福建省莆田第一中学2023-2024学年高二下学期期初考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省莆田第一中学2023-2024学年高二下学期期初考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若直线l的一个方向向量为,则它的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．“”是“,成立”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知等差数列的前n项和为,若,,则当取最大值时,n的值为( )
A.6B.7C.6或7D.7或8
4．若函数在区间内存在最小值,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．已知经过点的平面的法向量为,则点到平面的距离为( )
A.B.2C.D.
6．已知圆锥的母线为6,底面半径为1,把该圆锥截成圆台,使圆台的下底面与该圆锥的底面重合,圆台的上底面半径为,则圆台的侧面积为( )
A.B.C.D.
7．已知抛物线的焦点为F,过点的直线交抛物线于A,B两点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知a,b,,且,,,其中e是自然对数的底数,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知为函数的导函数,当时,有恒成立,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
10．已知数列满足.若对,都有成立,则整数的值可能是( )
A.B.C.0D.1
11．双曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得,过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知,分别为双曲线的左,右焦点,过右支上一点作直线交轴于点,交y轴于点N.则( )
A.C的渐近线方程为
B.点N的坐标为
C.过点作,垂足为H,则
D.四边形面积的最小值为4
三、填空题
12．若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍,则该椭圆的离心率为________.
13．在边长为6cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底铁皮箱.当箱底边长为________cm时,箱子容积最大.
14．已知函数,,若总存在两条不同的直线与函数,图象均相切,则实数a的范围为________.
四、解答题
15．设函数.
（1）求函数的极值;
（2）若时,,求a的取值范围.
16．已知数列满足,.
（1）设,求证:数列是等比数列;
（2）求数列的前n项和.
17．如图,在三棱柱中,所有棱长均为2,,.
（1）证明:平面平面ABC.
（2）求平面与平面的夹角的正弦值.
18．设椭圆的左右焦点分别为,.A,B是该椭圆C的右顶点和上顶点,且,若该椭圆的离心率为
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）直线l与椭圆C交于P,Q两点,且与x轴交于点若直线与直线的倾斜角互补,求的面积的最大值.
19．已知函数,
（1）若函数的最小值为0,求a的值;
（2）证明:
参考答案
1．答案：C
解析：依题意,是直线l的一个方向向量,
所以直线l的斜率,
所以直线l的倾斜角为.
故选:C.
2．答案：A
解析：因为,成立,则,即.
所以,“”是“,成立”的充分不必要条件.
故选:A.
3．答案：C
解析：设等差数列的公差为d,
因为,,
所以,
解得:,所以.
要使取最大值,只需把所有正项都加上,
所以,
所以.
记最大.
故选:C.
4．答案：C
解析：由题意,,
当或时,;当时,.
故在,上是增函数,在上是减函数,
所以,函数的极小值为.
作其图象如图,
令得,解得或,
结合图象可知,解得,.
故选:C.
5．答案：D
解析：依题意,,所以点P到平面的距离为.
故选:D
6．答案：C
解析：作出圆锥,圆台的轴截面,如图所示,
圆锥的母线为,底面半径,圆台上底面半径,
由三角形相似可得,解得,
则圆台母线长,
圆台的侧面积为.
故选:C
7．答案：B
解析：当直线斜率存在时,设直线方程为,,,
联立方程,得,恒成立,
则,,
,,
,
所以,
当直线斜率不存在时,直线方程为,
所以,,
,
综上所述:,
故选:B.
8．答案：D
解析：∵a,b,,,,,
令,,,
当时,,在上单调递减,
令,,,当时,,
所以在上单调递增,即,
,即,
.
故选:D.
9．答案：BD
解析：构造函数,其中,则,
所以,函数在上为减函数,
对于AB选项,,即,可得,A错B对;
对于CD选项,,即,D对,C无法判断.
故选:BD.
10．答案：BC
解析：由可得,
若对,都有成立,即,
整理可得,所以对都成立;
当n为奇数时,恒成立,所以,即;
当n为偶数时,恒成立,所以,即;
所以的取值范围是,则整数的值可能是,0.
故选:BC
11．答案：ACD
解析：对于A项,由已知可得,,所以C的渐近线方程为,故A项正确;
对于B项,设,则,整理可得.
又,所以,所以有,解得,所以点N的坐标为,故B项错误;
对于C项,如上图,显然AM为双曲线的切线.
由双曲线的光学性质可知,AM平分,延长与的延长线交于点E.
则AH垂直平分,即点H为的中点.
又O是的中点,所以,,故C项正确;
对于D项,,
当且仅当,即时,等号成立.
所以,四边形面积的最小值为4,故D项正确.
故选:ACD.
12．答案：
解析：依题意,由图象的性质可知,
点到焦点距离的最大值为,最小值为,
所以,化简得,即离心率,
故答案为:.
13．答案：4
解析：设箱底边长为cm,箱子的容积为,
则,,
令,解得,,解得,
所以函数在上单调递增,上单调递减,
当时,容积y取得最大值,为16.
故答案为:4.
14．答案：
解析：设切线在上的切点分别为,.
因,.则切线方程可表示为:,也可表示为:,其中.
则,.则总存在两条不同的直线与函数图象均相切,
等价于与直线有两个不同交点.,则.
令在上单调递增,
在上单调递减,则.
注意到,,,,可得大致图象如下,则.
故答案为:
15．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）,
当时,,在R上单调递增,无极值,
当时,由,得,由,得
则在上单调递减,在上单调递增,
则当时,取得极小值,无极大值,
所以当时,函数无极值,
当时,函数有极小值,无极大值;
（2）由（1）知当时,在R上单调递增,符合题意,
当时,在上单调递增,符合题意,
当时,在上单调递减,在上单调递增,
等价于,得.
综上a的取值范围是
16．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）由,,可得,
因为则,,可得是首项为1,公比为3的等比数列,
（2）由（1）,由,可得,
,
,
上面两式相减可得:
,
则.
17．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）三棱柱的所有棱长均为2,取AC中点M,连接,,则,
由,,得为等边三角形,则,
显然,而,则,有,
又,AC,平面ABC,于是平面ABC,而平面,
所以平面平面ABC.
（2）在三棱柱中,平面平面ABC,
因此平面与平面的夹角的正弦值与平面与平面ABC的夹角的正弦值相等,
由（1）知平面ABC,平面ABC,则,过作于点N,连接,有,
,MN,平面,于是平面,而平面,则,
因此为平面与平面ABC所成二面角的平面角,
显然,而,则,从而,
所以平面与平面的夹角的正弦值为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题可得,,
所以因为椭圆的离心率为所以,结合椭圆中可知,,.所以椭圆C的标准方程为
（2）,设,.
因为直线与直线的倾斜角互补,
所以可知,
即,
化简得
设直线,
将,代入上式,
整理可得.
且由消元化简可得
,
所以,,代入上式
由,
解得.
所以.
因为点到直线PQ的距离,
且
所以
令,则
所以,.
当且仅当,时取等号.
所以的面积的最大值为
19．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）函数定义域为,求导得,
若,则,函数在上单调递增,无最小值,不合题意;
若,则当时,,当时,,
函数在上单调递减,在上单调递增,
则当时,取得最小值,即有,解得,
所以.
（2）①先证明当时,,
设,求导得,当时,,
则函数在上单调递减,当时,,即,
而当时,,因此
设,,求导得,
函数在上单调递增,则当时,;
令,求导得,当时,,当时,,
则函数在上递减,在上递增,
因此当时,取得最小值,从而,
于是;
②当时,,
而,则,于是,
设,求导得,函数在上单调递增,
则,因此在上单调递增,则当时,,
即,于是,
所以不等式恒成立.