最新高考数学解题方法模板50讲 专题03 函数的单调性和最值的处理途径

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过
高考数学
解题方法
模
板
50
讲
专题03 函数的单调性和最值的处理途径
【高考地位】
函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式．
方法一 定义法
例1 已知函数（且）.
（1）当时，写出函数的单调区间，并用定义法证明；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
【来源】辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中数学试题
例2 已知定义域为的函数.
（1）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【来源】上海市金山区2021届高三上学期一模（期末教学质量检测）数学试题
【变式演练1】（多选）【海南省2021届高三年级第二次模拟考试】下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（）
A．B．
C．D．
例3 定义在上的奇函数，对任意时，恒有.
（1）比较与大小；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若对满足不等式的任意恒成立，求的取值范围.
【变式演练2】已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；
（3）若定义域为，解不等式.
方法二 导数法
例4 已知函数．求的单调递减区间；
【变式演练3】函数，的单调递增区间为__________．
【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题
方法三 复合函数解析法
例5 求y=lg12x2−3x+2的单调区间
【变式演练4】已知定义在上的函数是偶函数，且时，.
（1）当时，求解析式；
（2）写出的单调递增区间.
【变式演练5】函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.
【来源】上海市大同中学2021届高三三模数学试题
方法四 图像法
例6 求函数的单调区间。
【变式演练6】已知函数．
（）用分段函数的形式表示该函数．
（）画出该函数的图象．
（）写出该函数的单调区间及值域．
【高考再现】
1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
2.【2020年高考全国Ⅱ卷文数10】设函数，则（）
A．是奇函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是偶函数，且在单调递减
3.【2020年高考全国Ⅱ卷理数9】设函数，则（）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
4.【2020年高考山东卷8】若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（）
A． B． C． D．
5.【2018年全国2卷】函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是
A． (−∞,−2) B． −∞,1 C． (1,+∞) D． (4,+∞)
6.【2018年全国新课标1卷】已知函数f(x)=lnx+ln(2−x)，则
A． f(x)在（0，2）单调递增 B． f(x)在（0，2）单调递减
C． y=f(x)的图像关于直线x=1对称 D． y=f(x)的图像关于点（1，0）对称
【反馈练习】
1．【陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试文】已知定义在上的偶函数在区间上递减.若，，，则，，的大小关系为（）
A．B．C．D．
2.【上海市浦东新区2021届高三上学期一模数学】已知函数，则以下4个命题：
①是偶函数；
②在上是增函数；
③的值域为；
④对于任意的正有理数，存在奇数个零点.
其中正确命题的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
3.【云南省陆良县2020届高三毕业班（9月）第一次摸底考试】已知是奇函数，且对任意且都成立，设，，，则（）
A．B．C．D．
4.【2021届百师联盟高三一轮复习联考（三）全国卷 I 文科数学】已知函数的定义域为，且当时，有，当时，有恒成立，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
5.【四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试数学（文）】已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列四个结论中：①图象关于直线对称；②；③在上为减函数；④.其中正确的个数（）
A．1B．2C．3D．4
6.【四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试数学（理）】已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列结论正确的是（）
A．图象关于直线对称B．图象关于点中心对称
C．在上为减函数D．在上为增函数
7.【广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）】设定义在R上的函数满足，且当时，，若存在，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
8．【甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高三第一学期10月月考数学（理）】已知函数，若，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
9．（2021·济南市·山东师范大学附中高三其他模拟）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·北京高三二模）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数（ ）
A．是奇函数，单调递增B．是奇函数，单调递减
C．是偶函数，单调递减D．是偶函数，单调递增
【来源】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021届高三第三次模拟文科数学试题
12．已知奇函数的定义域为，且有，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【来源】押第7、9题 函数与方程-备战2021年高考数学（理）临考题号押题（全国卷2）
13．设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
【来源】内蒙古包头市2021届高三第一次模拟考试数学（文）试题
14．函数（其中m R）的图像不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】湖北省荆门龙泉中学、宜昌一中2021届高三下学期2月联考数学试题
15．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【来源】黑龙江省伊春林业管理局第二中学2020-2021学年高三上学期期中考试数学（文）试题
16．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数，递增区间是
B．是偶函数，递减区间是
C．是奇函数，递减区间是
D．是奇函数，递增区间是
【来源】吉林省长春市东北师大附中2021届高三五模数学（文）试题
17．已知函数满足：①对任意、且，都有；②对定义域内的任意，都有，则符合上述条件的函数是（ ）
A．B．C．D．
【来源】广东省深圳福田区红岭中学2021届高考二模数学试题
18．若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性月考（六）数学试题
19．已知函数在上是减函数，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）数学（理）试题
20．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）数学试题
21．已知函数，若对任意，且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】四川省成都市2022届高三文科数学零诊考试试题
22．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（二）
23．已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】福建省宁德市2021届高三三模数学试题
24．设函数，则（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．在上单调递增D．在上单调递减
【来源】山东省日照第一中学2020-2021学年高三第二次联合考试数学试题
25．已知函数满足，当时，，且.
（1）求的值，并判断的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【来源】江苏省泰兴中学、南菁高级中学2020-2021学年高一上学期12月第二次阶段考试数学试题
26．已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求，的值；
（2）用定义证明在上为减函数；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围．
【来源】江苏省南通市启东中学2020-2021学年高三上学期期初数学试题
27.【上海市青浦区2021届高三上学期一模数学】设函数，为常数.
（1）若为偶函数，求的值；
（2）设，，为减函数，求实数的取值范围.
28．【安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试文科数学】已知函数的一个极值点是.
（1）求a与b的关系式，并求的单调区间；
（2）设，，若存在，，使得成立，求实数a的范围.
万能模板
内 容
使用场景
一般函数类型
解题模板
第一步 取值定大小：设任意，且；
第二步 作差：；
第三步 变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；
第四步 定符号；
第五步 得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
较复杂的函数类型
解题模板
第一步 求函数的定义域；
第二步 求导；
第三步 在定义域范围内解不等式或；
第四步 得出函数的增减区间.
万能模板
内 容
使用场景
简单的复合函数类型
解题模板
第一步 先求函数的定义域；
第二步分解复合函数，分别判断内外层函数的单调性；
第三步 根据同增异减，确定原函数的增减区间.
万能模板
内 容
使用场景
图像比较容易画出的函数类型
解题模板
第一步 通过题目条件画出函数图像；
第二步 从图像中读出函数的单调区间.