北京市2024年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(含答案)

这是一份北京市2024年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．复数( )
A.iB.C.1D.
3．函数的零点为( )
A.B.0C.1D.2
4．已知向量，，则( )
A.B.C.D.
5．不等式的解集为( )
A.B.C.D.或
6．在空间中，若两条直线a与b没有公共点，则a与b( )
A.相交B.平行
C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线
7．在同一坐标系中，函数与的图象( )
A.关于原点对称B.关于x轴对称
C.关于y轴对称D.关于直线对称
8．已知，则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
9．故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为( )
A.B.C.D.
10．已知函数，若，则( )
A.B.C.2D.
11．在中，，，，则( )
A.B.C.D.
12．下列函数中，存在最小值的是( )
A.B.C.D.
13．贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：
则这10年占比数据的中位数为( )
A.B.C.D.
14．若，则角可以为( )
A.B.C.D.
15． ( )
A.0B.1C.2D.3
16．函数的定义域为( )
A.B.C.D.
17．如图，在正方体中，P为的中点.若，则三棱锥的体积为( )
A.2B.1C.D.
18． ( )
A.B.1C.D.2
19．已知，，且，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
20．某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点( )
A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生
C.最少有618名学生D.最少有617名学生
二、填空题
21．已知幂函数的图象经过点(2,4)，则_______.
22．已知，，且，则________（填“>”或“<”）.
23．已知的，给出下列三个结论：
①的定义域为R；
②，；
③，使曲线与恰有两个交点.
其中所有正确结论的序号是________.
三、双空题
24．已知向量，，，其中.命题p：若，则，能说明p为假命题的一组和的坐标为________，________.
四、解答题
25．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
26．阅读下面题目及其解答过程.
以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”），
27．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
28．已知和数表，其中，，，.若数表A满足如下两个性质，则称数表A由生成.
①任意，，，，中有三个，一个3；
②存在，使，，，中恰有三个数相等.
（1）判断数表是否由生成；（结论无需证明）
（2）是否存在数表A由生成？说明理由；
（3）若存在数表A由生成，写出所有可能的值.
参考答案
1．答案：A
解析：集合，，根据集合交集的运算，可得.
故选：A.
2．答案：D
解析：.
故选：D.
3．答案：B
解析：令，则，
即函数的零点为0，
故选：B.
4．答案：C
解析：,，
.
故选：C.
5．答案：D
解析：由题意知，或，
所以原不等式的解集为或.
故选：D.
6．答案：D
解析：由题意知在空间中，两条直线a与b没有公共点，即a与b不相交，
则a与b可能平行，也可能是异面直线，
故选：D.
7．答案：B
解析：当时，与互为相反数，
即函数与的图象关于x轴对称.
故选：B.
8．答案：A
解析：当时，，
当时，，
则“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
9．答案：A
解析：由已知得随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲有4种赠法，
其中游客甲得到“春”或“冬”款书签的有2种赠法，
则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为.
故选：A.
10．答案：A
解析：当时，，当时，，
故由，得，.
故选：A.
11．答案：D
解析：在中，，，，
由余弦定理得,
而A为三角形内角，故，
故选：D.
12．答案：B
解析：单调递减值域为R,无最小值，A选项错误；
在单调递减，在单调递增，当取得最小值，B选项正确；
单调递增，值域为，无最小值，C选项错误；
单调递增，值域为R,无最小值，D选项错误.
故选:B.
13．答案：B
解析：把这10年占比数据从小到大排列得，，，，，，，，，，
中位数为.
故选：B.
14．答案：C
解析：,
，，观察选项可得角可以为.
故选：C.
15．答案：B
解析：.
故选：B.
16．答案：C
解析：由函数有意义，则满足，即，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C.
17．答案：D
解析：因为面，
所以.
故选：D.
18．答案：C
解析：，
故选：C.
19．答案：C
解析：由得，
所以，得，
所以.
故选：C.
20．答案：D
解析：,
，即研学人数最多的地点最少有617名学生，
，即研学人数最多的地点最多有名学生.
故选：D.
21．答案：2
解析：由题设，，可得.
故答案为：2.
22．答案：<
解析：由题意知，，则，
所以，即.
故答案为：<.
23．答案：①②
解析：对于①：由恒成立得的定义域为R，①正确；
对于②：，②正确；
对于③：令，变形得，
作出函数的图象如下图：
根据图象可得在R上单调递增，
故与只有一个交点，即不存在，使曲线与恰有两个交点，③错误.
故答案为：①②.
24．答案：①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）
解析：让即可，
如，，此时，
故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）.
25．答案：（1）π
（2）最大值为2，最小值为-2
解析：（1）由，
知函数的最小正周期为π.
（2）由，得，
令，则，
函数在上单调递减，所以，
所以，
即函数在上的最大值为2，最小值为-2.
26．答案：ABABA
解析：①由于的定义域为R，故A正确；
②由于，故B正确；
③根据函数单调性定义可知任取，,故A正确；
④因为，所以，故，故B正确；
⑤因为，故，故，,故A正确.
27．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）因为平面，平面，所以，
又平面为菱形，所以，
又，，平面，
所以平面.
（2）E为PD的中点，设AC与BD交于点O，连接OE，
则，又平面，平面，
所以平面.
28．答案：（1）是
（2）不存在，理由见解析
（3）3，7，11.
解析：（1）数表是由生成；
检验性质①：
当时，，，，，共三个，一个3；
当时，，，，，共三个，一个3；
当时，，，，，共三个，一个3；
任意，，，，中有三个，一个3；
检验性质②：
当时，，，，，恰有3个数相等.
（2）不存在数表A由生成,理由如下:
若存在这样的数表A，由性质①任意，，，，，中有三个，一个3，
则或-1，总有与的奇偶性相反，
类似的，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反；
因为，，，中恰有2个奇数，2个偶数，
所以对任意的，，，，中均有2个奇数，2个偶数，
此时，，，中至多有2个数相等，不满足性质②；
综上，不存在数表A由生成.
（3）的所有可能的值为3，7，11.
一方面，当时，可以生成数表；
当时，可以生成数表；
当时，可以生成数表；
另一方面，若存在数表A由生成，
首先证明：除以4余3；
证明：对任意的，1，2，3，令，
则，
分三种情况：（i）若，且，则；
（ii）若，且，则；
（iii）若，且，则；
均有与除以4的余数相同.
特别地，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“，除以4的余数相同”；
类似地，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“，除以4的余数相同”；
“存在，使得”的一个必要不充分条件为“，除以4的余数相同”；
“存在，使得”的一个必要不充分条件为“，除以4的余数相同”；
“存在，使得”的一个必要不充分条件为“，除以4的余数相同”；
“存在，使得”的一个必要不充分条件为“，除以4的余数相同”；
所以，存在，使得，，，中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是，，，中至少有3个数除以4的余数相同.
注意到与除以4余3，除以4余0，故除以4余3.
其次证明：；
证明：只需证明；
由上述证明知若可以生成数表A，则必存在，
使得；
若，则，，，，
所以，对任意，均有，矛盾；
最后证明：；
证明：由上述证明可得若可以生成数表A，
则必存在，使得，
，，，
，
欲使上述等号成立，对任意的，，，
则，，，
经检验，不符合题意；
综上，所有可能的取值为3，7，11.
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
占比（%）
39.2
40.3
38.9
38.6
39.6
40.6
42.4
41.4
42.2
45.4
已知函数.
（1）证明：是偶函数；
（2）证明：在区间上单调递增.
解：（1）的定义域为①________.
因为对任意，都有，且②________，所以是偶函数.
（2）③________，，且，
，
因为，
所以④________0，⑤________0，.
所以，即.
所以在区间上单调递增.
空格序号
选项
①
A.RB.
②
A.B.
③
A.任取B.存在
④
A.>B.<
⑤
A. >B. <