2024年东北三省高考模拟数学试题（二）及答案

这是一份2024年东北三省高考模拟数学试题（二）及答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．复数的虚部是（ ）
A．2B．C．1D．
3．已知向量与的夹角为，，，则（ ）
A．1B．C．2D．
4．某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到，每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投入再生产，设该企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为则表示与之间关系的递推公式为（ ）
A．B．
C．D．
5．两条平行直线：，：之间的距离是（ ）
A．1B．C．D．2
6．刍（chú）甍（méng）是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，顶棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为4，底边宽为3，上棱长为2，高为2，则它的表面积是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数为偶函数，其图象上相邻两对称轴之间的距离为，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知偶函数满足，且当时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．社区卫生服务中心（站）是我国医疗卫生服务和公共卫生应急管理体系的网底，是政府履行提供基本卫生服务职能的平台.社区卫生服务中心（站）可促进社区居民的基本需求（如疫苗接种、基本诊疗等）就近在社区得到解决，图中记录的是从2010年起十二年间我国社区卫生服务中心（站）的个数，根据此图可得关于这十二年间卫生服务中心（站）个数的结论正确的是（ ）
A．逐年增多B．中位数为34324
C．每年相对于前一年的增量连续增大D．从2013年到2021年的增幅约6%
10．已知抛物线C：，焦点为F，直线与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点作抛物线准线的垂线，垂足分别为P，Q，且M为的中点，则（ ）
A．B．
C．梯形的面积是16D．到轴距离为3.
11．已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项的和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．设，则 .
13．椭圆的左，右焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于A，B两点，设，，若的面积是4，则 .
14．已知函数，过点作与y轴平行的直线交函数的图象于点P，过点P作图象的切线交x轴于点B，则面积的最小值为 .
四、解答题
15．已知是数列的前项和，，是公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
16．如图，一个几何体是由半径和高均为2的圆柱和三棱锥组合而成，圆柱的轴截面为，点A，B，C在圆O的圆周上，平面，，，.
(1)求证：；
(2)求平面与平面的夹角.
17．如图，双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，，分别是其渐近线，上的两个点，的面积为9，P是双曲线C上的一点，且.

(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)求双曲线C的标准方程.
18．恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（下简称甲直播间、乙直播间）购买的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买大米），得到以下数据：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关；
(2)用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为X，求使事件“”的概率取最大值时k的值.
附：，其中.
19．设定义在函数满足下列条件：
①对于，总有，且，；
②对于，若，则.
(1)求；
(2)证明：；
(3)证明：当时，.
网民类型
在直播间购买大米的情况
合计
在甲直播间购买
在乙直播间购买
本地区网民
50
5
55
外地区网民
30
15
45
合计
80
20
100
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
参考答案：
1．D
【分析】
由题意可得，再根据，即可得解.
【详解】因为，所以，
所以，
又全集，
所以.
故选：D.
2．C
【分析】
利用复数的四则运算，结合复数虚部的定义即可得解.
【详解】因为，
所以复数的虚部为.
故选：C.
3．C
【分析】
根据数量积的运算律，结合数量积的定义，可得答案.
【详解】.
故选：C.
4．A
【分析】
根据题意列式即可得解.
【详解】依题意，，.
故选：A.
5．B
【分析】
利用平行直线间的距离公式即可得解.
【详解】因为：，：，
所以它们之间的距离为.
故选：B.
6．A
【分析】由题意可得刍甍的左右两个三角形为全等的等腰三角形，前后两个四边形为全等的等腰梯形，利用勾股定理分别求出三角形和梯形的高，从而可求出各个面的面积，即可得出答案.
【详解】解：由题意可得刍甍的左右两个三角形为全等的等腰三角形，
前后两个四边形为全等的等腰梯形，
等腰三角形的高为，
等腰梯形的高为，
则一个等腰三角形的面积为，
一个等腰梯形的面积为，
所以此刍甍的表面积为.
故选：A.
7．D
【分析】
先根据函数的奇偶性和对称性求出函数解析式，利用同角三角关系结合二倍角公式整理可得所求，再由即可得解.
【详解】∵为偶函数，，
又，
又∵函数图象上相邻对称轴之间的距离为，
∴，则，
，
则，
即，
∴
.
故选：D.
8．D
【分析】
由偶函数满足，可得函数是以为周期的周期函数，再根据函数的周期性求解即可.
【详解】因为函数为偶函数，所以，
又，所以，即，
所以函数是以为周期的周期函数，
因为，
所以
.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
9．ABD
【分析】
根据题意，利用折线图中的数据，结合数据的变换趋势，中位数、数据差，以及增幅得的计算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由折线图可得，这十二年减卫生服务中心（站）个数逐年增多，所以A正确；
对于B中，由折线图，将数据从小到大排列，共有12个数据，
根据中位数的定义和计算，可得，所以B正确；
对于C中，由折线图中的数据，可得，，所以C不正确；
对于D中，由折线图中的数据，可得从2013年到2021年的增幅约为：，所以D正确.
故选：ABD.
10．BD
【分析】
先判断得直线经过点，再联立直线与抛物线方程，得到，进而得到，从而判断AD，利用两点求斜率与直线垂直时斜率之积为可判断B，分别求得，结合梯形的面积公式可判断C.
【详解】对于A，由题意得，则直线经过点，
联立，消去，得，
设，则，
则，所以，故A错误；
对于B，由题意得，
所以，所以，故B正确；
对于C，由题意可得，
，
所以梯形的面积是，故C错误；
对于D，因为，所以到轴距离为3，故D正确.
故选：BD.
11．ACD
【分析】
由题意可得，从而可求出，即可判断A；再结合等差数列的性质及前项和公式即可判断BCD.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
因为，
所以当时，，当时，，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：在等差数列中，求的最小（大）值的方法：
（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和最小（大）；
（2）借助二次函数的图象及性质求解.
12．
【分析】
分别令，即可得解.
【详解】令，则，
令，则，
所以.
故答案为：.
13．/
【分析】
根据求解即可.
【详解】由题意，则，
因为，
所以.

故答案为：.
14．
【分析】
求出的导数，令，求得P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得面积S，求出导数，利用导数求最值，即可得到所求值．
【详解】函的导数为，
由题意可令，解得，可得，
即有切线的斜率为，切线的方程为，
令，可得，即，
在直角三角形中，，，
则面积为，，
因为，所以函数为偶函数，
不妨取，则
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
即有处取得极小值，且为最小值，
所以面积的最小值为．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
15．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出给定的等差数列通项公式，再利用前n项和求通项的方法求解作答即可；
（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法即可得解.
【详解】（1）因是公差为1的等差数列，而，则，
因此，即，
当时，，
经检验，满足上式，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知：，
所以
.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）根据线面垂直的性质证明，再证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，
所以；
（2）因为点A，B，C在圆O的圆周上，，
所以为圆O的直径，
又因为平面，所以三点共线，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
设是平面的法向量，
则，令，则，
由（1）知，平面，
所以是平面的一个法向量，
故，
所以平面与平面所成角的余弦值为，
所以平面与平面的夹角为.
17．(1)
(2)
【分析】
（1）设双曲线的方程为，根据双曲线的离心率求出，即可求得双曲线的渐近线方程；
（2）设，根据，求出，再根据求出点的坐标，再代入双曲线方程求得，即可得解.
【详解】（1）设双曲线的方程为，
因为双曲线的离心率为，
所以，解得，所以，
所以双曲线C的渐近线方程为；
（2）设，
则，
所以，
设，则，
因为，
所以，所以，
所以，
由（1）得，则双曲线的方程为，
再将点代入得，
化简得，即，
所以双曲线的标准方程为.
18．(1)能认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关
(2)
【分析】（1）根据列联表信息，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）根据二项分布求出在甲直播间购买大米的网民人数为的概率，利用作商法判断概率的大小即可得解.
【详解】（1）提出零假设：网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区没有关联，
经计算得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关联.
（2）利用样本分布的频率估计总体分布的概率，
可知网民选择在甲直播间购买夏橙的概率为，
则，记，，
则，
则问题等价于求当取何值时取最大值，
因为，，
又，
所以当时，；
当时，；
当时，；
所以，
，
所以当时，取最大值，
即使事件“”的概率取最大值的的值为.
【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，借助参数，，简化了计算，从而得解.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】
（1）分别根据条件①②，利用赋值法得到与，从而得解；
（2）利用赋值法证得，进而得到，再利用累递推法与等比数列的求和即可得证；
（3）先利用单调性的定义证明在上是不减函数，从而结合（2）中结论，证明对于任意，有，再次利用赋值法即可得证.
【详解】（1）因为对于，，所以；
因为对于，若，则，
取，则，故；
综上，.
（2）对于，且时，
有，，
根据条件②，得，
因为根据条件①，得，则，
所以，
即，
所以
.
（3）由（2）知，
设，且，则，
因为
，所以，
所以在上为不减函数，
对于任意，则必存在正整数，使得，
所以，
由（2）知，
由（1）知，又，所以，
所以，所以时，，
因为时，，且，
所以，即.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.