河北省部分学校联考2024届高三下学期3月模拟（二）数学试卷(含答案)

这是一份河北省部分学校联考2024届高三下学期3月模拟（二）数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知抛物线C：，则C的准线方程为( )
A.B.C.D.
2．已知复数，复数，则( )
A.10B.C.D.1
3．已知命题p：，，则( )
A.p是真命题，：，
B.p是真命题，：，
C.p是假命题，：，
D.p是假命题，：，
4．已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为( )
A.B.C.D.
5．下列不等式成立的是( )
A.B.
C.D.
6．某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：
由表格制作成如图所示的散点图：
由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是( )
A.，，B.，，
C.，，D.，，
7．函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数…….一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，例如的n阶导数.若，则( )
A.B.50C.49D.
8．已知函数的部分图象如下，与其交于A，B两点.若，则( )
A.4B.3C.2D.1
二、多项选择题
9．甲在一次面试活动中，7位考官给他的打分分别为：61、83、84、87、90、91、92.则下列说法正确的有( )
A.去掉一个最低分和一个最高分后，分数的平均数会变小
B.去掉一个最低分和一个最高分后，分数的方差会变小
C.这7个分数的平均数小于中位数
D.这7个分数的第70百分位数为87
10．如图，在圆柱中，轴截面ABCD为正方形，点F是的上一点，M为BD与轴的交点.E为MB的中点，N为A在DF上的射影，且平面AMN，则下列选项正确的有( )
A.平面AMNB.平面DBF
C.平面AMND.F是的中点
11．已知，是双曲线C：的左、右焦点，，为C右支上一点，，的内切圆的圆心为，半径为r，直线PE与x轴交于点，则下列结论正确的有( )
A.
B.
C.
D.若的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为
三、填空题
12．已知向量，的夹角为，且，，则__________.
13．已知x是第二象限角，若，则__________.
四、双空题
14．已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且，，，则__________；若数列和的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列，数列的前n项和为，则使得成立的n的最小值为__________.
五、解答题
15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角C的大小；
(2)若，，求的面积.
16．如图，P为圆锥的顶点，为圆锥底面的直径，为等边三角形，O是圆锥底面的圆心.为底面圆O的内接正三角形，且边长为，点E为线段中点.
(1)求证：平面平面；
(2)M为底面圆O的劣弧上一点，且.求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知椭圆E：过点，且其离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的斜率不为零的直线与椭圆E交于C，D两点，A，B分别为椭圆E的左、右顶点，直线AC，BD交于一点P，M为线段PB上一点，满足，问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（O为坐标原点）.
18．某商场周年庆进行大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏，游戏规则如下：在一个盒子里放着六枚硬币，其中有三枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花；另外三枚硬币是特制的，有两枚双面都印着字，一枚双面都印着花，规定印着字的面为正面，印着花的面为反面.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是正面，则进入最终挑战，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的方式是进行第三次投掷，有两个方案可供选择：方案一，继续投掷之前抽取的那枚硬币，如果掷出向上的面为正面，则获得200元礼券，方案二，不使用之前抽取的硬币，从盒子里剩余的五枚硬币中再次随机抽取一枚投掷，如果掷出向上的面为正面，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二，如果掷出向上的面为反面，则获得100元礼券.
(1)求第一次投掷后，向上的面为正面的概率.
(2)若已知某顾客抽取一枚硬币后连续两次投掷，向上的面均为正面，求该硬币是正常硬币的概率.
(3)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得的礼券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.
19．已知函数.
(1)若函数有3个不同的零点，求a的取值范围；
(2)已知为函数的导函数，在R上有极小值0，对于某点，在P点的切线方程为，若对于，都有，则称P为好点.
①求a的值；
②求所有的好点.
参考答案
1．答案：C
解析：抛物线方程，，所以准线方程是.
故选：C.
2．答案：B
解析：由题意，所以.
故选：B.
3．答案：A
解析：函数，在上的图象如下所示：
数形结合可知，命题p：，为真命题；
又：，.
故选：A.
4．答案：C
解析：设上下底面圆半径分别为，，母线长为l，
则圆台侧面积.
故选：C.
5．答案：B
解析：A.单调递减，所以，故A错误；
B.单调递增，所以，且，即，故B正确；
C.，，所以，故C错误；
D.单调递增，所以，故D错误.
故选：B.
6．答案：D
解析：这7个身高的平均数，
因为离群点的横坐标167小于平均值176，纵坐标90相对过大，
所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小，而斜率变大，
所以，，
去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，所以.
故选：D.
7．答案：A
解析：由，，
，，
依此类推，，
所以.
故选：A.
8．答案：A
解析：令，则，，，
则，且，所以.
故选：A.
9．答案：BC
解析：A.7个数的平均数是，
去掉最高分和最低分后的平均数是，平分数变高了，故A错误；
B.去掉最高分和最低分，波动变小了，所以方差会变小，故B正确；
C.这7个数的中位数是87，，故C正确；
D.，所以这7个数的70百分位数位第5个数字90，故D正确.
故选：BC.
10．答案：BCD
解析：A.由题意可知，点M是的中点，所以点A，M，C三点共线，
所以点平面，所以平面，
则直线与平面不平行，故A错误；
B.因为平面，平面，所以，
且，，且，平面，
所以平面，且平面，
且平面平面，
因为，所以平面，故B正确；
C.由平面，平面，所以，
因为轴截面ABCD为正方形，点M是的中点，所以，
，且，平面，所以平面，故C正确；
D.平面，平面，所以，且点M是的中点，
因为平面，平面，平面平面，
所以，所以，且E是的中点，
所以，且，所以，
则，点F是的中点，故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：A.如图，作，，，
根据切线长定理，，，，
又，所以，，
所以，即，故A正确；
B.因为，，
所以，解得：，，
所以，故B错误；
C.由内切圆的性质可知，为角平分线，则，
即，整理为，即，
所以，由A选项的证明可知，，即，故C正确；
D.若的内切圆与y轴相切，则，
则由选项AB知，，即，
则，即，或（舍），
所以双曲线C的离心率为，故D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：.
故答案为：.
13．答案：
解析：，
因为x是第二象限角，若，所以是第一象限角，
所以，
所以.
故答案为：.
14．答案：；27
解析：设等比数列的公比为q，则等差数列的公差为q，
则，，，
解得，，，
所以，，，
由，整理可得，
数列的各项分别为：1、2、3、4、5、7、9、…、、…，
其中前若干项中，数列有项，数列有项，
所以，是数列的第项，
所以，
，
所以，，
令，整理可得，
令，则有，解得，
因为，所以，，可得，
所以，满足不等式的正整数k的最小值为6，
同理可知，满足不等式的正整数k的最大值为5，
所以满足不等式的正整数n的最小值，即，
设，其中且，
则
，
，
由，整理可得，解得，
所以自然数m的最小值为6，所以.
故答案为：；27.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)，且，
所以.
(2)根据正弦定理，，
所以或，
当时，，，此时，不成立，
当时，此时，则，
的面积.
16．答案：(1)证明过程见解析
(2)
解析：(1)设，交于点F，因为为圆锥底面的直径，
所以由垂径分线定理可知，，
又因为为底面圆O的内接正三角形，
所以，即点F是的中点，
又因为点E为线段中点，即是三角形的中位线，
所以，
由题意面，
所以面，
又因为面，
所以平面平面.
(2)由(1)可知，，两两垂直，
以F为原点，，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系：
显然可取平面的一个法向量为，
因为，等边的边长为，
所以由正弦定理得圆的半径为，从而，即，
而，所以，，即，
因为为等边三角形，是三角形的中位线，
所以，即，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，令，解得，，
即可取平面的一个法向量为，
从而.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．答案：(1)
(2)是定值，定值为9
解析：(1)由题意可知，，解得：，，，
所以椭圆E的方程为.
(2)设过点的直线为，，，，，
联立，得，
，，
，所以，
，联立直线和方程，
得，
，
所以，得，，即，
因为点O是的中点，，所以，
所以.
所以是定值，且定值为9.
18．答案：(1)
(2)
(3)选择方案一的期望为，选择方案二的期望为，选择方案二收益更高.
解析：(1)设第一次抽到正常硬币为事件A，抽到双面都印着字的硬币为事件B，抽到双面都印着花的硬币为事件C，
第一次投掷出正面向上为事件，第二次投掷出正面向上为事件，选择方案一进行第三次投掷并正面向上事件，选择方案二进行第三次投掷并证明向上为事件，
由全概率公式可得，.
(2)连续两次都是正面的概率，
所以.
（3）（一）若选择方案一，设第三次投掷后最终获得的礼券为X元，第三次投掷出正面向上为事件S，则
，
，，
.
（二）如选择方案二，设第三次投掷后最终获得礼券为Y元，第三次投掷出正面向上为事件T，
①如果第一次抽到的是正常硬币，设第二次抽到正常硬币为事件，第二次抽到两面都是字的硬币为事件，第二次抽到两面都是花的硬币为事件，则
；
②如果第一次抽到的两面都是字的硬币，设第二次抽到正常硬币为事件，第二次抽到两面都是字的硬币为事件，第二次抽到两面都是花的硬币为事件，则
；
所以，，
，，
，
综上（一）（二）可得，，所以选择方案二的收益更高.
19．答案：(1)
(2)①；②
解析：(1)当，单调递增，
且，当时，，因此在区间上存在唯一零点，
当时，只要存在两个根即可，即存在两个根，
设，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
由，当时，，当时，，
所以当时，在区间有2个零点，
因此a得到取值范围是.
(2)①，，
令，则，
令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，得，
②设为好点，对于任意，都有，
当时，成立，
当时，即为当时，，
当时，成立，
因为在P点的切线方程为，
所以，
设，即，
，
又因为在上单调递减，上单调递增，故分情况讨论，
(1)当时，因为P为好点，所以恒成立，
若，在上单调递增，，，
所以在时单调递增，，满足条件，故时成立；
若，在上单调递减，在上单调递增，
当时，，，
所以在时单调递减，，矛盾，不满足条件.
(2)当时，因为P为好点，所以恒成立，
若，在上单调递减，，，
所以在时单调递增，，满足条件，故时成立；
若，在上单调递减，在上单调递增，
当时，，，
所以在时单调递减，，矛盾，不满足条件；
综上可知，由(1)(2)可得，且，即，所以只有一个好点.
身高x（单位：cm）
167
173
175
177
178
180
181
体重y（单位：kg）
90
54
59
64
67
72
76