新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点3-2 导数的应用-单调性、极值与最值8大题型

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点3-2 导数的应用-单调性、极值与最值10大题型
导数与函数是高中数学的核心内容，高考中经常在函数、导数与不等式等模块的知识交汇处命题，形成层次丰富的各类题型，常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值；与不等式、数列、方程的根（或函数的零点），三角函数等问题。此类问题体现了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想，重点考查学生的数形结合能力，处理综合性问题的能力和运算求解能力。本题考试难度大，除了方法与技巧的训练，考生在复习中要注意强化基础题型的解题步骤，提高解题熟练度。
一、导数与函数的单调性相关问题及解决方法
1、求函数单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
2、已知函数的单调性求参数
（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；
（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；
（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点
（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点
3、含参函数单调性讨论依据：
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
二、利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数；
（2）求方程的所有实数根；
（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化．
①如果的符号由正变负，则是极大值；
②如果由负变正，则是极小值．
③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点．
三、函数的最值与极值的关系
1、极值是对某一点附近（即局部）而言，最值时对函数的定义区间的整体而言；
2、在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
3、函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
4、对于可导函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得。
【题型1 求函数单调区间或单调性】
【例1】（2021秋·吉林·平市第一高级中学高三四校考）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022·吉林·高三辉南县第一中学校考）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022·四川达州·统考一模）曲线在点处的切线平分圆，则函数的增区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·北京顺义·统考一模）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
【题型2 根据函数单调性求参数】
【例2】（2022秋·河南郑州·高三安阳一中校联考）已知函数在区间单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·全国·模拟预测）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是______．
【变式2-4】（2023·全国·高三专题练习）若对于任意 ，函数在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．
【变式2-5】（2022秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知函数
（1）若函数存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）若函数在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.
【题型3 导函数与原函数的图象关系】
【例3】（2022·全国·高三专题练习）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）如图为函数（其定义域为）的图象，若的导函数为，则的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022秋·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2005·江西·高考真题）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 求函数的极值或极值点】
【例4】（2022秋·贵州·高三校联考阶段练习）函数的极小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【变式4-1】（2022秋·全国·高三统考阶段练习）函数的极小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．e
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2022秋·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）已知函数．
（1）若，求函数在区间上的值域；
（2）求函数的极值．
【题型5 根据极值或极值点求参数范围】
【例5】（2022·山东济南·统考模拟预测）若是函数的极值点．则的极小值为（ ）
A．-3 B． C． D．0
【变式5-1】（2022秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知函数在处取得极小值，则函数的极大值为__________.
【变式5-2】（2022秋·江苏南通·高三统考阶段）已知函数存在极大值点和极小值点，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2022秋·四川泸州·高三校考阶段练习）若函数在有极值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2022·全国·高三专题练习）已知没有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型6 求函数的最值】
【例6】（2022·全国·高三专题练习）函数在[ 0，3 ]上的最大值为（ ）
A．－2 B． C．－1 D．1
【变式6-1】（2020秋·河南·高三校联考阶段练习）函数在区间上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2022秋·江西南昌·高三校联考阶段练习）函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若和有相同的最小值，求a的值．
【变式6-4】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）设在区间上的最小值为，求及的最大值．
【题型7 根据函数的最值求参数范围】
【例7】（2022秋·江西萍乡·高三校考阶段练习）已知函数在上的最小值为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2022秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2022秋·福建·高三校联考阶段练习）若函数（其中）存在最小值，则实数a的取值范围为______.
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为_______
【变式7-4】（2021秋·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）已知函数，其中，.
（1）若曲线与轴相切于点，求，的值；
（2）若，且在区间上有最大值，求的取值范围.
【题型8 函数的单调性、极值、最值综合】
【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）证明：函数在R上是增函数；
（2）若函数的最小值为，求的取值范围.
【变式8-1】（2023秋·河北·高三统考阶段练习）若函数（其中e是自然对数的底数，a为常数且）．
（1）当时，求方程的根的个数；
（2）若函数有两个极值点，且，求的最小值．
【变式8-2】（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知函数.
（1）证明：；
（2）已知函数与函数的图象恰有两个交点，求实数的取值范围.
【变式8-3】（2022·四川眉山·统考一模）已知函数．
（1）若是的极小值点，求a的取值范围；
（2）若，，求a的取值范围．
【变式8-4】（2022秋·安徽安庆·高三安庆一中统考阶段练习）已知函数.
（1）若时，取得极值，求的单调区间；
（2）若函数，求使恒成立的实数的取值范围.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·四川成都·统考一模）若函数在处有极大值，则实数的值为（ ）
A．1 B．或 C． D．
2．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知函数，又当时，，则关于x的不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023秋·湖南益阳·高三统考期末）已知函数，若方程有3个不等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）函数（）的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·山东济南·高三统考期末）（多选）已知函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B．
C． D．的图象关于点中心对称
8．（2023秋·广东·高三校联考期末）（多选）已知函数，则过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）函数的单调递增区间为______．
10．（2022·山西运城·校联考模拟预测）已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.
11．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
12．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）已知函数．
（1）若，求的极小值．
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，证明：有且只有个零点．