湖南省株洲市第二中学2024届高三上学期第一次调研数学试卷(含答案)

这是一份湖南省株洲市第二中学2024届高三上学期第一次调研数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若复数（i为虚数单位）,则复数在复平面上对应的点所在的象限为( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．函数在区间上的图象大致为( )
A.B.
C.D.
4．已知,,,,若,则的值为( )
A.B.或C.D.或
5．已知数列满足,,若成立,则n的最大值为( )
A.7B.8C.9D.10
6．在平面直角坐标系中,已知圆,若圆C上存在点P,使得,则正数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．正四棱锥的底面边长为,则平面截四棱锥外接球所得截面的面积为( )
A.B.C.D.
8．已知,,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若,且,,则( )
A.B.
C.D.
10．某人连续掷两次骰子,表示事件“第一次掷出的点数是2”,表示事件“第二次掷出的点数是3”.表示事件“两次掷出的点数之和为5”,表示事件“两次掷出的点数之和为9”.则( )
A.与相互独立B.与相互独立
C.与不相互独立D.与不相互独立
11．如图,在平面直角坐标系中,已知点,,,D是线段上的动点,点O与点P关于直线对称.则下列结论正确的是( )
A.当时,点P的坐标为
B.的最大值为4
C.当点P在直线上时,直线的方程为
D.正弦的最大值为
12．已知定义在R上的连续函数,其导函数为,且,函数为奇函数,当时,,则( )
A.B.
C.,D.
三、填空题
13．的展开式中各项系数之和为64,则的展开式中常数项为______________.
14．数列满足,则___________.
15．已知空间直角坐标系中,正四面体的棱长为2,点, ,,则的取值范围为_______________.
16．已知函数,方程有7个不同的实数解,则实数a的取值范围是______________.
四、解答题
17．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求a;
(2)若,且的周长为,求的面积.
18．如图,已知正方形的边长为1,平面,三角形是等边三角形.
(1)求异面直线与所成的角的大小;
(2)在线段上是否存在一点E,使得与平面所成的角大小为？若存在,求出的长度,若不存在,说明理由.
19．已知数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
20．民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生,报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5项流程,其中前4项流程选拔均通过,则被确认为有效招飞申请,然后参加高考,由招飞院校择优录取.据统计,每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为,,,1.假设学生能否通过这5项流程相互独立,现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞.
(1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率;
(2)求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率;
(3)根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩,预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为,,设甲､乙､丙三人能被招飞院校录取的人数为X,求X的分布列及数学期望.
21．已知点,动点P满足.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)若轨迹C的左右顶点分别为A,B,直线与直线交于点M,直线与轨迹C交于相异的两点A,Q,当点P不在x轴上时,分别记直线与的斜率为,,求证：是定值.
22．已知函数,.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若对任意恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由题设,故.
故选：A.
2．答案：C
解析：因为,
所以,
在复平面上对应的点为,该点在第三象限.
故选：C.
3．答案：D
解析：化简函数解析式可得,定义域为R,
,
为奇函数,AC错误;
又因为当时,,B错误,D正确.
故选：D.
4．答案：B
解析：,,
,
,
因为,
所以,,
即,显然,
所以,,
又,所以或.
故选：B.
5．答案：B
解析：因为,整理得,且,
可知是以首项为3,公差为1的等差数列,
所以,可得,
当时,可得,
且符合上式,所以,
则,
解得,即m的最大值为8.
故选：B.
6．答案：D
解析：设,则由,得到,
整理得到,又点在圆C上,所以与圆C有交点,
又的圆心为,半径为,圆C的圆心为,半径为,
所以,解得,
故选：D.
7．答案：C
解析：设正方形边长为,底面中心为E,中点为F,
连接,,,如图所示,
由题意得,且正四棱锥的外接球球心O,
设外接球半径为R,则,
在中,,且,
所以,解得,即,
在中,,
过O作,则即为点O到平面PCD的距离,且Q为平面截其外接球所得截面圆的圆心,
所以,
则,
所以,
所以截面的面积.
故选：C.
8．答案：B
解析：根据题意可知,,
,即可得;
由可得,即;
易知,即,所以,即;
又,即,又,可得;
所以,可得;
可得,所以
显然,即.
故选：B.
9．答案：BD
解析：由题意可得,
所以,故A错误;
,
因为,
所以,所以,故B正确;
因为,所以,
所以
,故C错误：
即,
因为,所以,
故,所以,故D正确.
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：由题意知,,
,
.
对A： ,与相互独立,故A正确.
对B： , 与不相互独立,故B错误.
对C： , 与不相互独立,故C正确.
对D： , 与不相互独立,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：ABC
解析：如图,由题意可得点P在以C为圆心,半径为1的圆上,
设,,则,
对于A,当时,可得,
,,此时点P的坐标为 ,故A正确;
对于B,,当且仅当时等号成立,故B正确;
对于C,当点P在直线上时,可得,此时点P的坐标为 ,
直线与圆相切,所以,所以直线的方程为,故C正确;
对于D,当直线与圆C相切时,正弦的最大,设直线的斜率为k,则直线的方程为,
有,解得,即,从而可得,
所以正弦的最大值为,故D错误.
故选：ABC.
12．答案：ABD
解析：A项,在中,,,函数为奇函数,
所以函数为偶函数,则,
所以函数关于对称,
所以,故A正确;
B项,令,
因为当时,
所以当时,,函数单调递增,
所以,
所以,B正确;
C项,当时,,
所以,函数单调递增,
所以当时,函数单调递减,
则在取得最小值为1,
所以不存在,,C错误;
D项,由函数关于对称,
当时,令,,函数单调递增,
所以,则,
所以,,
令,,
所以函数单调递减,,
所以,
所以,,
所以与的差大于与的差,
因为函数关于对称,当时,函数单调递增,
所以,D正确;
故选：ABD.
13．答案：84
解析：令,得二项式的展开式中各项系数和为,得.
二项式即,其通项,
由得,所以展开式中常数项为.
故答案为：84.
14．答案：
解析：由可得：,
当时,
,,,……,,
所以上述式子相乘可得：,所以,
令,,所以满足,所以.
设数列 的前n项和为,
①,
②,
①减②可得：
所以,
所以,
所以
.
故答案为：.
15．答案：
解析：如图,取边的中点D,连接,故,
又,,则点A,B分别在x,y轴上运动,
,故点O在以D为球心,为直径的球上运动,
,故,
故答案为：.
16．答案：或
解析：因为,令,得到,解得或,
又当时,,则,
当时,,当时,,
即在区间上单调递减,在区间上单调递增,
又时,,时,,时,,
其图像如图,所以,当时,有2上解,有2个解,
又因为方程有7个不同的实数解,所以当时,有3个实数解,
又时,,则,
所以时,,时,,
即当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减,
又当时,,当时,,
又当时,有3个实数解,
所以或,
解得或,
故答案为：或.
17．答案：(1);
(2).
解析：（1）由题设,由正弦定理有,
所以,而,故,又,
所以.
（2）由（1）及已知,有,可得,
又,即,
所以,故.
18．答案：(1);
(2)存在,1
解析：（1）因为为正方形,则,
则异面直线与所成的角为与所成的角,即或其补角,
因为三角形是等边三角形,则
平面,平面,,
,.
所以异面直线AC与BD所成的角为.
（2）作交于点F,连接,,
平面,平面,
则与平面所成的角为,
设,则,,,
则.
19．答案：(1)
(2)
解析：（1）令,得,
当,则：,
得：,解得：,
当时,也满足上式.
综上,.
（2）证明：
由
所以:
故：.
20．答案：(1)
(2)
(3)分布列见解析,
解析：（1）因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为,,,1且能否通过相互独立,
所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率.
（2）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为,
所以甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率.
（3）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为,
且预估甲､乙､丙三人的高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为,
所以甲能被招飞院校录取的概率,
乙能被招飞院校录取的概率,
丙能被招飞院校录取概率.
依题意X的可能取值为0,1,2,3,
所以,
,
,
.
所以X的分布列为：
所以.
21．答案：(1)
(2)
解析：（1）因为动点P满足,
所以点P的轨迹C是以点,为焦点的椭圆,
设椭圆方程为,
则,
所以,,
所以点P的轨迹C的方程为;
（2）设点,,
则,,
联立,消去y得,,
得,
所以,,即,
联立,消去y得,,
得,
所以,,即,
所以,
,
所以,是定值.
22．答案：(1);
(2).
解析：(1)由,得,则
又,.
所以曲线在点处的切线方程为,即.
(2)已知对任意,恒成立,
令
①当时,
,在上单调递减,
,恒成立.
②当时,二次函数的开口方向向下,对称轴为,且,
所以当时,,,在上单调递减,
,恒成立.
③当时,二次函数的开口方向向上,对称轴为,
所以在上单调递增,且,
故存在唯一,使得,即.
当时,,,单调递减;
当时,,,单调递增.
所以在上,.
所以得,
综上,a得取值范围是.
X
0
1
2
3
P