD面积为12且CD的长为6，
∴12×6⋅AE=12，
∴AE=4，
∵∠ADC=45∘，AE⊥CD，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE=4，
∴CE=CD−DE=2，
∵∠ABC=∠CAB=45∘，
∴∠ACB=90∘，AC=BC，
∴∠ACE=90∘−∠BCF=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
∠AEC=∠F=90∘∠ACE=∠CBFAC=BC，
∴△ACE≌△CBF(AAS)，
∴BF=CE=2，
∴S△BCD=12CD⋅BF=6.
(1)由∠ACD=∠E=90∘，得∠ACB=90∘−∠DCE=∠D，可证明△ABC≌△CED(AAS)，即得AB=CE=3，BC=ED=4，故BE=BC+CE=7；
(2)过D作DE⊥BC交BC延长线于E，由DE⊥BC，CD⊥AC，得∠E=∠ACD=90∘，即得∠ACB=90∘−∠DCE=∠CDE，可证明△ABC≌△CED(AAS)，得BC=ED=4，故S△BCD=12BC⋅DE=8；
(3)过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，由△ACD面积为12且CD的长为6，得AE=4，又∠ADC=45∘，AE⊥CD，得△ADE是等腰直角三角形，即得DE=AE=4，CE=CD−DE=2，根据∠ABC=∠CAB=45∘，可得∠ACB=90∘，AC=BC，即有∠ACE=90∘−∠BCF=∠CBF，即可证明△ACE≌△CBF(AAS)，从而BF=CE=2，故S△BCD=12CD⋅BF=6.
本题考查全等三角形的判定、性质及应用，涉及等腰直角三角形、四边形、三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形(K型全等).