江苏省南京市秦淮区八年级2023-2024学年上学期第二次月考数学试题

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一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1. 4的平方根是（ ）
A. 2B. -2C. ±D. ±2
【答案】D
【解析】
【详解】根据平方根的定义可得4的平方根是±2．
故答案选D．
2. 由四舍五入得到的近似数88.35万．精确到（ ）
A. 十分位B. 百分位C. 百位D. 十位
【答案】C
【解析】
【分析】根据近似数的精确度进行判断．
【详解】近似数88.35万精确到百位．
故选C．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
3. 如图，在中于点为上一点连结交于点，若，，则与的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由于点，可以得到和是直角三角形，根据直角三角形的判定“”，可以证明,得到，进而得到．
详解】解：∵于点
∴
在和中

∴
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定性质、等角对等边、直角三角形的两个锐角互余等知识点，证明是解题的关键．
4. 已知一次函数，当时，，则m的值为（ ）
A. 2B. C. 2或D. m的值不存在
【答案】B
【解析】
【分析】结合一次函数的性质，对m分类讨论，当时，一次函数y随x增大而增大，此时，且，；当时，一次函数y随x增大而减小，此时，且，；最后利用待定系数法求解即可．
【详解】当时，一次函数y随x增大而增大，
∴当时，且当时，，
把，代入，解得，
把，代入，解得，
∴此时m的值不存在，
当时，一次函数y随x增大而减小，
∴，且，，
把，代入，解得，
把，代入，解得，
∴符合题意，
∴故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质是解题关键．
5. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，3），B（5，3），C（5，0），点D在线段OA上，将△ABD沿着直线BD折叠，点A的对应点为E，当点E在线段OC上时，则AD的长是（ ）

A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出EC的长，进而可得出OE的长，在Rt△DOE中，由DE=AD及勾股定理可求出AD的长.
【详解】解：根据各点坐标可得AB=OC=BE=5，AO=BC=3，
设AD=x，则DE=x，DO=3-x
∴EC==4,
∴OE=1，
在Rt△DOE中，DO2+OE2=DE2，
解得x=，
∴AD=，
故选C.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准直角三角形，设出未知数列出方程即可解答.
6. 一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距10km；②甲出发2h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km．其中正确的是（ ）
A. ①③④B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据时的值可判断①；先根据函数图象可知甲的速度大于乙的速度，在时两人相遇，然后在时，甲到达村，由此可判断②；根据在时两人相遇即可判断③；分相遇后，甲未到达村、相遇后，甲已到达村两种情况，根据甲、乙两人的速度求解即可判断④．
【详解】解：由图象可知，当时，，
则两村相距，结论①正确；
由函数图象可知，甲的速度大于乙的速度，在时两人相遇，然后在时，甲到达村，之后两人之间的距离开始减小，则结论②正确；
甲每小时比乙多骑行的路程为，则结论③正确；
乙的速度为，甲的速度为，
当两人相遇后，甲未到达村时，，
当两人相遇后，甲已到达村时，，
综上，相遇后，乙又骑行了或时两人相距，结论④正确；
综上，正确的是①②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，读懂函数图象是解题关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7. 请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据无理数的定义即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得：该无理数可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键．
8. 比较大小______ ．
【答案】<
【解析】
【分析】首先分别求出、的平方各是多少；然后根据实数大小比较的方法，判断出、的平方的大小关系，即可判断出、的大小关系．
【详解】解：

，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
解答此题的关键是比较出两个数的平方的大小关系．
9. 已知和关于x轴对称，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，求得的值，进而代入代数式即可求解．
【详解】解：∵和关于x轴对称，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．
10. 的三个顶点坐标分别是，，，将平移后得到，其中，，则点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平移变换的性质求出平移得到的路径，即可求出答案．
【详解】解：由题意向上平移3个单位，再向左平移一个单位得到，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化—平移，解题的关键是理解题意，熟练掌握平移的性质．
11. 如图，直线与分别交轴于点，，则不等式的解集为_________．
【答案】﹣0.5＜x＜2
【解析】
【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．
【详解】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0），
∵（kx+b）（mx+n）＞0，
∴两个正数或两个负数的积为正数，
∴不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集为﹣0.5＜x＜2，
故答案为：﹣0.5＜x＜2．
【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
12. 如图，中，，，，将绕原点O顺时针旋转，则旋转后点A的对应点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】如图（见解析），过点作轴于点，点作轴于点，根据30°角直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求出，再根据旋转的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，最后根据全等三角形的性质可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作轴于点，点作轴于点，
∵，
∴
∴，
∴，
由旋转的性质得：，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、旋转、点坐标等知识点，画出图形，通过作辅助线，正确找出两个全等三角形解题关键．
13. 若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用一次函数的性质求得b=2k，然后代入关于x的方程k(x﹣5)+b＝0，解方程即可．
【详解】解：∵一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点(﹣2，0)，
∴，
∴，
把代入方程k(x﹣5)+b＝0，
得k(x﹣5)+2k＝0，解得，
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数的性质及一元一次方程的解法，解题的关键是利用一次函数的性质求得．
14. 已知一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点．若，则m的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】将已知点、代入后可得，再根据的取值范围可得的取值范围．
【详解】解：∵一次函数（、是常数，）的图像与轴交于点，与轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解一元一次不等式，能代入点求得和的关系是解题关键．
15. 如图，在中，，以AC为边，作，满足，E为BC上一点，连接AE，，连接DE，下列结论中①；②；③若，则；④．正确的有______．
【答案】②③④
【解析】
【分析】通过延长至，使，连接，构造出全等三角形，再利用全等三角形的性质依次分析，可得出正确的结论是②③④．
详解】解：如图，延长至，使，连接，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴（即②正确），
∴；
当时，，
此时，，
当时，，
此时，，
∴①不正确；
若，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
由，
∴，
∴（即③正确），（即④正确）；
故正确的为：②③④．
故答案：②③④．
【点睛】本题综合考查了线段的垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等内容；要求学生能够根据已知条件通过作辅助线构造出全等三角形以及能正确运用全等三角形的性质得到角或线段之间的关系，能进行不同的边或角之间的转换，考查了学生的综合分析和数形结合的能力．
16. 在平面直角坐标系中，已知，，，，（为常数且）．当最小时，______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据平面内两点间距离公式直接得出AC和BD，从平方的非负性可知，当m=1时AC和BD最小，即可求解．
【详解】解：根据两点间距离公式可得：
AC=
BD=
要使须AC和BD都最小，
所以当m=1时，AC和BD都最小，
故答案为：1.
【点睛】本题考查了两点间距离公式和进行完全平方公式配方，熟练运用两点间距离公式和配方是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共8分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）（1）根据求一个数的立方根以及算术平方根进行计算即可；
（2）原式分别利用二次根式的意义、绝对值的意义化简，再求解即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，求一个数的立方根以及算术平方根，实数的运算，化简绝对值，正确的计算是解题的关键．
18. 解方程：．
【答案】或
【解析】
【分析】根据直接开平方法计算即可．
【详解】解：，
，
，
解得：或．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握利用直接开平方法解一元二次方程．
19. 如图，中，D是边上一点，E是边的中点，作交的延长线于点F．

（1）求证：；
（2）若求的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）由，可得，，又由E是边AC的中点，可得；
（2）由（1），，由，可得，可得的长．
【小问1详解】
证明：∵E是边的中点，
∴ ．
又∵，
∴，，
在与中，
，
∴
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵E是边AC的中点，，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的性质和判定方法是解题的关键
20. 如图，在中，垂直平分，平分．

（1）若，求的度数；
（2）若，与的周长只差为，且的面积为，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和角平分线的定义，结合等腰三角形的性质得到，由已知条件求出，根据三角形内角和定理即可求出；
（2）过作于，根据角平分线的性质结合三角形的面积公式求出，由线段垂直平分线的性质和已知条件求出，根据三角形的面积公式即可求出的面积，即可得答案．
【小问1详解】
∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵垂直平分，
∴，，
∵与的周长只差为，
∴，
过作于，
∵平分，
∴，
∵，的面积为，
∴，
∴，
∴的面积，
∴得面积．
答：的面积为．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形的面积公式，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解决问题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为、、．

（1）画出三角形，并求其面积；
（2）如图，是由经过怎样的平移得到的？
（3）已知点为内的一点，则点P在内的对应点的坐标______，______
【答案】（1）画图见解析，三角形面积：8
（2）先向右平移4个单位，再向下平移3个单位
（3）
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标画出三角形，利用割补法求出三角形面积即可；
（2）根据点坐标变换的规律确定平移的方式即可．
（3）利用平移方式确定点坐标变换结果即可．
【小问1详解】
如图，即为所求，
；
【小问2详解】
∵A、B、C三点的坐标分别为、、，、、三点的坐标分别为、、，
∴向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，
【小问3详解】
∵点为内的一点，
∴点P在内的对应点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变换——平移，网格与三角形面积．理解题意，熟练掌握割补法计算三角形面积，点坐标变换规律与点平移方式的关系，是解题关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=-x+5与x轴交于点B，直线l1与过点A(-4，0)的直线l2交于点P(-1，m)．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）点M在第一象限且在直线l2上，MN∥y轴，交直线l1于点N，若MN=AB，求点M的坐标．
【答案】（1）
（2）M(2，12)
【解析】
【分析】（1）把点P的坐标代入y=-x+5，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）先求出B点坐标，得出AB的值，设M（a，2a+8），根据MN∥y轴，得N（a，-a+5），根据MN=AB，即可得出a的值，进而得出答案
【小问1详解】
∵直线l1：y=-x+5与直线l2交于点P（-1，m），
∴m=-（-1）+5=6，
即P（-1，6），
又∵l2过点A（-4，0）和点P（-1，6），
设直线l2的解析式为y=kx+b，
∴，
解得
∴直线l2的解析式为y=2x+8；
【小问2详解】
在y=-x+5中，令y=0，得x=5，
∴B（5，0），
∴AB=5-（-4）=9，
设M（a，2a+8），
由MN∥y轴，得N（a，-a+5），
MN=|（2a+8）-（-a+5）|=AB=9，
即：3a+3=9或3a+3=-9，
解得a=2或a=-4（不符合题意，舍去），
∴M（2，12）．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．
23. 某商店销售一种产品，该产品成本价为6元/件，售价为8元/件，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．图中的折线表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件．
（1）求折线表示的y与x之间的函数关系式；
（2）日销售利润不低于640元的天数共有多少天？销售期间日销售最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）11天，720元
【解析】
【分析】（1）分别求出直线的函数关系式和直线的函数关系式即可得到答案；
（2）根据利润=（售价进价）×数量求出y的值，再代入函数关系式求出x的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：设直线的函数关系式为，
将代入，得：，解得：．
∴直线的函数关系式为．
∵，
∴点
设直线的函数关系式为，
将、代入，得；
，
解得：，
∴直线的函数关系式为，
联立，
解得，
∴
综上所述，；
【小问2详解】
解：（件），
当时，有或，
解得：或，
∴（天），
∴日销售利润不低于640元的天数共有11天．
由（1）可知，
∴当时，日销售利润最大，最大利润为元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
24. 如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC=BC；
（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．
【答案】（1）作图见解析（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于点P，点P即为所求作；
（2）①在BC上取点D，过点D作BC的垂线，
②在垂线上取点E使DE=DB，连接EC，
③作EC的垂直平分线交BC于点F；
Rt△DEF即为所求．
【详解】解：（1）作AB垂直平分线交BC于点P即为所求作；
（2）①在BC上取点D，过点D作BC的垂线，
②在垂线上取点E使DE=DB，连接EC，
③作EC的垂直平分线交BC于点F；
∴Rt△DEF即为所求．
点睛：本题考查了线段垂直平分线的作法以及垂线的作法．解题的关键是熟练掌握基本作图．
25. 如图，中，于D，且；已知，如图，动点M从点B出发以每秒的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）．
（1）若的边与平行，求t的值；
（2）在点N运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）5或6 （2）能，5或6或
【解析】
【分析】（1）设，根据三角形的面积公式求出x，再根据等腰三角形的性质求出t；
（2）分、、三种情况，根据等腰三角形的概念和性质计算即可．
【小问1详解】
解：设，，，
则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴是等腰三角形；
∵，，
∴，
∴，，，．
∵，
∴，
①当时，，，
∴，
∴，即，
∴；
②当时，，
∴；
综上所述，若的边与BC平行时，t值为5或6．
【小问2详解】
能成为等腰三角形，分三种情况：
①当时，；
②当时，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当时，
过D作于点G，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，能成为等腰三角形，t的值为5或6或．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、三角形面积以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
26. 如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点，点P为直线上一点．
（1）若点P在射线上，且，求点P的坐标．
（2）若的面积为1，求点P的坐标．
（3）点Q在函数的图象上，若的面积为m（m为常数且），试确定满足条件的点Q的个数（直接写出结果）．
【答案】（1）
（2）点P的坐标为或
（3）当时，满足条件的点Q有3个，当时，满足条件的点有2个，当时，满足条件的点有4个
【解析】
【分析】(1)首先可求得，，，过点C作轴于点M，可得，，可求得，，可求得，再过点P作轴于点N，根据，可求得，据此即可解答；
(2)由（1）知，，分两种情况，当点P在线段AC上时，点P是线段AC的中点，设为，当点P在直线OC上方时，点C是P，的中点，据此即可分别求得；
(3)首先画出图象，当点Q和点A重合时，，即，再分三种情况，观察图象即可解答．
【小问1详解】
解：把点代入解析式中，得，
，
在直线中，
令，则，令，则，
，，
过点C作轴于点M，
，，
，
，
∵点P在射线上，
，
过点P作轴于点N，
，
，
∴点P的纵坐标为，则，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）知，， ，
∴当点P在线段AC上时，点P是线段AC的中点，设为
，，
，
当点P在直线OC上方时，点C是点P，的中点，
，即，
综上所述，点P的坐标为或；
【小问3详解】
解：函数的图象如图所示，当点Q和点A重合时，，即，
由图可知，当时，满足条件的点Q有3个，当时，满足条件的点有2个，当时，满足条件的点有4个．
【点睛】本题考查了一次函数的综合，涉及求一次函数与坐标轴的交点问题，坐标与图形，求线段中点坐标，三角形的面积，采用数形结合的思想是解决本题的关键．