2023-2024学年重庆市长寿区八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年重庆市长寿区八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若分式2a+1有意义，则a的取值范围是( )
A. a=0B. a=1C. a≠−1D. a≠0
2.下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. (ab)2=ab2B. 4a3÷3a3=aC. 3a3⋅4a3=12a3D. (a3)2=a6
4.如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=110∘，则∠BOD的度数是( )
A. 25∘
B. 35∘
C. 45∘
D. 55∘
5.工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C作射线OC.由此做法得△MOC≌△NOC的依据是( )
A. AASB. SASC. ASAD. SSS
6.已知实数x，y满足(x−4)(y−8)=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对
7.现有两根木棒，它们长分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，则下列四根木棒应选取( )
A. 10cm的木棒B. 40cm的木棒C. 90cm的木棒D. 100cm的木棒
8.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520∘，则原多边形的边数是( )
A. 17B. 16C. 15D. 16或15或17
9.据悉，成渝高速路复线将于今年底建成通车.成渝高速路复线全线长约250公里，比目前的成渝高速路里程缩短约90公里，设计时速提高20%，运行时间缩短1.5小时.设原时速为每小时x公里，则下面所列方程正确的是( )
A. 250+90x−250x(1+20%)=1.5B. 250+90x(1−20%)−250x=1.5
C. 250+9020%x−250x=1.5D. 250+90x−25020%x=1.5
10.如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合.下列结论中：①EF//AB；②∠BAF=∠CAF；③S四边形ADFE=12AF⋅DE；④∠BDF+∠FEC=2∠BAC.其中一定成立的有个.( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.因式分解：x2−9=__________.
12.计算：10a2b÷(−5ab)=______.
13.化简x2x−1+x1−x的结果为______.
14.若关于x的方程2x−2+x+m2−x=2无解，则m的值是______.
15.如图，在△ABC中，∠BAC=120∘，若DE，FG分别垂直平分AB和AC，则∠EAF=______.
16.如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是______.
17.在x轴上有点A(1,0)，在y轴上有点B(0,−1)，点C在坐标轴上，若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有______个.
18.对于任意的正整数n，所有形如n3+3n2+2n的数的最大公约数是______.
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解分式方程：32x−4+xx−2=12.
20.(本小题10分)
已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E.求证：BC=ED.
21.(本小题10分)
求(a−b)2+(−5a3b+8a2b2)÷4ab的值，其中|a−2|+ a−2b=0.
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CE⊥AB于点E，AD=AC，DF//BC交CE于点F，DF的延长线交AC于点G.求证：
(1)AE=AG.
(2)AF平分∠CAB.
23.(本小题10分)
长寿重百商场用50000元从外地购回一批T恤衫，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回是第一次进货件数3倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元，商场在出售时统一按每件80元的标价出售，为了缩短库存时间，最后的400件按6.5折处理并很快售完.
求：
(1)商场第一次购买了多少件T恤衫？
(2)商场在这两次生意中共盈利多少元？
24.(本小题10分)
先化简，再求值：
(xx2+2x−1)÷x+1x2−4，其中x是方程2x+1=1x−1的解.
25.(本小题10分)
如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足为D.AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.
(1)求证：CE=CF.
(2)将图(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图(2)所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．
26.(本小题10分)
如图，直线AC//BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAV、∠APB、∠PBD三个角.
(1)当动点P落在第①部分时，如图1，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
(2)当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？在图2中画出图形，若成立，写出推理过程，若不成立，直线写出这三个角之间的关系；
(3)当动点P落在第③部分时，延长BA，点P在射线BA的左侧和右侧时，分别探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间关系，在图3中画出图形，并直接写出相应的结论.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
根据分式有意义的条件进行解答．
本题考查了分式有意义的条件，要从以下两个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
【解答】
解：∵分式有意义，
∴a+1≠0，
∴a≠−1.
故选：C.
2.【答案】B
【解析】解：由图可知，选项B是轴对称图形，A、C、D不是轴对称图形．
故选：B.
根据轴对称图形的定义解答即可．
本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、(ab)2=a2b2，本选项错误，不符合题意；
B、4a3÷3a3=43，本选项错误，不符合题意；
C、3a3⋅4a3=12a6，本选项错误，不符合题意；
D、(a3)2=a6，正确，本选项符合题意．
故选：D.
根据积的乘法法则，单项式的乘除法则幂乘法法则一一计算判断即可．
本题考查整式是混合运算，解题的关键是掌握去括号法则，合并同类项法则．
4.【答案】D
【解析】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC=110∘，
∴∠AOC=12∠COE=55∘，
∴∠BOD=∠AOC=55∘.
故选：D.
根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，再根据对顶角相等即可求解．
本题主要考查了角平分线的定义以及对顶角相等的性质，认准图形是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
利用全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA、SSS对△MOC和△NOC进行分析，即可作出正确选择．
【解答】
解：∵OM=ON，CM=CN，OC为公共边，
∴△MOC≌△NOC(SSS).
故选：D.
6.【答案】B
【解析】解：∵(x−4)(y−8)=0，
∴x−4=0或y−8=0，
解得x=4，y=8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形；
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长=4+8+8=20.
所以，三角形的周长为20.
故选：B.
先根据(x−4)(y−8)=0求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，根ab=0则a=0或b=0，求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三角形的三边关系定理，即任意两边之和>第三边．根据三角形的三边关系求出第三边的取值范围，从而得出答案即可.
【解答】
解：已知三角形的两边是40cm和50cm，则
10cm<第三边<90cm.
故选40cm的木棒．
故选B.
8.【答案】D
【解析】[分析]
因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和公式即可解决问题．
本题考查多边形的内角与外角，解题的关键是掌握多边形内角和公式.
[详解]
解：多边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180∘(n≥3且n是整数)，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据(n−2)⋅180∘=2520∘解得：n=16，
则多边形的边数可能是15，16，17.
故选D.
9.【答案】A
【解析】解：设原时速为每小时x公里，提速后的时速为每小时(1+20%)x公里，
由题意得，250+90x−250x(1+20%)=1.5.
故选：A.
设原时速为每小时x公里，提速后的时速为每小时(1+20%)x公里，根据题意可得，提速后行驶250公里比提速前行驶(250+90)公里少用1.5小时，据此列方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
10.【答案】B
【解析】解：∵△ABC沿DE折叠点A与BC边的中点F重合，
∴AE=EF，AF⊥DE，∠ADE=∠EDF，∠AED=∠DEF，
只有AB=AC时，∠BAF=∠CAF=∠AFE，
EF//AB，故①②错误；
∵AF⊥DE，
∴S四边形ADFE=12AF⋅DE，故③正确；
由翻折的性质得，∠ADE=12(180∘−∠BDF)，∠AED=12(180∘−∠FEC)，
在△ADE中，∠ADE+∠AED+∠BAC=180∘，
∴12(180∘−∠BDF)+12(180∘−∠FEC)+∠BAC=180∘，
整理得，∠BDF+∠FEC=2∠BAC，故④正确．
综上所述，正确的是③④共2个．
故选：B.
根据翻折变换的性质可得AE=EF，AF⊥DE，∠ADE=∠EDF，∠AED=∠DEF，根据平行线的性质和等腰三角形三线合一的性质判断只有AB=AC时①②正确；根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半可得S四边形ADFE=12AF⋅DE，判断出③正确；根据翻折的性质和平角的定义表示出∠ADE和∠AED，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得到∠BDF+∠FEC=2∠BAC，判断出④正确．
本题考查了翻折变换的性质，主要利用了平行线判定，等腰三角形三线合一的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
11.【答案】(x+3)(x−3)
【解析】解：原式=(x+3)(x−3)，
故答案为：(x+3)(x−3).
【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式的特点是解本题的关键．
原式利用平方差公式分解即可．
12.【答案】−2a
【解析】解：原式=−2a.
故答案为：−2a.
直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
13.【答案】x
【解析】【分析】
本题考查的是分式的加减法，属于基础题．
先把两分式化为同分母的分式，再利用分母不变，分子相加减即可．
【解答】
解：原式=x2x−1−xx−1
=x(x−1)x−1
=x.
故答案为：x.
14.【答案】0
【解析】解：去分母，得：2−(x+m)=2(x−2)，
化简，得：m=−3x+6.
∵分式方程无解，即最简公分母为0，
∴x−2=0，即x=2，
∴m=−3×2+6=0.
故答案为：0.
先将分式方程去分母，变成整式方程；再根据分式方程无解，得x=2，代入即可求得m的值．
本题主要考查分式方程的解．熟练掌握分式无解即最简公分母等于0是解决此题的关键．
15.【答案】60∘
【解析】解：∵∠BAC=120∘，
∴∠B+∠C=180∘−120∘=60∘，
∵DE、FG分别垂直平分AB和AC，
∴∠BAE=∠B，∠CAF=∠C，
∴∠BAE+∠CAF=60∘，
∴∠EAF=120∘−60∘=60∘.
故答案为：60∘.
根据三角形内角和定理求出∠B+∠C=60∘，再根据线段垂直平分线的性质求出∠BAE+∠CAF=∠B+∠C，然后便不难求出∠EAF.
本题主要考查了线段垂直平分线的性质；得到∠BAE+∠CAF=∠B+∠C是正确解答本题的关键．
16.【答案】3cm
【解析】解：如图，∵∠C=90∘，BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE=CD，
∵CD=3cm，
∴DE=3cm.
故答案为：3cm.
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得DE=CD，然后即可解答．
本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
17.【答案】7
【解析】解：分三种情况考虑：
①以AB为底，C在原点；
②以AB为腰，且A为顶点，C点有3种可能位置；
③以AB为腰，且B为顶点，C点有3种可能位置；
则满足条件的点C最多有7个，
故答案为：7.
分三种情况进行讨论，以AB为底，AB为腰，画出图形即可解答．
本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题关键．
18.【答案】6
【解析】解：∵n3+3n2+2n
=n(n2+3n+2)
=n(n+1)(n+2)，
又∵n为正整数，
∴n，n+1，n+2是3个连续的正整数，
∴n，n+1，n+2之中必有一个是2的倍数，一个是3的倍数，
∴n(n+1)(n+2)是6的倍数，
即n3+3n2+2n是6的倍数，
又∵当n=1时，n3+3n2+2n的最小值为6，
∴所有形如n3+3n2+2n的数的最大公约数是6.
故答案为：6.
首先将n3+3n2+2n转化为n(n+1)(n+2)，再根据n为正整数，n，n+1，n+2是3个连续的正整数，进而得n3+3n2+2n是6的倍数，然后根据当n=1时，n3+3n2+2n的最小值为6，可得出答案．
此题主要考查了最大公约数，利用因式分解将n3+3n2+2n转化为n(n+1)(n+2)，从而得出连续三个正整数的积一定是6的倍数是解决问题的关键．
19.【答案】解：原方程去分母得：3+2x=x−2，
移项，合并同类项得：x=−5，
经检验：x=−5是原方程的解，
故原方程的解为x=−5.
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
20.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即∠EAD=∠BAC，
在△EAD和△BAC中，
∠B=∠EAB=AE∠BAC=∠EAD，
∴△ABC≌△AED(ASA)，
∴BC=ED.
【解析】由∠1=∠2可得∠EAD=∠BAC，再根据条件AB=AE，∠B=∠E，可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC=ED.
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
21.【答案】解：(a−b)2+(−5a3b+8a2b2)÷4ab
=a2−2ab+b2−54a2+2ab
=−14a2+b2，
∵|a−2|+ a−2b=0，
∴a−2=0且a−2b=0，
解得：a=2，b=1，
∴当a=2，b=1时，原式=−14×22+12=0.
【解析】先根据完全平方公式，多项式除以单项式进行计算，再合并同类项，根据绝对值和算术平方根的非负性求出a、b的值，最后代入求出答案即可．
本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，整式的化简求值等知识点，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
22.【答案】证明：(1)∵∠ACB=90∘，
∴BC⊥AC，
∵DF//BC，
∴DG⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠AGD=90∘，
在△AEC和△AGD中，
∠AEC=∠AGD=90∘∠CAE=∠DAGAC=AD，
∴△AEC≌△AGD(AAS)，
∴AE=AG；
(2)在Rt△AEF和Rt△AGF中，
AF=AFAE=AG，
∴Rt△AEF≌Rt△AGF(HL)，
∴FG=FE，
∵FE⊥AB，FG⊥AC，
∴AF平分∠CAB.
【解析】(1)证明△AEC≌△AGD(AAS)，即可得结论；
(2)证明Rt△AEF≌Rt△AGF(HL)，得FG=FE，然后根据角平分线的性质即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是得到△AEC≌△AGD.
23.【答案】解：(1)设商场第一次购买了x件T恤衫，则第一次进价为50000x元，第二次购买了3x件T恤衫，进价为(50000x+12)元，
依题意得：3x(50000x+12)=186000，
解得：x=1000，
经检验：x=1000是原方程的解，且符合题意，
答：商场第一次购买了1000件T恤衫；
(2)由(1)可知，第一次购买了1000件T恤衫，进价为50元；
第二次购买了3000件T恤衫，进价为62元；
则第一次盈利为1000×(80−50)=30000(元)，
第二次盈利为(3000−400)×(80−62)+400×(80×0.65−62)=42800(元)，
∴30000+42800=72800(元)，
答：商场在这两次生意中共盈利72800元．
【解析】(1)设商场第一次购买了x件T恤衫，则第一次进价为50000x元，第二次购买了3x件T恤衫，进价为(50000x+12)元，根据商场又紧急调拨18.6万元采购回是第一次进货件数3倍的T恤衫，列出分式方程，解方程即可；
(2)分别求出两次的盈利，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解答本题的关键．
24.【答案】解：原式=(xx2+2x−x2+2xx2+2x)⋅(x+2)(x−2)x+1
=−x2−xx(x+2)⋅(x+2)(x−2)x+1
=−x(x+1)x(x+2)⋅(x+2)(x−2)x+1
=2−x，
解分式方程2x+1=1x−1，得x=3，
经检验，x=3是原方程的解，
当x=3时，原式=2−3=−1.
【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，解分式方程求出x，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式方程的解法，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠EAD，
∵∠ACB=90∘，
∴∠CAF+∠CFA=90∘，
∵CD⊥AB于D，
∴∠EAD+∠AED=90∘，
∴∠CFA=∠AED，又∠AED=∠CEF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CE=CF；
(2)猜想：BE′=CF.
证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，连接EE′，
又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG⊥AC，
∴ED=EG，
由平移的性质可知：D′E′=DE，
∴D′E′=GE，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD+∠DCB=90∘，
∵CD⊥AB于D，
∴∠B+∠DCB=90∘，
∴∠ACD=∠B，
在△CEG与△BE′D′中，
∠GCE=∠B∠CGE=∠BD′E′GE=D′E′，
∴△CEG≌△BE′D′(AAS)，
∴CE=BE′，
由(1)可知CE=CF，
∴BE′=CF.
【解析】本题主要考查了平分线的定义，平移的性质以及全等三角形的判定与性质，难度适中．
(1)根据平分线的定义可知∠CAF=∠EAD，再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF，
(2)根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G，根据平移的性质得出D′E′=DE，再根据已知条件判断出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根据等量代换可知BE′=CF.
26.【答案】解：(1)延长AP交BD于M，如图1，
∵AC//BD，
∴∠PAC=∠AMB，
∵∠APB=∠AMB+∠PBD，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD.
(2)∠APB=∠PAC+∠PBD不成立，如图2，
理由是：过P作EF//AC，
∵AC//BD，
∴AC//EF//BD，
∴∠PAC+∠APF=180∘，∠PBD+∠BPF=180∘，
∴∠PAC+∠APF+∠PBD+∠BPF=360∘，
∴∠APB+∠PAC+∠PBD=360∘，
∴∠APB=360∘−∠PAC−∠PBD，
∵∠APB≠180∘，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD不成立．
(3)①当动点P在射线BA的右侧时，如图3，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB，
理由是：∵AC//BD，
∴∠PMC=∠PBD，
∵∠PMC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB.
②当动点P在射线BA上时，如图4，结论是：∠PBD=∠PAC+∠APB(或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0∘)，
理由是：∵AC//BD，
∴∠PAC=∠PBD，
∵∠APB=0∘，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB.
③当动点P在射线BA的左侧时，如图5，结论是：∠PAC=∠APB+∠PBD，
理由是：∵AC//BD，
∴∠PMC=∠PBD，
∵∠PAC=∠APB+∠PMC，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD.
【解析】(1)延长AP交BD于M，根据三角形外角性质和平行线性质得出∠APB=∠AMB+∠PBD，∠PAC=∠AMB，代入求出即可；
(2)过P作EF//AC，根据平行线性质得出∠PAC+∠APF=180∘，∠PBD+∠BPF=180∘，即可得出答案；
(3))①当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB，②当动点P在射线BA上时，结论是：∠PBD=∠PAC+∠APB(或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0∘)，③当动点P在射线BA的左侧时，结论是：∠PAC=∠APB+∠PBD，根据三角形外角性质和平行线性质求出即可．
考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，用了分类讨论思想，考查对材料的分析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况．