福建省宁德市博雅培文学校2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

这是一份福建省宁德市博雅培文学校2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
分值：150分时间：120分钟
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.（ ）
A.B.C.D.
2.已知向量，，则（ ）
A.B.C.D.
3.棱长都是3的三棱锥的表面积为（ ）
A.B.C.D.
4.已知向量，，且，则（ ）
A.1B.2C.3D.4
5.已知，则复数z的共轭复数是（ ）
A.B.C.D.
6.已知等边的直观图的面积为，则的面积为（ ）
A.B.C.D.
7.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其底面正方形的边长与侧面三角形底边上的高的比值为（ ）
A.B.C.D.
8.已知D，E分别为的边，上的点，线段和线段相交于点P，若，且，，其中，，则的最小值为（ ）
A.B.4C.D.6
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若，，则（ ）
A.B.
C.在复平面内对应的点在第二象限D.是实数
10.下列说法错误的是（ ）
A.就是所在的直线平行于所在的直线
B.长度相等的向量叫相等向量
C.零向量的长度等于0
D.共线向量是在同一条直线上的向量
11.下列说法中，错误的是（ ）
A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱；
B.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
C.底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
D.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥.
12.已知向量，，满足，，，，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则B.
C.，有D.若，，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）
13.已知，，，则_____________.
14.已知向量，，且，则_____________.
15.如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是_____________.
16.一般地，，的夹角可记为，已知，，，，，，，则_____________.
四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（10分）（1）化简；
（2）已知复数的，求.
18.（12分）已知，，与的夹角是，计算
（1）计算，；
（2）求和的夹角的余弦值.
19.（12分）如图，已知正三棱锥的底面边长为2，正三棱锥的高.
（1）求正三棱锥的体积；
（2）求正三棱锥表面积.
20.（12分）设与是两个单位向量，其夹角为，且，，
（1）求；
（2）分别求，的模；
（3）求，的夹角.
21.（12分）如图所示，在四边形中，，，，，E为的中点.
（1）将四边形绕着线段所在直线旋转一周，求所形成封闭几何体的表面积和体积；
（2）绕着线段所在直线旋转一周形成几何体W，若球O是几何体W的内切球，求球O的表面积.
22.（12分）如图，在中，点P满足，O是线段的中点，过点O的直线与边，分别交于点E，F.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值.
参考答案：
1.B
【详解】由题意可得：.故选：B
2.A
【详解】因为，所以，故选：A.
3.A
【详解】棱长都是2的三棱锥的四个面都是等边三角形，
每个等边三角形的面积，
所以三棱锥的表面积是.故选：A.
4.B
【详解】由题意可得：，解得
故选：B
5.C
【详解】由可得，
所以复数z的共轭复数是，故选：C
6.D
【详解】由于原图和直观图面积之间的关系，
可得：，
那么的面积为.故选：D.
7.C
【详解】作出正四棱锥的图象，如图，
底面是边长为a的正方形，顶点P在底面的投影为O，，
H为中点，为侧面的高，
设，由已知得：，
，即，
则，即，
解得或（舍去），故选：C.
8.A
【详解】因为，所以，
又，所以，，
所以，
，
又B，P，E三点共线，所以，
化简得到，，
当且仅当时取等号，故选：A
9.ABD
【详解】因为，所以A正确；
因为，，所以B正确；
因为，它在复平面内对应的点为，
所以在复平面内对应的点在第一象限，所以C错误；
因为，所以是实数，所以D正确.
故选：ABD.
10.ABD
【详解】对于A：向量时，所在的直线与所在的直线可能重合，故A不正确；
对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故B不正确；
对于C：按定义，零向量的长度等于0，C正确；
对于D：非零的共线向量是方向相同或相反的向量，可以在同一直线上，也可不在同一直线上，故D不正确；故选：ABD.
11.ABCD
【详解】对于A：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体一定是棱柱，故不正确；
对于B：有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，只有当四个等腰梯形的腰延长后交于一点时，这个六面体才是棱台，故不正确；
对于C：底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，只有当三棱锥的顶点在底面的射影是底面中心时，才是正三棱锥，故不正确；
对于D：因为正六棱锥的底面是正六边形，侧棱在底面内的射影与底面边长相等，所以正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长，故不正确.
故选：ABCD.
12.ACD
【详解】对于A，因为，，，
所以，
所以，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，
所以
又
则由得，解得，
故D正确，故选：ACD.
13.【答案】
【详解】，
所以
14.【答案】
【详解】，所以，即，，
15.【答案】16
【详解】由斜二测画法，原图形是平行四边形，，
又，，，
所以，周长为.
16.【答案】
【解析】因为，
所以，，
即，解得，，所以.
17.【答案】（1）；（2）
【详解】（1）；
（2）由已知得，
.
18.【答案】（1），（2）
【详解】（1）由题可得，，所以；
（2），设和的夹角为，
所以.
19.【答案】（1）（2）
【解答】解：（1）在正三棱锥中，
，
；
（2）连接延长交于E，连接，则E为的中点，
，，
在直角三角形中，，
在中，，，
，
则表面积为：.
20.【答案】（1）；（2），；
（3）.
【详解】
（1）
（2）因为，所以，所以；
因为，所以，所以.
（3）设，的夹角为.则，
所以.故，的夹角为.
21.【答案】（1）表面积为；体积为.
（2）
【详解】（1）因为，所以.
因为，，E为的中点，
所以，所以四边形为平行四边形.
因为，所以.
将四边形绕着线段所在直线旋转一周，得到一个组合体：
上面是一个以为底面圆的半径，以为高的圆锥，下面是一个等底等高的圆柱.
因为，，
所以，.
所以封闭几何体的表面积为
；
体积为.
（2）将绕着线段所在直线旋转一周形成几何体为以为底面圆的半径，以为高的圆锥.其内切球的球心为O，半径为r.作出轴截面如图所示：
，由勾股定理得：，
即，解得：，
所以内切球的半径为，
所以球O的表面积为.
22.【答案】（1）（2）
【详解】（1）因为，
所以，
因为O是线段的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为E，O，F三点共线，所以，
解得，即，所以.
（2）因为，
，
由（1）可知，，
所以，
因为E，O，F三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.